初中数学北师大版八年级下册4 角平分线授课课件ppt

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BS八(下)教学课件第一章 三角形的证明1.4 角平分线 第1课时 角平分线 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能 应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生 的推理证明意识和能力．学习目标 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.O情境引入通过本堂课的学习，我们就知道为什么D到两边的距离相等了1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长. 将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________COBAPD=PE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.新课讲解已知：如图，OC是 ∠AOB的平分线,点P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO和△PEO中，∠PDO= ∠PEO，∠AOC= ∠BOC，OP= OP，∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等新课讲解性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分 线，∴PD = PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB，归纳总结（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×新课讲解 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.新课讲解例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用例21.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分 ∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用新课讲解2.如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分 ∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，新课讲解1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解归纳总结角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.逆命题新课讲解思考：这个结论正确吗？已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：连接OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边），PD= PE（已知 ），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.∴∠AOP=∠BOP新课讲解判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上.归纳总结 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.　　　GHMABCFED┑┑┑新课讲解例3新课讲解 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF,求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF,∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE= AD= ×10=5 (直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半).例4OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质归纳总结2.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别 是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°， 则 ∠EBF= 度，BE= .60BF随堂即练3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两 边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交 点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在RT△MOP和RT△NOP中， OM=ON， OP=OP，∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.随堂即练4.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同， 到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该 建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规 作图，不写作法，保留作图痕迹)能力提高方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：P能力提高角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上课堂小结