2023年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省衢州市衢江区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年字宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观测到的最大亮度，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，的直径垂直弦于点，且，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中有这样一个问题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾束，减去其中之“实”斗，加下禾束，则得“实”斗，下禾束，加“实”斗和上禾束，则得“实”斗，问上、下禾束各得“实”多少？设上禾束得“实”斗，下禾束得“实”斗，以下列出的方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论中错误的是(    )

A. 四边形是菱形
B.
C.
D. 若平分，则

10.  已知二次函数，当时，的最大值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  去括号： ______ ．

12.  已知现有的瓶饮料中有瓶已过了保质期，从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是______ ．

13.  如图，在矩形中，是上一点，且，若，，则的长为______ ．

14.  如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽有一块长方形台布的面积是桌面面积的倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等若设台布垂下的长度为，则可列出满足的方程为______ 不必化简

15.  在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，等边三角形的顶点在该反比例函数图象上，轴于点，若顶点恰好落在的图象上，则 ______ ．

16.  如图，为一条宽为米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为米即米，因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为米的半圆直径米，绳子米，钢架高度米米，距离防洪堤边缘为米米．
西岸边缘点与东岸边缘点之间的距离为______ 米；
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则的长度应大于______ 米

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
计算：；
化简：．

18.  本小题分
在和中，，，，在同一条直线上，已知，，，求证：．

19.  本小题分
我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段如图在的方格中，现有一格点线段，按要求画图．
在图中画一个格点，使得内部有个格点不包括边上的格点；
已知格点，在图中画一条格点线段，使线段和线段互相平分．

20.  本小题分
新年伊始，中国电影行业迎来了开门红，以下是春节七天满江红流浪地球两部影片上映后全国单日票房信息．

根据以上信息，回答下列问题：
满江红这七天单日票房的中位数为______ ；
求流浪地球这七天单日票房的平均数；
请结合统计图，从单日票房的“平均数”和“中位数”角度分析哪部电影在这七天中更受观众喜爱．

21.  本小题分
如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．
求证：．
若，，求阴影部分面积．

22.  本小题分
“冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，如图是某文旅店订购情况：
表示出“雪容融”的单价．
若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元．
分别求出这两种吉祥物的数量．
该文旅店分别以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最大值．

23.  本小题分
如图，一钢球从斜面顶端静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为钢球在斜面上滚动的路程是滚动时间的二次函数，部分对应值如下表，钢球在斜面上滚动的速度是时间的正比例函数，函数图象如图所示．

求关于的函数表达式．
求斜面的长度，以及钢球滑至底端的速度．
钢球滚动至有阻力的水平面上时，滚动路程与时间的关系式为，指的是钢球在点的速度，指的是从开始滚动的时间求钢球在水平面上滚动的最远距离．

24.  本小题分
如图，已知菱形，为对角线上一点．
建立模型：
如图，连结，求证：．
模型应用：
如图，是延长线上一点，，交于点．
判断的形状，并说明理由．
若为的中点，且，，求的长．
模型迁移：
是延长线上一点，，交射线于点，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项正确，符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方分别计算即可做出判断．
此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是．
故选：．
将已知解集表示在数轴上即可．
考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

，，
，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据有上禾束，减去其中之“实”斗，加下禾束，则得“实”斗；下禾束，加“实”斗和上禾束，则得“实”斗列出关于、的方程组即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，

，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意．
，
，
，故选项B正确，不符合题意．
由菱形的面积可得，故C选项错误，符合题意．
四边形是矩形，
，
若平分，，，则，
，
，
，
，
，
，
，故选项D正确，不符合题意．
故选：．
根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形是菱形，即可判断，进而根据等边对等角即可判断；根据菱形的性质求面积即可求解判断；根据角平分线的性质可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知对称轴为直线，开口向下，
当时，二次函数在上，随的增大而减小，
当时，有最大值，
则有，
解得或不合题意，舍去，
当时，二次函数在上，随的增大而增大，
当时，有最大值，
则有，
解得或不喝题意，舍去，
综上得的值为或，
故选：．
根据题意得二次函数的对称轴为直线，分类讨论，根据二次函数的增减性可进行求解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，数形结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据去括号法则去括号解题即可．
本题考查了去括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号．
 

12.【答案】 

【解析】解：瓶饮料中有瓶已过了保质期，
从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是．
故答案为：．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
证明∽即可作答．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设各边垂下的长度为，
则台布的长为，宽为，
依题意，得：，
故答案为：．
设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，根据台布的面积是桌面面积的倍．即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，，则，
如图，过作轴于，

轴，轴，
，
，
，，
，
将代入得，，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
由题意得，，则，如图，过作轴于，，则，，，将点坐标代入，计算求解满足要求的值即可．
本题考查了等边三角形的性质，反比例函数与几何综合，正弦，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图所示，连接，

由题意可知，，，
则由勾股定理可得：，
故答案为：；
如图所示，延长交与点，过点作于点，延长与相交于点，

，，
是等腰三角形，
，
，
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则至少为米，
，，
∽，
，
设，则，，，，
，
解得，
故答案为：．
连接，利用勾股定理求解即可；
延长交于点，过点作于点，延长与相交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点到滑轨的距离不小于，再利用∽可得，设，根据比例关系即可求出．
本题考查勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
原式

． 

【解析】先计算平方，再化简，再结合角的余弦值，最后再计算解题．
直接将分式的分母分解因式，再利用分式的性质化简相加得出答案．
本题考查了实数的运算，涉及二次根式的化简、余弦、分式的基本性质等知识．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
又，，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】已知与两边相等，通过可得，即可判定≌，再利用全等三角形的性质证明即可．
本题主要考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，线段即为所求．

理由：连接，，，，
根据题意得：，
四边形是平行四边形，
线段和线段互相平分． 

【解析】根据题意画出图形即可；
利用平行四边形的性质，构建图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：由折线统计图可知：满江红这七天单日票房从大到小排列分别为、、、、、、，所以该组数据的中位数为最中间的数，即为；
故答案为；
由折线统计图可知：
流浪地球这七天单日票房的平均数为；
满江红这七天单日票房的平均数为，
满江红的单日票房的“平均数”比流浪地球的大，虽“中位数”比流浪地球的小，但从折线统计图可看出满江红更受欢迎；所以满江红电影在这七天中更受观众喜爱．
根据折线统计图及中位数可进行求解；
根据折线统计图及平均数可进行求解；
由可进行求解．
本题主要考查中位数及平均数，熟练掌握平均数及中位数是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，，如图

为直径，
，
，
为的中点，
为中位线，
，
是的切线，
，
；
，，
，，
，
，，
，，
，，
即：，
，，，
点为中点，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明，可得结论；根据，求解即可．
本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：“雪容融”的总花费为：元，购买的数量为个，
“雪容融”的单价：元．
“冰墩墩”的订购单价为：元；“雪容融”的订购单价：元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
个，
答：“冰墩墩”的订购的数量个，“雪容融”的订购的数量个；
根据题意可得，
，
的最大值为：元，
答：的最大值元． 

【解析】根据总花费及购买的数量即可解答；
分别表示出“冰墩墩”的订购单价，“雪容融”的订购单价，再根据“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元列方程即可解答；根据题意为了保证文旅店总利润不低于元，列出不等式求解即可．
本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意知函数过，设关于的函数表达式为，
将，代入得，，
解得，
，
关于的函数表达式为；
由题意知，，
设，将代入得，
，
将代入得，，解得或不合题意，舍去，
当，，
的长为，钢球滑至底端的速度为；
由题意知，，
，
有最大值，在时取到，且最大值为，
钢球在水平面上滚动的最远距离为． 

【解析】由题意知函数过，设关于的函数表达式为，待定系数法求解即可；
由题意知，，设，将代入得，可得，代入，即，求解满足要求的，然后代入，计算求解即可；
由题意知，，根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

24.【答案】证明：由菱形的性质可知，，，
在和中，
，
≌，
；

解：，，，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

如图，过作于，过作的延长线于，

由题意知，，，
，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
解得：，
在中，由勾股定理得：，
的长为；

解：如图，连接交于，过作于，

由题意，设，则，
在中，由勾股定理得，
，
由菱形的性质得，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即，
，即，
解得：，
，
，
，
，，
，
的值为． 

【解析】证明≌，进而结论得证；
由，可得，则，由，可得，即，进而可判断的形状；
如图，过作于，过作的延长线于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可；
如图，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，则，由菱形的性质得，，，由，，可得，即，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，则，由，求解得的值，由求的值，根据求的值，进而可得的值．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正切，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．