【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（24）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（24）（含答案解析），共28页。试卷主要包含了实数2020的相反数是，下列运算正确的是，化简+的结果是等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（24）
一．选择题（共13小题）
1．实数2020的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣
2．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（　　）
A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102
4．如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2×a3＝a6
C．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6
7．化简+的结果是（　　）
A．x﹣2 B． C． D．
8．2017年11月30日，河北省402爱心社的志愿者们走进正定五中，为品学兼优的家庭困难学生捐献爱心，共捐赠资金7000元．该资金由25名志愿者捐献，捐献统计情况如下表，则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　）
金额/元
100
200
300
400
500
人数
2
11
5
4
3
A．200，200 B．200，280 C．300，300 D．300，280
9．下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
11．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（　　）

A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．2
二．填空题（共7小题）
13．分解因式：m3﹣m＝　 　．
14．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　 　．
15．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 　 　．
16．若代数式的值是2，则a＝　 　．
17．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②BD＝1+；③BE+DF＝EF；④∠AEB＝75°．其中正确的序号是　 　．

三．解答题（共10小题）
19．计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．

21．如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．

22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
23．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

24．为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　 　°；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．

25．如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），交y轴于点E，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线E′F上并说明理由；
（3）在平面内有点M，使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有M点的坐标．

26．如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．

27．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴上方的部分上的动点，过点M作MN∥y轴交线BC于点N，求线段MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴h上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（24）
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．实数2020的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
2．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B合题意；
C．俯视图与主视图都是圆，故选项C不合题意；
D．俯视图和主视图是长方形；故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（　　）
A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：177.6＝1.776×102．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．
【解答】解：∵∠C＝80°，∠CAD＝60°，
∴∠D＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2×a3＝a6
C．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A错误；
∵a2×a3＝a5，故选项B错误；
∵（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b2，故选项C错误；
∵（a2）3＝a6，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
7．化简+的结果是（　　）
A．x﹣2 B． C． D．
【分析】先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可．
【解答】解：+＝+＝＝；
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键，是一道常考题．
8．2017年11月30日，河北省402爱心社的志愿者们走进正定五中，为品学兼优的家庭困难学生捐献爱心，共捐赠资金7000元．该资金由25名志愿者捐献，捐献统计情况如下表，则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　）
金额/元
100
200
300
400
500
人数
2
11
5
4
3
A．200，200 B．200，280 C．300，300 D．300，280
【分析】根据中位数和平均数的定义分别求解可得．
【解答】解：因为共有25个数据，
所以中位数为第13个数据，即中位数为200元，
捐款金额的平均数为＝280（元），
故选：B．
【点评】本题考查平均数和中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
9．下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：

（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：

故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
【分析】连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC＝AB＝6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键．
11．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（　　）

A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4×＝4，
∵坡度i＝1：，
∴，
则DC＝4，
故AC＝＝8（m）．
故选：A．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD的长是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．2
【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到﹣x2+2x＝0得B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA＝2，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP＝30°得到PH＝AP，利用抛物线的对称性得到PO＝PB，所以OP+AP＝PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．
【解答】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），
y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，则A（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝AB＝×2＝3，
∴OP+AP的最小值为3．
故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
二．填空题（共7小题）
13．分解因式：m3﹣m＝　m（m+1）（m﹣1）　．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：m3﹣m，
＝m（m2﹣1），
＝m（m+1）（m﹣1）．
故答案为：m（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
14．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　10　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，＝0.2，
解得，n＝10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
15．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 　5　．
【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．
16．若代数式的值是2，则a＝　1　．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：根据题意得：＝2，
去分母得：a+1＝4a﹣2，
移项合并得：3a＝3，
解得：a＝1，
经检验a＝1是分式方程的解，
故答案为：1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为　y＝（x+2）2﹣5　．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
故答案为y＝（x+2）2﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
18．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②BD＝1+；③BE+DF＝EF；④∠AEB＝75°．其中正确的序号是　①②④　．

【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断④的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC⊥EF，然后分别求得AG与CG的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，故④正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③错误；
∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴AG＝AE•sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，
∴AC＝AG+CG＝+1；故②正确．
故答案为：①②④．

【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
＝3+1﹣2×+3
＝6
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．

【分析】首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1．

不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
则整数解是﹣1，0，1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．

【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠DFE即可，要证明∠ACB＝∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，
，
解得，x＝120，
经检验x＝120是原分式方程的解，
∴1.5x＝180，
答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元．
【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
24．为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝　10　，n＝　2　；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　79.2　°；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．

【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；
（2）由360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；
（3）根据题意列表得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），
m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；
故答案为：10，2；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×＝79.2°；
故答案为：79.2；
（3）列表得：

男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、统计表的应用，要熟练掌握．
25．如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），交y轴于点E，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线E′F上并说明理由；
（3）在平面内有点M，使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有M点的坐标．

【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝求得k的值，然后将x＝6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标；
（2）确定平移后直线的表达式即可求解；
（3）分AB为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得
k＝xy＝3×4＝12，
故该反比例函数解析式为：y＝．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x＝6代入反比例函数y＝，得：y＝＝2，
∴B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）；

（2）设直线A、C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，
令x＝0，则y＝8，故点E（0，8），
设直线EC向右平移m个单位，
则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+8，则点E′（m，8），
∵点E′在反比例函数上，
∴将点E′坐标代入反比例函数表达式得：8m＝12，解得：m＝，
则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣）+8＝﹣x+10，
令y＝0，则x＝，故点F（，0）；
当x＝6时，y＝﹣x+10＝2，
故点B在直线E′F上；

（3）设点M的坐标为（s，t），
而点A、B、F的坐标分别为：（3，4）、（6，2）、（，0）；
①当AB是边时，
点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位向下平移2个单位得到N（M），
故或，解得：或，
故点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：，解得：，
故点M的坐标为（，6）；
综上，点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）或（，6）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．

【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接CE，BD，
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）若DE＝2，BC＝6，
在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝6，
∴AB＝BC＝3，
同理：AD＝
由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝4，
∴PM＝2，
∴S△PMN最大＝PM2＝（2）2＝4．

【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．
27．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴上方的部分上的动点，过点M作MN∥y轴交线BC于点N，求线段MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴h上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）点C（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝4，即可求解；
（2）设点M（x，﹣x2+4x﹣3），则点N（x，x﹣3），MN＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）分NB＝NP、BN＝BP、NP＝PB三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）点C（0，﹣3），则c＝﹣3，
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点M（x，﹣x2+4x﹣3），则点N（x，x﹣3），
MN＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故MN有最大值，此时x＝，
则点N（，﹣）；

（3）存在，理由：
抛物线的对称轴为：x＝2，
设点P（2，m），而点B（3，0），
则BN2＝+＝，NP2＝+（m+）2，PB2＝1+m2，
①当NB＝NP时，＝+（m+）2，解得：m＝；
②当BN＝BP时，同理可得：m＝；
③当NP＝PB时，同理可得：m＝﹣，
故点P的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）或（2，﹣）或（2，﹣）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/14 23:18:17；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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