【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（28）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（28）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了实数﹣的绝对值是，如图所示几何体的左视图正确的是，下列计算正确的是，如图，正方形ABCD的顶点A等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（28）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．实数﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
3．下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
4．如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝40°，则∠2为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．50°
5．下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
7．下列计算正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．（x2y）3＝x6y3
C．x2x3＝x6 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2+2xy
8．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　）

A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3）
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．∠DBC＝∠BDC B．AE＝BE C．CD＝AB D．∠BAE＝∠ACD
11．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（　　）米．

A．6+4 B．10+4 C．8 D．6
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：其中正确的个数是（　　）
①a＜0；
②b＜0；
③c＜0；
④＞0；
⑤a+b+c＜0．

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知x+y＝5，xy＝﹣1，则代数式x2y+xy2的值为　 　．
14．转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是 　 　．

15．方程＝的解为　 　．
16．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为　 　．

17．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　 　．

18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是　 　．

三．解答题（共9小题，满分56分）
19．计算：﹣（﹣2）0+﹣tan60°．
20．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
21．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．

22．为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某学校组织了一次“疫情防控知识专题网上学习．并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试，阅卷后，教务处随机抽取收了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，井绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段（分）
频数（人）
频率
51≤x＜61
a
0.1
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
n
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
合计
100
1
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，n＝　 　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在绘制扇形统计图中，81≤x＜91这一分数段所占的圆心角度数为　 　°；
（4）该校对成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长．

24．某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
25．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（3，1），点B的纵坐标为3，点C的坐标为（﹣2，0）．
（1）如图①，求直线BC的表达式；
（2）如图②，点P是直线BC上一点，点D是x轴上一点，当AD+PD的值最小时，求AD+PD的最小值和点P的坐标；
（3）如图③，点M（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，直线AM交x轴于点Q，是否存在点M（m，n），使得四边形AENQ是菱形？若存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是　 　．
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．

27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．


2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（28）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．实数﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：实数﹣的绝对值是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：

故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
3．下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝40°，则∠2为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．50°
【分析】首先计算出∠ABC的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠DCB＝40°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠DBC＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到数据是解决本题的关键．
7．下列计算正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．（x2y）3＝x6y3
C．x2x3＝x6 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2+2xy
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A、x4+x4＝2x4，故A错误；
B、（x2y）3＝x6y3，故B正确；
C、x2x3＝x5，故C错误；
D、（x﹣y）（y﹣x）＝﹣x2﹣y2+2xy，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握计算法则是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　）

A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3）
【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，发现2019次变换后的正方形在x轴下方，进而可求出结果．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），
∴AB＝BC＝2，
∴C（3，3），
一次变换后，点C1 的坐标为（2，﹣3），
二次变换后，点C2的坐标为（1，3），
三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），
…，
∵2019次变换后的正方形在x轴下方，
∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016．
∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k和b的符号判断即可得出答案．
【解答】解：A、一条直线反映k＞0，b＞0，一条直线反映k＞0，b＜0，故本选项错误；
B、一条直线反映出k＞0，b＜0，一条直线反映k＞0，b＜0，一致，故本选项正确；
C、一条直线反映k＜0，b＞0，一条直线反映k＞0，b＜0，故本选项错误；
D、一条直线反映k＞0，b＜0，一条直线反映k＜0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．∠DBC＝∠BDC B．AE＝BE C．CD＝AB D．∠BAE＝∠ACD
【分析】根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点，AE＝BE，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，∠A＝∠ACD，
综上所述，A选项错误，B，C，D选项都正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
11．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（　　）米．

A．6+4 B．10+4 C．8 D．6
【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE
【解答】解：如图，延长AB交DT的延长线于E．

∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
∵四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：其中正确的个数是（　　）
①a＜0；
②b＜0；
③c＜0；
④＞0；
⑤a+b+c＜0．

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴、y轴的交点坐标、过（1，a+b+c）等知识，逐个判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为x＝＞0，可知a、b异号，a＜0，则b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
抛物线的顶点坐标为（﹣，），又顶点坐标为（，1），因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知x+y＝5，xy＝﹣1，则代数式x2y+xy2的值为　﹣5　．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝5，xy＝﹣1即可求解．
【解答】解：∵x+y＝5，xy＝﹣1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝﹣1×5
＝﹣5．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
14．转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是 　　．

【分析】直接利用概率公式计算可得答案．
【解答】解：在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，
∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．方程＝的解为　x＝﹣　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝3x+9，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
故答案为x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为　6　．

【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，由扇形面积公式可求得正六边形的边长，过F作FH⊥AE于H，解Rt△AFH即可求得AH，进而得到AE．
【解答】解：设正六边形的边长为r，
正六边形的内角为＝120°，
∵阴影部分的面积为24π，
∴＝24π，
解得r＝6，
则正六边形的边长为6，
连接AE，过F作FH⊥AE于H，
∵FA＝FE，
∴∠AFH＝AFE＝60°，AH＝EH，
∴AH＝AF•sin60°＝6×＝3，
∴AE＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查了正多边形和圆，扇形面积的计算，本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．
17．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　4m或6m　．

【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是　　．

【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，根据勾股定理得到BF＝CF＝＝x，求得BC＝（+3）x，根据勾股定理得到BD＝＝x，根据三角形的面积公式得到AH＝，求得AE＝2AH＝，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，
∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，
∴∠DBF＝∠FDB，
∴BF＝DF，
∴EF＝CF，
∵tan∠DFC＝∠BFE＝，
∴设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，
∴BF＝DF＝＝x，
∴BC＝（+3）x，
∴BD＝＝x，
∵AE⊥BD，
∴AH＝，
∴AE＝2AH＝，
∴＝＝＝，

解法二：解：在Rt△DFC中，
tan∠DFC＝，
设CD＝2x，CF＝3x，
∴DF＝＝x，
∵∠CBD＝∠BAE＝∠ADB＝∠BDE＝∠BEA，
∴△ABE∽△BFD，
∴＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分56分）
19．计算：﹣（﹣2）0+﹣tan60°．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1；
解不等式②得x≤2；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式组的解集．
21．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某学校组织了一次“疫情防控知识专题网上学习．并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试，阅卷后，教务处随机抽取收了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，井绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段（分）
频数（人）
频率
51≤x＜61
a
0.1
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
n
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
合计
100
1
（1）填空：a＝　10　，b＝　25　，n＝　0.25　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在绘制扇形统计图中，81≤x＜91这一分数段所占的圆心角度数为　126　°；
（4）该校对成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

【分析】（1）根据表格数据即可求出a，b，n；
（2）结合（1）所得数据即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据81≤x＜91这一分数段所占频率即可求出圆心角度数；
（4）根据一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，即可估算全校获得二等奖的学生人数．
【解答】解：（1）a＝100×0.1＝10，
b＝100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25，
n＝25÷100＝0.25．
故答案为：10，25，0.25；
（2）如图，即为补充完整的频数分布直方图；

（3）81≤x＜91这一分数段所占的圆心角度数为360×0.35＝126°；
故答案为：126；
（4）∵2500××＝90（人）
∴估算全校获得二等奖的学生人数为90人．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长．

【分析】（1）利用角平分线和∠C＝∠BAE＝90°，得出∠E＝∠4，从而得到AD＝AE；
（2）结合（1）和勾股定理即可求出EB的长．
【解答】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵AE为⊙O切线，
∴AE⊥AB，
∴∠E+∠1＝90°，
∴∠E＝∠3，
而∠4＝∠3，
∴∠E＝∠4，
∴AE＝AD；

（2）在Rt△ABE中，AB＝8，AE＝AD＝6，
根据勾股定理，得
EB＝＝10．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算．
24．某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，
，得，
即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；
（2）①由题意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥33，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，
答：商场购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
25．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（3，1），点B的纵坐标为3，点C的坐标为（﹣2，0）．
（1）如图①，求直线BC的表达式；
（2）如图②，点P是直线BC上一点，点D是x轴上一点，当AD+PD的值最小时，求AD+PD的最小值和点P的坐标；
（3）如图③，点M（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，直线AM交x轴于点Q，是否存在点M（m，n），使得四边形AENQ是菱形？若存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如下图，作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣1），过点A′作A′P⊥BC交于点P，交x轴于点D，则点P、D为所求点，进而求解；
（3）M（m，n），则mn＝3，得到AM的表达式为y＝﹣x+1﹣3（﹣），求出Q（3﹣，0），利用AQ＝AE＝3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当y＝3时，x＝1，故点B（1，3）；
设直线BC的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x+2；

（2）如下图，作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣1），过点A′作A′P⊥BC交于点P，交x轴于点D，则点P、D为所求点，

理由：AD+PD＝A′D+DP＝A′P为最小，
设直线BC与y轴交于点M，则点M的坐标为（0，2），
由直线BC的表达式知，∠MCO＝45°＝∠PDO，
故设直线PA′的表达式为y＝﹣x+p，
将点A′的坐标代入上式并解得p＝2，
故直线A′P的表达式为y＝﹣x+2，
则直线A′P与y轴的交点坐标为（0，2），
而点M（0，2），故点P、M重合，则点P（0，2），
则AD+PD的最小值为PA′＝＝3；

（3）存在，理由：
M（m，n），则mn＝3，
由点M、A的坐标，同理可得AM的表达式为y＝﹣x+1﹣3（﹣），
设k′＝﹣，则y＝k′x+1﹣3k′，
令y＝k′x+1﹣3k′＝0，解得x＝3﹣，
故点Q（3﹣，0），
∵四边形AENQ是菱形，故AQ＝AE＝3，
则（3﹣﹣3）2+1＝9，解得＝﹣2（正值已舍去），
而k′＝﹣，
故m＝2．
【点评】本题为反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象的性质以及菱形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是　BE＝DF　．
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．

【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论．
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论．
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图2中，结论：BE＝DF．

理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF．
故答案为BE＝DF．

（2）2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，理由如下：

∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF：AE＝AD：AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF：BE＝AF：AE＝n，
∴DF＝nBE．

（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，

在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝8，AE＝4，
∴BE＝＝4，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝6，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝4，
∴PD＝DF﹣PF＝6﹣4；

如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝6，PF＝AE＝4，

∴PD＝DF+PF＝6+4，
综上所述，满足条件的PD的值为6﹣4或6+4．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，进而求解；
（3）分FG＝FC、GF＝GC、FC＝GC三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，

又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC＝＝3，同理AC＝，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；

（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），
综上，m＝5或m＝4或或3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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日期：2021/11/14 23:17:15；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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