数学人教B版 (2019)第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法课后测评

10.2.1　复数的加法与减法

基础过关练

题组一　复数的加、减运算

1.已知复数z1=2-i,z2=1+2i,则z1+z2=(　　)

A.3+i  B.3-i  C.1+3i  D.1-3i

2.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)

A.-1+i B.1-i   C.i     D.-i

3.已知复数z+(3-2i)=2,则z的实部和虚部的差为　　　. 

4.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=　　　　. 

5.设复数z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),若z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　　. 

6.设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求实数m的取值范围.

7.(1)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z;

(2)已知复数z满足|z|+z=1+3i,求z.

题组二　复数加、减法的几何意义

8.已知复数z1=3-i,z2=2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限    C.第三象限  D.第四象限

9.在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的两点间的距离为(　　)

A.2   B.3    C.4     D.5

10.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=(　　)

A.1 B.   C.2 D.3

11.在复平面内的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是　　　　. 

12.复数z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,则复数z1-z2的模的最大值为　　　　.  

13.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.

14.已知i为虚数单位,在复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:

(1)点C,D对应的复数;

(2)平行四边形ABCD的面积.

能力提升练

一、单项选择题

1.(2018湖南长郡中学高二上期末,疑难1,★★☆)设i为虚数单位,复数z1=1-3i,z2=3-2i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(疑难1,★★☆)已知复数z=-+i,i为虚数单位,则+|z|等于(　　)

A.--i   B.-+i   C.+i     D.-i

3.(★★☆)已知复数z=+i(b∈R)的实部为-1,i为虚数单位,则复数-b在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限 

C.第三象限   D.第四象限

4.(疑难2,★★☆)若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是(　　)

A.2     B.   C.2+1  D.2-1

5.(疑难1,★★☆)设复数z满足关系式z+|z|=2+i(i为虚数单位),那么z等于(　　)

A.-+i    B.-i    C.--i    D.+i

6.(2018福建高三形成性测试,★★☆)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面xOy上所对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),其中O为原点,i为虚数单位,则λ+μ的值是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

二、多项选择题

7.(疑难2,★★☆)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是(　　)

A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上就是复数在复平面内对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥

8.(★★★)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(　　)

A.P0点的坐标为(1,2)

B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.点P0与z对应的点Z之间的距离的最小值为

三、填空题

9.(★★☆)设i为虚数单位, f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,则f(z1+z2)=　　　　.  

10.(疑难2,★★☆)已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,则|z1-z2|=　　　　. 

11.(疑难1,★★☆)已知i为虚数单位,x,y∈R,z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i.设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　,z2=　　　　. 

12.(2019福建福州八县(市)高二上期中联考,疑难2,★★★)若z∈C且|z|=1,则|z+2-i|(i为虚数单位)的最小值为　　　　. 

四、解答题

13.(2018浙江温州十校高二上期末联考,★★☆)在复平面内,A,B,C三点所对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,其中i为虚数单位.

(1)求,,对应的复数;

(2)判断△ABC的形状;

(3)求△ABC的面积.

14.(疑难2,★★★)若z∈C,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.

2.A　(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.

3.答案　-3

解析　已知复数z+(3-2i)=2,则z=2-(3-2i)=-1+2i,则z的实部和虚部的差为-3.

4.答案　5

解析　|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.

5.答案　-1+10i

解析　∵z1+z2=x+2i+(3-yi)=(x+3)+(2-y)i=5-6i(x,y∈R),∴x=2且y=8,

∴z1-z2=2+2i-(3-8i)=-1+10i.

6.解析　因为z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,所以z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.

因为z1+z2是虚数,所以m2-2m-15≠0且m≠-2,所以m≠5且m≠-3且m≠-2,

所以实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).

7.解析　(1)解法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.

解法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.

(2)　设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=,又|z|+z=1+3i,所以+x+yi=1+3i,由复数相等的充要条件可得解得所以z=-4+3i.

8.D　由z1=3-i,z2=2+3i,得z1-z2 =(3-i)-(2+3i)=(3-2)+(-1-3)i=1-4i,在复平面内对应的点位于第四象限.

9.D　在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的两点的坐标分别为(3,-1),(-1,2),则两点间的距离为| z2-z1|==5.

10.B　由题图可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=.

11.答案　-1-7i

解析　依据向量的平行四边形法则可得+=,-=,由对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,及复数加、减法的几何意义可得对应的复数是-1-7i.

12.答案　

解析　由题意可得z1-z2=cos θ-sin θ+2i,∴|z1-z2|==.

∵4≤5-sin 2θ≤6,∴|z1-z2|的最大值为.

13.解析　由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,∴向量,,对应的复数分别为-1+2i,1-i,3-2i.

∵=x+y,∴3-2i=x(-1+2i)+y(1-i)=y-x+(2x-y)i,∴解得故x+y=5.

14.解析　(1)∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.设O为坐标原点,∵=+,∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.在平行四边形ABCD中,=,∴向量对应的复数为3-i,∴=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),∴解得∴点D对应的复数为5.

(2)由题意得cos B====.∵0<B<π,∴sin B=,∴S▱ABCD=||·||sin B=××=7.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　z1-z2=(1-3i)-(3-2i)=-2-i,-2-i在复平面内对应的点为(-2,-1),位于第三象限.故选C.

2.D　因为z=-+i,所以+|z|=--i+=-i.

3.C　复数z=+i (b∈R)的实部为-1,则=-1,即b=6,∴z=-1+5i,∴=-1-5i.

复数-b=-1-5i-6=-7-5i,在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),位于第三象限.故选C.

4.D　|z-2-2i|=|(cos θ-2)+(sin θ-2)i|=

==≥=2-1,∴|z-2-2i|的最小值为2-1,故选D.

5.D　设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=2+i,∴解得∴z=+i,故选D.

6.A　由题意可得,3-4i=λ(-1+2i)+μ(1-i)=μ-λ+(2λ-μ)i,则解得∴λ+μ=1,故选A.

二、多项选择题

7.CD　在A中,满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,

∴解得∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.

8.ACD　复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得 y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0、Z之间的距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.

三、填空题

9.答案　3+3　

解析　由题意得z1+z2=3+3i,∴f(z1+z2)=f(3+3i)=3+3i-3i+|3+3i|=3+3.

10.答案　

解析　设z1,z2在复平面内对应的向量分别为,,如图所示,|z1|=||=1,

|z2|=||=1,|z1+z2|=||=1,|z1-z2|=||.由图知,||=||=||=1,

∴∠OZ1Z3=60°,∠Z1OZ2=120°.

由余弦定理,得||2=||2+||2-2||||cos 120°=1+1-2×1×1×=3,∴||=,即|z1-z2|=.

11.答案　5-9i;-8-7i

解析　∵z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,

∴解得∴z1=5-9i,z2=-8-7i.

12.答案　-1

解析　由z∈C且|z|=1知,复数z对应的点Z在以原点为圆心,1为半径的圆上,如图所示.

又|z+2-i|表示点A(-2,1)到点Z的距离,∴由|AO|==,由图可知,|AZ|min=|AO|-1=-1.

四、解答题

13.解析　(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.

(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.

(3)△ABC的面积为S△ABC=××2=2.

14.解析　由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,因此复数z对应的点Z在以z0=-2+2i对应的点Z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.

设y=|z-2-2i|,则y是点Z到复数2+2i对应的点A的距离.易求得|AZ0|=4,∴由图知,ymin=|AZ0|-1=3.