2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面的位置关系

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面的位置关系，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
A. 垂直B. 平行C. 相交不垂直D. 不确定

2. 直线 a 、 b 是异面直线，直线 a 和平面 α 平行，则直线 b 和平面 α 的位置关系是
A. b⊂αB. b∥αC. b 与 α 相交D. 以上都有可能

3. 若三个平面把空间分成 6 个部分，那么这三个平面的位置关系是
A. 三个平面共线
B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交
C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交
D. 三个平面两两相交

4. 已知 a，b 为异面直线，下列结论不正确的是
A. 必存在平面 α 使得 a∥α，b∥α
B. 必存在平面 α 使得 a，b 与 α 所成角相等
C. 必存在平面 α 使得 a⊂α，b⊥α
D. 必存在平面 α 使得 a，b 与 α 的距离相等

5. 若平面 α∥平面β，直线 a⊂α，点 A∈β，则在平面 β 内过点 A 的所有直线中
A. 不一定存在与 a 平行的直线B. 只有两条与 a 平行的直线
C. 存在无数条与 a 平行的直线D. 存在唯一一条与 a 平行的直线

6. 在空间中，下列命题错误的是
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点 A 在平面 α 内，又在平面 β 内，则 α 和 β 相交，且点 A 在交线上
D. 若平面 α 和平面 β 相交，则 α 内的直线和 β 内的直线一定相交

7. 设 a1，a2，b1，b2，c1，c2 都是非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0 的解集为 A，不等式 a2x2+b2x+c2>0 的解集为 B，则“A=B”是“a1a2=b1b2=c1c2>0”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

8. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥αB. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥mD. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m

9. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上，且 AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 m+n=
A. 8B. 9C. 10D. 11

10. 从平面外一点引平面的垂线和若干条斜线，且这些斜线与平面所成的角都相等，则
A. 斜足一定是某个正多边形的顶点
B. 垂足是斜足所组成的多边形的内切圆圆心
C. 垂足是斜足所组成的多边形的垂心
D. 垂足是斜足所组成的多边形的外接圆圆心

11. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线
A. 不存在B. 有且只有一条C. 有且只有两条D. 有无数条

12. 设 m，n 是不同的直线，α，β，γ 是不同的平面，有以下四个命题：
① α∥βα∥γ⇒β∥γ；② α⊥βm∥α⇒m⊥β；③ m⊥αm∥β⇒α⊥β；④ m∥nn⊂α⇒m∥α；
其中为真命题的是
A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④

13. 若 AB=λCD+μCE，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是
A. 相交B. 平行
C. 在平面内D. 平行或在平面内

14. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 m∥α，n∥α，那么 m∥n；
②如果 m⊥α，m⊥β，那么 α∥β；
③如果 α⊥β，m⊥α，那么 m∥β；
④如果 α⊥γ，β⊥γ，那么 α∥β；
其中正确命题的序号是
A. ①B. ②C. ③D. ④

15. 有命题 p:x=−1，命题 q:x=1，则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件

16. 若 α 、 β 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为
①若直线 m⊥α，则在平面 β 内一定不存在与直线 m 平行的直线．
②若直线 m⊥α，则在平面 β 内一定存在无数条直线与直线 m 垂直
③若直线 m⊂α，则在平面 β 内不一定存在与直线 m 垂直的直线
④若直线 m⊂α，则在平面 β 内一定存在与直线 m 垂直的直线
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④

17. 平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 α 于点 C，则动点 C 的轨迹是
A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支

18. 已知两个不同的平面 α 、 β 和两条不重合的直线， m 、 n ，有下列四个命题：①若 m∥n,m⊥α ，则 n⊥α ②若 m⊥α,m⊥β,则α∥β ；③若 m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β ；④若 m∥α,α∩β=n,则m∥n ，其中不正确的命题的个数是
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

19. 若不在同一直线上的三点 A，B，C 到平面 α 的距离相等，则
A. 平面α∥平面ABC
B. △ABC 中 至少有一边平行于平面 α
C. △ABC 中至多有两边平行于 α
D. △ABC 中只可能有一边与平面 α 相交

20. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，有以下三个命题
① α∥βα∥γ⇒β∥γ；② α⊥βm∥α⇒m⊥β；③ m⊥αm∥β⇒α⊥β．
其中正确的命题是
A. ②B. ②③C. ①③D. ①②

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 两条相等的平行线段在同一平面内的射影长 ．

22. 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ．

23. 正方形 ABCD 在平面 α 的同侧，若 A，B，C 三点到 α 的距离分别为 2，3，4，则直线 BD 与平面 α 的位置关系是 ．

24. 如图所示 ABCD−A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M，N 分别是下底面的棱 A1B1，B1C1 的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP=a3，过 P，M，N 的平面交上底面于 PQ，Q 在 CD 上，则 PQ=

25. 下列四个命题：①若 a∥b，a∥α，则 b∥α；②若 a∥α，b⊂α，则 a∥b；③若 a∥α，则 a 平行于 α 内所有的直线；④若 a∥α，a∥b，b⊄α，则 b∥α．
其中正确命题的序号是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 如图所示，五面体 ABCDEF 中，FE∥平面ABCD，求证：AB∥CD .

27. 已知：a⫋α，b⫋α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．
求证：PQ⫋α．

28. 求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．

29. 如图，三角形 ABC 在平面 α 外，三角形三边所在直线和平面 α 交于 P，Q，R 三点，求证：P，Q，R 三点共线．

30. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC=CC1．设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1．
答案
第一部分
1. A【解析】一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直于三角形所在平面．直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知直线直线与平面内任意一直线垂直．故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．
2. D【解析】可构建模型来演示，三种位置关系都有可能．
3. C
4. C
5. D
6. D
7. B
8. B
9. A【解析】如图，
CE⊂平面ABPQ，从而 CE∥平面A1B1P1Q1，易知 CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，
所以 m=4；
又因为 EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且 EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，
所以 n=4，
故 m+n=8．
10. D
11. D【解析】如图，在 A1D1 上任取一点 P，连接 PC，PD，得到平面 PCD，设 EF 与平面 PCD 交于点 M，连接 PM 并延长，交 CD 于点 N．
显然直线 PN 与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交，由点 P 的任意性知，这样的直线有无数条．
12. C
13. D【解析】因为 AB=λCD+μCE，
所以 AB，CD，CE 共面，
所以 AB 与平面 CDE 平行或在平面 CDE 内．
14. B
15. A
16. C
17. A
18. B【解析】真命题有①，②，③．假命题是④．
19. B【解析】若三点在平面 α 的同侧，则 平面α∥平面ABC，有三边平行于 α，若一点在平面 α 的一侧，另两点在平面 α 的另一侧，则有两边与平面 α 相交，有一边平行于 α，故 △ABC 中至少有一边平行于平面 α．应选 B．
20. C
【解析】对于 ②，直线 m 与平面 β 可能平行或相交；而 ①③ 都是正确的命题，故选C．
第二部分
21. 相等
22. 平行或相交
【解析】三条线段共面时，可能相交．
23. BD∥α
【解析】线段 AC 的中点到 O 的距离为 122+4=3，因为正方形 ABCD 在平面 α 的同侧，所以 BO∥α，即 BD∥α .
24. 23a3
【解析】因为 MN∥平面AC，平面 PMN∩平面AC=PQ ，所以 MN∥PQ ，易知 DP=DQ=2a3，故 PQ=PD2+DQ2=2DP=23a3．
25. ④
【解析】①中 b 可能在 α 内；② a 与 b 可能异面或者垂直；③ a 可能与 α 内的直线异面或垂直．
第三部分
26. 因为 FE∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，
平面ABCD∩平面ABFE=AB，
所以 EF∥AB，
同理可证：EF∥CD，
所以 AB∥CD．
27. 因为 PQ∥a，
所以 PQ 与 a 确定一个平面 β，
所以直线 a⫋β，点 P∈β．
因为 P∈b，b⫋α ，
所以 P∈α ，
又因为 a⫋α .
所以 α 与 β 重合，
因为 PQ⫋α．
28. 如图所示，巳知直线 a∥b，a∩平面α=P，求证：直线 b 与平面 α 相交．
因为 a∥b，所以 a 与 b 确定一平面，设为 β．
因为 a∩α=P，所以平面 α 与平面 β 相交于过点 P 的直线，设为 l．又因为在平面 β 内 l 与两条平行直线 a，b 中的一条直线 a 相交，
所以 l 必与 b 相交，设为 Q 点，即 b∩l=Q．
又因为 b 不在平面 α 内（若 b 在 α 内，又 a∥b，所以 a∥α，与 a 与 α 相交矛盾），故直线 b 和平面 α 相交．
29. 因为直线 AB∩α=P，
所以 P∈AB，P∈α．
又因为 AB⊂平面ABC，
所以 P∈平面ABC．
同理可得 R∈α，R∈平面ABC；Q∈α，Q∈平面ABC．
因此 P，Q，R 三点都在平面 α 与平面 ABC 上，平面 α 与平面 ABC 相交只有一条交线，
所以 P，Q，R 三点在平面 α 与平面 ABC 的交线上，即 P，Q，R 三点共线．
30. （1） 由题意知，E 为 B1C 的中点，
又 D 为 AB1 的中点，
因此 DE∥AC．
又因为 DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以 DE∥平面AA1C1C．
（2） 因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，
所以 CC1⊥平面ABC．
因为 AC⊂平面ABC，
所以 AC⊥CC1．
又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，
所以 AC⊥平面BCC1B1．
又因为 BC1⊂平面BCC1B1，
所以 BC1⊥AC．
因为 BC=CC1，
所以矩形 BCC1B1 是正方形，
因此 BC1⊥B1C．
因为 AC,B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，
所以 BC1⊥平面B1AC．
又因为 AB1⊂平面B1AC，
所以 BC1⊥AB1．