【中考真题】2021年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请在答题纸上将符合题意的正确选项涂黑，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）数2，1，0，﹣中最小的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣
2．（3分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步，“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B．1.2×108 C．12×109 D．12×108
3．（3分）下列水平放置的几何体中，主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）计算2m3•3m4的结果是（　　）
A．5m7 B．5m12 C．6m7 D．6m12
5．（3分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果如表所示，则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（　　）
锻炼时间/h
5
6
7
8
人数
7
17
11
5
A．6h，6h B．6h，17h C．6.5h，6h D．6.5h，17h
6．（3分）关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标是（﹣1，4）
C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大
D．对称轴是直线x＝﹣1
7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）一个三角板（含30°、60°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD＝CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A．2 B．2 C． D．1
10．（3分）如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；
②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上；
若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式中，x的取值范围是　 　．
12．（4分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于　 　．
13．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为 　 　．
14．（4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 　 　mm．

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过▱ABCD的顶点C，D．若点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），点C的横坐标和纵坐标之和为7，则k的值为 　 　．

16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　 　；
（2）EF长的最小值为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分.请在答题纸的相应位置写出解题过程）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣+2sin30°+（﹣1）2021．
18．（6分）对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　 　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
19．（6分）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求完成作图，仅用无刻度直尺，画出一个与△ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．

20．（8分）某区对即将参加中考的4000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图．请根据图表信息回答下列问题：
初中毕业生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
（1）本次调查样本容量为 　 　；
（2）在频数分布表中，a＝　 　，b＝　 　，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属标准视力，根据上述信息估计全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有多少人？

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，⊙O过点B，且分别交AB、BC于点E、F．AC切⊙O于点D．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）已知cos∠ABC＝，AB＝10，求⊙O的半径r．

22．（10分）某动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式；
（2）求第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；
（3）若小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第几班车？
23．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝（0≤x≤6）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）①列表：
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
表中m＝　 　，n＝　 　．
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）结合函数图象，写出不等式的解．

24．（12分）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“优美等腰三角形”，线段AD是△ABC的“优美线”．
（1）如图②，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，判断：BD　 　△ABC的“优美线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF，且CF与有另一个交点G．连结BG，EG，当BG是△BCF的“优美线”时，
①求证：∠CGE＝∠GBE；
②求CG的长．
（3）已知△ABC是“优美等腰三角形”，AD是“优美线”，且AB＝3BD，求的值．

2021年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请在答题纸上将符合题意的正确选项涂黑，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）数2，1，0，﹣中最小的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣
【分析】本题考查了实数的大小比较，可借助数轴，亦可通过法则进行比较．
【解答】解：因为正数大于0，0大于负数，
所以最小的数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，属于基本题目，难度不大，掌握法则是关键．
2．（3分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步，“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B．1.2×108 C．12×109 D．12×108
【分析】根据科学记数法的方法，可以将题目中的数据用科学记数法表示出来，本题得以解决．
【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的方法．
3．（3分）下列水平放置的几何体中，主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A．主视图是矩形，故此选项符合题意；
B．主视图是正方形，故此选项不合题意；
C．主视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
D．主视图是圆，故此选项不合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．
4．（3分）计算2m3•3m4的结果是（　　）
A．5m7 B．5m12 C．6m7 D．6m12
【分析】直接用单项式乘单项式运算法则求结果即可．
【解答】解：原式＝（2×3）m3•m4
＝6m7．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的乘法，掌握单项式乘单项式运算法则是解题关键．
5．（3分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果如表所示，则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（　　）
锻炼时间/h
5
6
7
8
人数
7
17
11
5
A．6h，6h B．6h，17h C．6.5h，6h D．6.5h，17h
【分析】根据中位数的意义得出中位数是排列后的第20和21个数据，再求出平均数即可；根据众数的意义求出众数即可．
【解答】解：40÷2＝20，
∵7＜20，7+17＝24＞20，
∴中位数是＝6（h），
∵锻炼时间为6h的人数最多，是17人，
∴众数是6h，
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
6．（3分）关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标是（﹣1，4）
C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大
D．对称轴是直线x＝﹣1
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该函数图象开口向下，故选项A不符合题意；
该函数的顶点坐标是（﹣1，4），故选项B不符合题意；
当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式．
7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）一个三角板（含30°、60°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD＝CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】先根据△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝45°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，CD＝CE，∠C＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．本题也可以根据∠CFA是三角形ABF的外角进行求解．
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A．2 B．2 C． D．1
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝8，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝1．
答：该圆锥的底面圆的半径是1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
10．（3分）如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；
②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上；
若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由折叠性质和勾股定理可得：DE＝8，EG＝4，在Rt△EFC和Rt△EGH中，分别利用勾股定理列方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
由翻折的性质知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，
∴EG＝4，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝8，
∴EC＝10﹣8＝2，
设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
即BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣，
设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，
解得：y＝3，
即DH＝GH＝3，
∴△ECF和△EHG的面积比是＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式中，x的取值范围是　x≥2　．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于　　．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为 　15　．
【分析】由平方差公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2解答即可．
【解答】解：因为，
所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
14．（4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 　8　mm．

【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
故答案为：8．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过▱ABCD的顶点C，D．若点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），点C的横坐标和纵坐标之和为7，则k的值为 　6　．

【分析】设C（a，7﹣a），根据平行四边形求得D点的坐标，再根据C、D两点都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，列出a的方程，求得a，再求k便可．
【解答】解：∵点C的横坐标和纵坐标之和为7，
∴设C（a，7﹣a），
设D的坐标为（m，n），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，BA＝CD，
∵A（2，0），B（0，4），
∴m﹣a＝2﹣0，n﹣（7﹣a）＝0﹣4，
∴m＝a+2，n＝3﹣a，
∴D（a+2，3﹣a），
∵C、D两点都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝a（7﹣a）＝（a+2）（3﹣a），
解得，a＝1，
∴k＝1×（7﹣1）＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，关键是正确表示用一个字母表示C、D点的坐标．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　　；
（2）EF长的最小值为 　　．

【分析】（1）连接AF交BD于点G，证明Rt△ABF∽Rt△AEF，可得BF＝EF，得AF是BE的垂直平分线，然后证明△ABF∽△DAB，对应边成比例即可求出EF的长；
（2）当点F与点B重合时，EF长最小，由△DBA∽△AFE，可得＝，进而可得EF的长．
【解答】解：（1）如图，连接AF交BD于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF∽Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBG，
∴∠ADB＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴当AE＝1时，EF的长为；
故答案为：；
（2）如图，因为EF⊥AE，
所以当点F与点B重合时，EF长最小，

在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝＝，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°，
∵∠DBA＝∠AFE，
∴△DBA∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质．
三、解答题（本题有8小题，共66分.请在答题纸的相应位置写出解题过程）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣+2sin30°+（﹣1）2021．
【分析】先化简绝对值，二次根式，有理数的乘方，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝3﹣2+2×﹣1
＝3﹣2+1﹣1
＝3﹣2．
【点评】本题考查实数的混合运算，正确化简二次根式，绝对值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．（6分）对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　①　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
【分析】（1）观察解题过程，找出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）上述解答过程从第①步开始出现错误；
（2）正确解答过程为：
方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括号，得2x﹣3x+3＝6，
合并同类项，得﹣x+3＝6，
移项，得﹣x＝3，
∴x＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
19．（6分）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求完成作图，仅用无刻度直尺，画出一个与△ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．

【分析】利用全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：如图，△BCE即为所求．

理由：∵AC＝＝2，EC＝＝2，AB＝＝2，BE＝＝2，
∴AC＝EC，BA＝BE，
在△ABC和△EBC中，
，
∴△ABC≌△EBC（SSS）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
20．（8分）某区对即将参加中考的4000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图．请根据图表信息回答下列问题：
初中毕业生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
（1）本次调查样本容量为 　200　；
（2）在频数分布表中，a＝　60　，b＝　0.05　，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属标准视力，根据上述信息估计全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有多少人？

【分析】（1）根据视力在4.0≤x＜4.3范围内的频数除以频率求出调查的样本容量即可；
（2）根据样本容量，根据已知频率或频数求出a与b的值即可；
（3）求出样本中视力正常占的百分比，乘以4000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷0.1＝200，即本次调查的样本容量为200，
故答案为：200；

（2）a＝200×0.3＝60，b＝10÷200＝0.05，
补全频数分布图，如图所示，

故答案为：60，0.05；

（3）根据题意得：4000×（0.3+0.05）＝1400（人），
答：全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有1400人．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题中的数据是解本题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，⊙O过点B，且分别交AB、BC于点E、F．AC切⊙O于点D．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）已知cos∠ABC＝，AB＝10，求⊙O的半径r．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，进而得到OD∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）根据余弦的定义求出BC，根据△AOD∽△ABC列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠ABC＝，
∵cos∠ABC＝，AB＝10，
∴BC＝6，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：r＝．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（10分）某动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式；
（2）求第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；
（3）若小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第几班车？
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式；
（2）把y＝2000代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；
（3）设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车．
【解答】解：由题意得，可设第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
答：第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
（2）把y＝2000代入y＝200x﹣4000，
解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
答：第一班车从入口处到达花鸟馆所需时间10分钟；
（3）设小聪坐上了第n班车，
30﹣25+10（n﹣1）≥40，
解得n≥4.5，
又∵n为整数，
∴n最小为5，
答：小聪最早能够坐上第5班车．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
23．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝（0≤x≤6）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）①列表：
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
m
2.47
3
4.29
5.08
n
表中m＝　2　，n＝　6　．
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）结合函数图象，写出不等式的解．

【分析】（1）①将x＝3，x＝0分别代入函数y＝（0≤x≤6）即可求解；
②根据①求得的结果描出即可；
③用平滑的曲线将所描点连接即可；
（2）可以从增减性，对称性入手，言之有理即可；
（3）在同一坐标系中画出y＝x的函数图象，结合图象可求不等式解集．
【解答】解：（1）①当x＝3时，代入y＝（0≤x≤6）得y＝2，
∴m＝2，
当x＝0时，代入y＝（0≤x≤6）得y＝6，
∴n＝6，
故答案为：2，6；
②如图所示：

③如图所示：

（2）观察图象，可知：①当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；②x＝0时，函数有最大值6（答案不唯一）；
（3）在同一坐标系中画出y＝x的函数图象，

由图象可得不等式≥x的解集为0≤x≤2．
【点评】本题考查函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．
24．（12分）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“优美等腰三角形”，线段AD是△ABC的“优美线”．
（1）如图②，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，判断：BD　是　△ABC的“优美线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF，且CF与有另一个交点G．连结BG，EG，当BG是△BCF的“优美线”时，
①求证：∠CGE＝∠GBE；
②求CG的长．
（3）已知△ABC是“优美等腰三角形”，AD是“优美线”，且AB＝3BD，求的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和得到∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，于是得到结论；
（2）①如图③，连接EG，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，由角的和差关系及三角形内角和定理可得答案；②根据相似三角形的判定与性质即可得到结论；
（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，根据相似三角形的性质健康得到结论；②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，同理可得结论．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠DBC＝∠ABC＝40°，
∵∠ABC＝80°，∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝40°+30°＝70°，
∴∠ADB＝∠A，
∴BA＝BD，
∴△ABC是“优美等腰三角形”，线段AD是△ABC的“优美线”，
故答案为：是；
（2）①如图③，连接EG，
∵BG是△BCF的“优美线”，
∴BG平分∠FBC，
∴∠FBG＝∠GBE，
∵BF＝BE，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴∠BGF＝∠BGE，
∵BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），
∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，
∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，
∴∠CGE＝∠CBG，
②∵∠GCE＝∠BCG，∠CGE＝∠CBG，
∴△GCE∽△BCG，
∴，
∵CE＝8﹣6＝2，
∴CG2＝CE•BC＝2×8＝16，
∴CG＝4；
（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD是“优美线”，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE＝BD，∠B＝∠AED，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠AED＝∠ADB，
∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，
∴∠CED＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝＝＝，
∴CE＝CD，CD＝AC，
∴CE＝AC，
∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，
AC＝9CE＝BD，
∴BC＝BD+BD＝BD，
∴AC：BC＝27：17＝；
②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，
同理可得，＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，
∵AC＝3CD，
∴AC：BC＝24：17＝．



【点评】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/14 23:16:01；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序