鲁科版 (2019)选择性必修 第二册第1章 安培力与洛伦兹力本章综合与测试免费课时练习

专题强化练3　磁场中的临界、极值问题

一、选择题

1.(2020四川绵阳南山中学实验学校高二上月考,)(多选)如图,一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区域,对从右边离开磁场的电子,下列判断正确的是(　　)

A.从a点离开的电子速度最小

B.从a点离开的电子在磁场中运动时间最短

C.从b点离开的电子运动半径最小

D.从b点离开的电子速度偏转角最小

2.(2020安徽定远育才学校高二上期末,)如图所示,竖直线MN∥PQ,MN与PQ间距离为a,其间存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,O是MN上一点,O处有一粒子源,某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计),已知沿图中与MN成θ=60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁场,则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

A. B. 

C. D.

3.(2020河南天一大联考,)如图所示,匀强磁场的边界是两个同心圆,内圆的半径为r,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B,A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,粒子速度方向与OA成60°角,粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场,不计粒子重力,则下列说法正确的是(　　)

A.粒子一定带正电

B.粒子第一次在磁场中运动的时间为

C.粒子运动的速度大小为

D.磁场外边界圆的半径至少为r

4.(2019河南郑州一模,)如图所示,边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界ON上有一粒子源S。某一时刻,从粒子源S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相等,经过一段时间有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON=30°,从边界OM射出的粒子在磁场中做圆周运动的最长时间等于T(T为粒子在磁场中做圆周运动的周期),则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为(　　)

A.T B.T 

C.T D.T

5.(2020重庆巴蜀中学高三月考,)如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,其余区域无磁场,一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场,其运动轨迹如图中所示,图中轨迹所对的圆心角为120°;若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2,不论其入射方向如何,都不可能射入小圆内部区域,则v1∶v2至少为(　　)

A. B. 

C. D.

6.(2020江苏启东中学高二上期末,)如图所示,空间存在方向垂直纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方,P与MN之间的距离为d,P可以在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力,已知粒子做圆周运动的半径大小也为d,则粒子(　　)

A.能打在板上的区域长度为2d

B.能打在板上离P点的最远距离为d

C.到达板上的最长时间为

D.到达板上的最短时间为

7.(2020河南鲁山一中高二上月考,)(多选)如图所示,等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,在bc的中点O处有一粒子源,可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子,这些粒子带负电,质量为m,电荷量为q,已知这些粒子都能从ab边离开abc区域,ab=2l,不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子,下列说法正确的是(　　)

A.速度的最大值为

B.速度的最小值为

C.在磁场中运动的最短时间为

D.在磁场中运动的最长时间为

8.(2019安徽黄山高三检测,)如图所示,垂直纸面向里的匀强磁场分布在等边三角形ABC内,D是AB边的中点,一群相同的带负电的粒子仅在磁场的作用下,从D点在纸面内沿平行于BC边方向,以大小不同的速率射入三角形内,不考虑粒子间的相互作用及粒子重力,已知粒子在磁场中运动的周期为T,则下列说法中正确的是(　　)

A.若某粒子在磁场中经历时间为T,则它一定从BC边射出磁场

B.若某粒子在磁场中运动时间为T,则它一定从AC边射出磁场

C.速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长

D.若某粒子在磁场中运动时间为T,则它一定从AB边射出磁场

二、非选择题

9.(2020重庆高二期末,)如图所示,在矩形区域abcd内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的宽ab=L,长ad=3L。一粒子源处于ad边中点O,在t=0时刻粒子源垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与Od的夹角分布在0~180°范围内。已知最早到达bc边的粒子的运动时间为t=t0,粒子在磁场中做圆周运动的半径R=L,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,求

(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T;

(2)粒子的比荷;

(3)粒子在磁场中运动的最长时间。深度解析

10.(2020福建福州八县一中高二上期末联考,)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场B。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子,在x轴负半轴上的a点以速度大小为v0、方向与x轴负方向成60°射入磁场,然后经过y轴上的b点(0,L)沿垂直于y轴方向进入电场,并从x轴上x=L处的c点进入第Ⅳ象限,此后粒子做匀速直线运动,进入矩形有界匀强磁场(图中未画出),并从矩形磁场边界上d点(L,-L)射出,速度沿x轴负方向,不计粒子重力。求:

(1)粒子在第Ⅱ象限的运动时间t;

(2)电场强度E的大小及粒子射出电场时的偏转角α;

(3)矩形有界匀强磁场的磁感应强度B0的大小以及最小面积Smin。

11.(2020福建师大附中高二上期末,)如图所示,MN为绝缘板,C、D为板上两个小孔,AO为CD的中垂线,在MN的下方有匀强磁场,方向垂直纸面向外(图中未画出),质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点沿平行于MN的方向进入静电分析器,静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点),已知图中虚线圆弧的半径为R,其所在处场强大小为E,粒子恰好沿图中虚线做圆周运动,然后从小孔C垂直于MN进入下方磁场。

(1)求粒子运动的速度大小;

(2)粒子在磁场的运动过程中与MN板发生碰撞,碰后以原速率反弹,且碰撞时无电荷的转移,之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场区域,从A点射出磁场,则三角形磁场区域最小面积为多少?MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少?

(3)粒子从A点出发后,第一次回到A点所经过的总时间为多少?

答案全解全析

专题强化练3　磁场中的临界、极值问题

一、选择题

1.BC　对于从右边离开磁场的电子,从a点离开的轨道半径最大,从b点离开的轨道半径最小,根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r=,知轨道半径大,则速度大,则从a点离开的电子速度最大;从a点离开的电子偏转角最小,则圆弧所对的圆心角最小,根据t=T=·=,与粒子的速度无关,知θ越小,运动的时间越短,选项B、C正确,A、D错误。

2.C　如图所示,当速度方向与MN夹角θ=60°时,粒子恰好垂直PQ方向射出磁场,所以,粒子运动的半径R==2a,若只改变粒子速度方向,使θ角能在0°至180°间不断变化,则粒子运动半径不变,粒子运动周期不变,所以,粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长,则粒子运动轨迹的圆心角越大,粒子在磁场中运动的时间越长,由几何关系可知,当粒子的运动轨迹与PQ相切时,粒子运动轨迹的弦长最大,此时对应的圆心角φ=120°,所以粒子在磁场中运动的最长时间t=T=×=×=,选项C正确。

3.D　根据题意,粒子在磁场中运动的轨迹如图,根据左手定则可以判断,粒子带负电,选项A错误;粒子第一次在磁场中运动的时间为t=T=,选项B错误;粒子在磁场中做圆周运动的半径R=r tan 30°=r,根据牛顿第二定律有qvB=m,解得v=,选项C错误;磁场外边界圆的半径至少为r'=R+=r,选项D正确。

4.A　粒子在磁场中做匀速圆周运动,入射点是S,对于出射点在OM直线上的粒子,出射点与S点的连线为其轨迹的弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时,轨迹的弦最短,根据几何知识,作ES⊥OM,则ES为最短的弦,粒子从S到E的时间最短。

由题意可知,从边界OM射出的粒子运动的最长时间等于T,设OS=d,则DS=OS tan 30°=d,粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r==d,由几何知识有ES=OS sin 30°=d,sin ==,则=60°,θ=120°,从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为tmin=T=T,选项A正确,B、C、D错误。

5.A　粒子在磁场中做圆周运动,如图,由几何知识得r1==,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律得qv1B=m,解得v1=,若粒子以速度大小为v2朝各个方向入射,当粒子竖直向上射入磁场时,如果粒子不能进入小圆区域,则所有粒子都不可能进入小圆区域,粒子竖直向上射入磁场且恰好不能进入小圆区域时粒子轨道半径r2=,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律得qv2B=m,解得v2=,则v1=v2,选项A正确,B、C、D错误。

6.C　打在极板上粒子轨迹的临界状态如图甲所示,根据几何关系知,带电粒子能到达板上的长度l=R+R=(1+)R=(1+)d,选项A错误;由图可以看到打在板上最远点是右边,由几何关系知它与P点的距离是2d,选项B错误;

甲

打到板上的粒子在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图乙所示,

乙

由几何关系知,最长时间t1=T,最短时间t2=T

又有粒子在磁场中运动的周期T==,根据题意t1=,t2=,选项C正确,D错误。

7.ACD　粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示,由几何知识可知r1=,2r2 cos 45°=O2c=r2+l,解得r2=(1+)l,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,故粒子的最大速度为vmax==,最小速度vmin==,选项A正确,B错误;由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知,粒子转过的最大圆心角θmax=180°,最小圆心角θmin=45°,粒子做圆周运动的周期T=,则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=T=,最长时间tmax=T=,选项C、D正确。

8.B　若带电粒子刚好从BC边射出磁场,运动轨迹与BC边相切,可知圆心角为180°,粒子在磁场中经历时间为T;若带电粒子刚好从AC边射出磁场,运动轨迹与AC边相切,作图可得切点为C点,可知圆心角为60°,粒子在磁场中经历时间为T;若带电粒子刚好从AB边射出磁场,可知圆心角为240°,粒子在磁场中经历时间为T。所以若某粒子在磁场中经历时间为T,则它一定从AB边射出磁场;若某粒子在磁场中运动时间为T,即小于T,则它一定从AC边射出磁场,若某粒子在磁场中运动时间为T,即大于T小于T,则它一定从BC边射出磁场,选项B正确,A、D错误;若这些带电粒子都从AB边射出磁场,可知圆心角都为240°,粒子在磁场中经历时间都为T,选项C错误。

二、非选择题

9.答案　(1)6t0　(2)　(3)2t0

解析　(1)最早到达bc边的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲,其圆心角为θ,

由几何关系有sin =,所以θ=60°

=

解得T=6t0

(2)粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,根据牛顿第二定律得qvB=m,

又有v=

所以T=

解得=

(3)如图乙所示,在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹与bc边相切于N点,与ab边的交点为M点,圆轨迹的半径为O2O=O2M=L,O2a=,由几何关系知轨迹对应的圆心角为120°,粒子在磁场中运动的最长时间tmax==2t0。

方法技巧　解题关键是画出粒子的运动轨迹,根据几何知识确定隐含的极值条件和粒子运动轨迹对应的圆心角。

10.答案　(1)　

(2)　60°　

(3)　Smin=

解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示,由几何关系可得,

粒子在第Ⅱ象限的运动轨迹对应的圆心角为120°,则得t1=T=

而T=

联立解得t1=

(2)设粒子在电场中运动的加速度为a,时间为t2,离开电场时,沿y轴方向的速度大小为vy,则水平方向有L=v0t2

竖直方向有a=

L=a

解得E=

tan α==

解得α=60°

(3)v==2v0

qvB0=m

设粒子在第Ⅳ象限进入磁场,由几何关系r+=L

解得r=

联立解得B0=

连接f、d,作直线eg,使eg∥fd且eg与粒子运动轨迹相切,且eg等于fd,矩形fged是有界匀强磁场的最小区域,Smin=r×

解得Smin=

11.答案　(1)　

(2)R2　(n=1,2,3…)　

(3)2π

解析　(1)由题可知,粒子进入静电分析器做圆周运动,则有Eq=

解得v=

(2)粒子从D到A做匀速圆周运动,轨迹如图所示

图示三角形区域面积最小值为S=

设三角形区域内磁场的磁感应强度为B,在磁场中洛伦兹力提供向心力,则有qvB=

解得R=

设MN下方的磁感应强度为B1,粒子在MN下方的磁场中做圆周运动的半径为R1,

若只碰撞一次,则有

R1==

故=

若碰撞n次,则有R1==

故=(n=1,2,3…)

(3)粒子在电场中运动时间为

t1==

在MN下方的磁场中运动时间为

t2=×2πR1×=πR=π

在MN上方的磁场中运动时间为

t3=×=

总时间为t=t1+t2+t3=2π