高中数学高考专题14 与数列相关的综合问题（原卷版）

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【解决之道】利用数列通项公式，即可求出其和.
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷11】已知数列满足，则 ．
命题规律二 考查分组求和思想
【解决之道】解决此类问题，将数列分成等比数列与等差数列分别求和再相加即可.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．
2.【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
3.【2018年高考天津卷文数】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
命题规律三 考查拆项求和思想
【解决之道】若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项。常用拆相公式
①若是各项都不为0公差为的等差数列，则=
②==
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
命题规律四 考查错位相减求和思想
【解决之道】若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和=
= ①，两边同乘以公比得= ② ，①式与②式错位相减得=
= ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.
错位相减法的结论：已知为公差为的等差数列， 为公比为的等比数列，是数列则数列=
【三年高考】
1.【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
3.【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
命题规律五 考查与数列有关的新概念的理解与应用
【解决之道】解决此类问题，关键在于对新概念的理解，认真阅读新概念，理解其意义，利用概念与数列有关知识，将问题转化为数列问题，利用数列知识解决.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷20】已知数列的首项，前项和为．设与是常数．若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
（1）若等差数列是“”数列，求的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
2.【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
3.【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ）
A． 当B． 当
C． 当D． 当
4.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
5.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
6.【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则（ ）
A．B．
C．D．
7.【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
命题规律
内 容
典 型
１
已知通项公式求前几项和
2020年高考浙江卷11
２
考查分组求和思想
2018年高考天津卷文数
３
考查拆项求和思想
2020年高考浙江卷20
４
考查错位相减求和思想
2020年高考天津卷19
５
考查与数列有关的新概念的理解与应用
2020年高考山东卷18