高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时课时训练

课时作业14　一元二次不等式的解法

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．下列不等式中是一元二次不等式的是(　C　)

A．a2x2＋2≥0    B．<3

C．－x2＋x－m≤0    D．x3－2x＋1>0

解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；

选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C．

2．不等式6－x－2x2<0的解集是(　D　)

解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，

又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为故选D．

3．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a的值是(　D　)

A．－2    B．－1

C．0    D．1

解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，代入解得a＝1.

4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足：x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　B　)

A．0<x<2    B．－2<x<1

C．x<－2或x>1    D．－1<x<2

解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－2<x<1.

5．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　A　)

A．{x|－2<x<2}

B．{x|x<－2或x>2}

C．{x|－1<x<1}

D．{x|x<－1或x>1}

解析：令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.

∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2.

∴|x|<2，得－2<x<2.

6．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　C　)

A．m>    B．0<m<1

C．m>0    D．m>1

解析：若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.

7．若0<a<1，则关于x的不等式(a－x)(x－)>0的解集是{x|a<x<}．

解析：原不等式可化成(x－a)(x－)<0，因为0<a<1，所以a<，故原不等式的解集为{x|a<x<}．

8．不等式组的解集是.

解析：由得

即x≤－1或≤x<或x>3，

故不等式组的解集为.

9．若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是－1<a<3.

解析：依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1<4＋2a，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.

10．求下列不等式的解集．

(1)－2x2＋x＋<0；

(2)3x2＋5≤3x；

(3)9x2－6x＋1>0.

解：(1)原不等式可以化为2x2－x－>0.

∵方程2x2－x－＝0的解是：x1＝，x2＝，

∴原不等式的解集是.

(2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0.

∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解．

∴不等式3x2－3x＋5≤0的解集是∅.

∴原不等式的解集是∅.

(3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，∴不等式9x2－6x＋1>0的解集为.

11．已知f(x)＝x2－x＋1.

(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；

(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.

解：(1)当a＝时，不等式为f(x)＝x2－x＋1≤0，

∴(x－2)≤0，

∴不等式的解集为

——能力提升类——

12．已知a<0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2>0的解集为(　B　)

A．{x|x<或x>1}

B．{x|<x<1}

C．{x|x<1或x>}

D．{x|1<x<}

解析：ax2－(2＋a)x＋2>0等价于(ax－2)(x－1)>0，∵a<0，∴(x－1)<0，解得<x<1，故原不等式的解集为.

13．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　A　)

A．    B．

C．    D．

解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.

由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.

14．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是－3≤a<－2或4<a≤5.

解析：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可转化为(x－1)(x－a)<0.

当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2,3,4，

则4<a≤5；

当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1,0，

则－3≤a<－2.

故a的取值范围是－3≤a<－2或4<a≤5.

15．已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.

解：(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，

故解集为{x|x>0}．

(2)若a>0，Δ＝4－4a2.

①当Δ>0，即0<a<1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为x1＝，x2＝，

∴原不等式的解集为.

②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为∅.

③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为∅.

(3)若a<0，Δ＝4－4a2.

①当Δ>0，即－1<a<0时，原不等式的解集为 .

②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，

∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．

③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.

综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；

当0<a<1时，原不等式的解集为；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；

当－1<a<0时，原不等式的解集为；

当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；

当a<－1时，原不等式的解集为R.