必修 第一册5.5 三角恒等变换巩固练习

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1．sin 105°的值为( )
A.eq \f(\r(3)＋\r(2),2) B.eq \f(\r(2)＋1,2)
C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
2．已知sin(π＋α)＝eq \f(1,3)，|α|A.eq \f(2\r(2)＋3,6) B.eq \f(2\r(6)＋1,6)
C.eq \f(2\r(2)－\r(3),6) D.eq \f(2\r(6)－1,6)
3．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),10)
4．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝2，则tan α＝________.
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(12,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)<α<\f(π,2)))，则cs α＝________.
6．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
[提能力]
7．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，下列各式正确的是( )
A．tan(A＋B)＝－eq \r(3) B．tan A＝tan B
C．cs B＝eq \r(3)sin A D．tan A·tan B＝eq \f(1,3)
8．在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则cs A＝( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
9．已知tan α＝eq \f(1,7)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
[战疑难]
10．是否存在锐角α，β，使得：(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)；(2)taneq \f(α,2)·tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(三十七) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
答案：D
2．解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(1,3)，∴sin α＝－eq \f(1,3).又|α|∴cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(2),3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝cs αcseq \f(π,6)－sin αsineq \f(π,6)＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2\r(6)＋1,6).
答案：B
3．解析：因为cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，所以sin α＝－eq \f(3,5)，由两角和的正弦公式可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)＋cs αsineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：A
4．解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋α－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝2，∴tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋1,1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝－3.
答案：－3
5．解析：由于0<α－eq \f(π,6)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(12,13)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(5,13).
所以cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cseq \f(π,6)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sineq \f(π,6)
＝eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(12\r(3)－5,26).
答案：eq \f(12\r(3)－5,26)
6．解析：∵sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
7．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝tan 60°＝eq \r(3)，A错；∵tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan Atan B)＝eq \f(2\r(3),3)，∴tan A·tan B＝eq \f(1,3) ①，∴D正确；又tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3) ②，由①②联立解得tan A＝tan B＝eq \f(\r(3),3)，所以cs B＝eq \r(3)sin A，故B、C正确．故选BCD.
答案：BCD
8.
解析：如图，设AD＝a，则AB＝eq \r(2)a，CD＝2a，AC＝eq \r(5)a，∴sin α＝cs α＝eq \f(\r(2),2)，sin β＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，∴cs A＝cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(2\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
答案：C
9．解析： ∵tan α＝eq \f(1,7)<1且α为锐角，
∴0<α又∵sin β＝eq \f(\r(10),10)∴0<α＋2β由sin β＝eq \f(\r(10),10)，β为锐角，得cs β＝eq \f(3\r(10),10)，∴tan β＝eq \f(1,3).
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq \f(1,2).
∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋β＋tan β,1－tanα＋βtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.②
由①②可得α＋2β＝eq \f(π,4).
10．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．
由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).
又因为taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，所以taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3).
因此taneq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根．解该方程得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
若taneq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2).这与α为锐角矛盾．
所以taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，
所以β＝eq \f(π,4)，α＝eq \f(2π,3)－2β＝eq \f(π,6).
所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).