2015-2016学年杭州市外国语学校八上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年杭州市外国语学校八上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. x 的 2 倍减 3 的差不大于 1，列出不等式是
A. 2x−3≤1B. 2x−3≥1C. 2x−3<1D. 2x−3>1

2. 已知等腰三角形的两边长分別为 a，b，且 a，b 满足 2a−3b+5+2a+3b−132=0，则此等腰三角形的周长为
A. 7 或 8B. 6 或 10C. 6 或 7D. 7 或 10

3. 若 a>b，则下列不等式一定成立的是
A. ba<1B. ba>1C. −a>−bD. a−b>0

4. 已知 △ABC 的三边分别为 a，b，c，则下列条件中不能判定 △ABC 是直角三角形的是
A. b2=a2−c2B. a:b:c=1:3:2
C. ∠C=∠A−∠BD. ∠A:∠B:∠C=3:4:5

5. 关于 x 的不等式组 x>a,x≥2−a 的解集是 x≥2−a，则 a 的取值范围是
A. a>1B. a≤1C. a≥1D. a<1

6. 已知如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8 cm，BC=10 cm，则 EC= cm．
A. 3B. 4C. 5D. 6

7. 某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人 4 盒牛奶，那么剩下 28 盒牛奶；如果分给每位老人 5 盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足 4 盒，但至少 1 盒．则这个敬老院的老人最少有
A. 29 人B. 30 人C. 31 人D. 32 人

8. 若关于 x 的分式方程 m−1x−1=2 的解为正数，则 m 的取值范围是
A. m>−1B. m≠1
C. m>1D. m>−1 且 m≠1

9. 如图，在平面直角坐标系中，点 A−2,2，B0,1，点 P 在 x 轴上，且 △PAB 是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 如图，在锐角 △ABC 中，∠BAC=45∘，AB=2，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是
A. 1B. 1.5C. 2D. 3

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等．其中逆命题为真命题的有： （请填上所有符合题意的序号）．

12. 在平面直角坐标系中，若点 Pm−3,2m 在第二象限，则 m 的取值范围为 ．

13. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．若 ∠B=30∘，CD=1，则 BD 的长为 ．

14. 三角形的底是 2x−3cm，高是 4 cm，而面积不大于 20 cm2，则 x 的取值范围 ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P4,y 在第一象限内，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 60∘，则 P 的坐标是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，D 为 AC 的中点，E，F 为 AB 上的两点，且 AE=BF=14AB，则 S△DEF:S△ABC= ．

17. 非 Rt△ABC 中，已知 ∠A=45∘，高 BD 和 CE 所在直线交于点 H，则 ∠BHC 的度数是 ．

18. 等腰 △ABC 的底边 BC=8 cm，腰长 AB=5 cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以 0.25 cm/秒 的速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间应为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 当 x 在何范围内时，代数式 4−x3 的值：
（1）小于 2x+16 的值；
（2）大于 2 且不大于 3．

20. 已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的 2 倍，求较大的锐角 x 的取值范围．

21. 先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
已知在平面内有两点 P1x1,y1，P2x2,y2，其两点间的距离公式 P1P2=x2−x12+y2−y12，同时，当两点所在的直线平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 ∣x2−x1∣ 或 ∣y2−y1∣．
（1）已知 A2,4，B−3,−8，试求 A，B 两点间的距离；
（2）已知 A，B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B 的纵坐标为 −1，试求 A，B 两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 A0,6，B−3,2，C3,2，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，过 BC 上一点 D 作 BC 的垂线，交 BA 的延长线于点 P．交 AC 于点 Q．试判断 △APQ 的形状，并证明你的结论．

23. 在一次研究性学习活动中，同学们发现了一种直角三角形的作法，方法是（如图所示）：画线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C，连接 AC；再以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画弧，交 AC 的延长线于 D，连接 DB．则 △ABD 就是直角三角形．
（1）请证明此作法的正确性；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为 30∘（不写作法，保留作图痕迹）．

24. 随着私家车拥有量的增加，停车问题已经给人们的生活带来了很多不便．为了缓解停车矛盾，某小区开发商欲投资 16 万元，建造若干个停车位，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 3 倍．据测算，建造费用及年租金如表：
类别室内车位露天车位建造费用元/个50001000年租金元/个2000800
（1）该开发商有哪几种符合题意的建造方案?写出解答过程．
（2）若按表中的价格将两种车位全部出租，哪种方案获得的年租金最多?并求出此种方案的年租金．（不考虑其他费用）

25. 如图，在 △ABC 中，已知 AB=AC，∠BAC=90∘，BC=8 cm，直线 CM⊥BC，动点 D 从点 C 开始沿射线 CB 方向以每秒 2 厘米的速度运动，动点 E 也同时从点 C 开始在直线 CM 上以每秒 1 厘米的速度运动，连接 AD，AE，DE，设运动时间为 t 秒．
（1）求 AB 的长；
（2）当 t 为多少时，△ABD 的面积为 10 cm2?
（3）当 t 为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．
答案
第一部分
1. A【解析】列出不等式是：2x−3≤1．
2. A
3. D
4. D【解析】A 、因为 b2=a2−c2，所以 b2+c2=a2，故能判定 △ABC 是直角三角形；
B 、 因为 12+32=22，所以 ∠C=90∘，故能判定 △ABC 是直角三角形；
C 、因为 ∠C=∠A−∠B，所以 ∠A=∠B+∠C，所以 ∠A=90∘，故能判定 △ABC 是直角三角形；
D、因为 ∠A:∠B:∠C=3:4:5，所以 △ABC 中的最大角 ∠C=53+4+5×180∘=75∘，故不能判定 △ABC 是直角三角形．
5. D
【解析】因为关于 x 的不等式组 x>a,x≥2−a 的解集是 x≥2−a，
所以 2−a>a，解得，a<1．
6. A【解析】根据折叠方式可得：△AED≌△AEF，
∴AF=AD=BC=10 cm，DE=EF，
设 EC=x cm，则 DE=8−xcm．
∴EF=8−xcm，
在 Rt△ABF 中，BF=AF2−AB2=6cm，
∴FC=BC−BF=4cm．
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，
即：x2+42=8−x2，
解得 x=3．
∴EC 的长为 3 cm．
7. B
8. D【解析】去分母得，m−1=2x−2，解得，x=m+12．
∵ 方程的解是正数，
∴m+12>0，解这个不等式得，m>−1．
∵m=1 时不符合题意，
∴m≠1．则 m 的取值范围是 m>−1 且 m≠1．
9. D【解析】如图，
点 A−2,2，B0,1，
①以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交 x 轴于 P1−1,0，P2−3,0，此时 AP=AB；
②以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 x 轴有二点 P3−2,0，Pʹ2,0，此时 AB=BP，因为点 A，B，Pʹ 在同一条直线上，所以点 A，B，Pʹ 不能组成三角形，故舍去，
③ AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P4，此时 AP=BP；设此时 P4x,0，则 x+22+4=x2+1，解得：x=−74，所以 P4−74,0．所以符合条件的点有 4 个．
10. C
【解析】如图，作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 Mʹ 点，过 Mʹ 点作 MʹNʹ⊥AB，垂足为 Nʹ，
则 BMʹ+MʹNʹ 为所求的最小值．
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴MʹH=MʹNʹ，
∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离，
∵AB=4，∠BAC=45∘，
∴BH=AB⋅sin45∘=2×22=2，
∵BM+MN 的最小值是 BMʹ+MʹNʹ=BMʹ+MʹH=BH=2．
第二部分
11. ②③
12. 013. 2
【解析】∵∠B=30∘，∠C=90∘，
∴∠CAB=60∘，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30∘，
∴AD=BD，
在 △ACD 中，∠C=90∘，CD=1，∠CAD=30∘，
∴AD=2CD=2，
∴BD=2．
14. 1.5【解析】根据题意得：122x−3×4≤20,2x−3>0,
解得 1.515. 4,43
【解析】如图．
∵OA=4，PA=y，
∴tan60∘=PAOA，
∴PA=OA⋅tan60∘=4×3=43．
∴ 点 P 的坐标为 4,43．
16. 1:4
17. 135∘ 或 45∘
【解析】①如图 1，
当 △ABC 是锐角三角形时，
∵BD，CE 是 △ABC 的高线，
∴∠ADB=90∘，∠BEC=90∘，
∵ 在 △ABD 中，∠A=45∘，
∴∠ABD=90∘−45∘=45∘，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45∘+90∘=135∘；
②如图 2，
当 △ABC 是钝角三角形时，
∵BD，CE 是 △ABC 的高线，
∴∠A+∠ACE=90∘，∠BHC+∠HCD=90∘，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45∘．
综上所述，∠BHC 的度数是 135∘ 或 45∘．
18. 7 秒或 25 秒
【解析】如图，作 AD⊥BC，交 BC 于点 D，
∵BC=8 cm，AB=AC，
∴BD=CD=12BC=4，
∴AD=AB2−BD2=3，
分两种情况：当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC 时，如图 1，
∵AP2=PD2+AD2=PC2−AC2，
∴PD2+AD2=PC2−AC2，
∴PD2+32=PD+42−52，
∴PD=2.25，
∴BP=4−2.25=1.75=0.25t，
∴t=7，
当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，如图 2，同理可证得 PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，
∴t=25，
∴ 点 P 运动的时间为 7 秒或 25 秒．
第三部分
19. （1）
4−x3<2x+16,24−2x<2x+1,4x>23,x>234.
（2）
4−x3≤3, ⋯⋯①4−x3>2, ⋯⋯②
解 ① 得
x≥3.
解 ② 得
x<6.∴
x 的取值范围为
3≤x<6.
20. 根据题意列出不等式 0∘解得 0∘则较大的锐角 x 的取值范围是 0∘21. （1） ∵A2,4，B−3,−8，
∴AB=−3−22+−8−42=13，即 A，B 两点间的距离是 13．
（2） ∵A，B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B 的纵坐标为 −1，
∴AB=∣−1−5∣=6，即 A，B 两点间的距离是 6．
（3） ∵ 一个三角形各顶点坐标为 A0,6，B−3,2，C3,2，
∴AB=−3−02+2−62=5，AC=3−02+2−62=5，BC=∣3−−3∣=6，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
22. △APQ 是等腰三角形．理由如下：
因为 AB=AC，
所以 ∠B=∠C，
因为 DP⊥BC，
所以 ∠PDB=∠PDC=90∘，∠P+∠B=∠PDC，∠C+∠CQD=∠PDB，
所以 ∠P=∠CQD，
因为 ∠CQD=∠AQP，
所以 ∠P=∠AQP，
所以 AP=AQ，
所以 △APQ 是等腰三角形．
23. （1） 连接 BC．
∵AC=BC，BC=CD，
∴∠CAB=∠CBA，∠CBD=∠CDB．
∵∠A+∠ABD+∠D=180∘，
∴∠BAC+∠ABC+∠BDC+∠BCD=180∘．
∴2∠ABC+∠DBC=180∘．
∴∠ABC+∠DBC=90∘，即 ∠ABD=90∘．
∴△ABD 是直角三角形．
（2） 如图，△ACD 即为所求．
【解析】先作一正三角形，再延长一边至两倍，连接第三个顶点即可得．
24. （1） 设建造室内停车位为 x 个，则建造露天停车位为 160000−5000x1000 个．
根据题意，得
160000−5000x1000≥2x,160000−5000x1000≤3x,
解得
20≤x≤1607.∵x
为整数，
∴x 取 20，21，22．
∴160000−5000x1000 取 60，55，50．
∴ 共有三种建造方案．
方案一：室内停车位 20 个，露天停车位 60 个；
方案二：室内停车位 21 个，露天停车位 55 个；
方案三：室内停车位 22 个，露天停车位 50 个．
（2） 设年租金为 w 元．
根据题意，得
w=2000x+800×160000−5000x1000=−2000x+128000,
∵−2000<0，
∴w 随 x 的增大而减小．
∴ 当 x=20 时，w 取得最大值，
w最大=−2000×20+128000=88000．
答：当建造室内停车位 20 个，露天停车位 60 个时，租金最多，最多年租金为 88000 元．
25. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴2AB2=BC2，
∴AB=BC2=42cm；
（2） 如图，过 A 作 AF⊥BC 交 BC 于点 F，
∵AB=AC，
∴AF 是 △ABC 的中线，
∴AF=12BC=4，
∵S△ABD=10 cm2，
∴AF×BD=20，
∴BD=5 cm．
若 D 在 B 点右侧，则 CD=3 cm，t=32=1.5；
若 D 在 B 点左侧，则 CD=13 cm，t=132=6.5．
∴t 为 1.5 或 6.5．
（3） 动点 E 从点 C 沿射线 CM 方向运动 83 秒或当动点 E 从点 C 沿射线 CM 的反向延长线方向运动 8 秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：
①当 E 在射线 CM 上时，D 必在 CB 上，则需 BD=CE．
∵CE=t cm，BD=8−2tcm，
∴t=8−2t，
∴t=83，
证明：∵CM⊥BC，
∴∠BCM=90∘，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ACM=90∘−45∘=45∘，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠ACE,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE．
②当 E 在 CM 的反向延长线上时，D 必在 CB 延长线上，则需 BD=CE．
∵CE=t cm，BD=2t−8cm，
∴t=2t−8，
∴t=8，
证明：∵∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ABD=∠ACE=180∘−45∘=135∘，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=BC,∠ABD=∠ACE,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE．
综上所述，当动点 E 从点 C 沿射线 CM 方向运动且 t=83，或当动点 E 从点 C 沿射线 CM 的反向延长线方向运动且 t=8 时，满足题意．