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初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课时练习
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这是一份初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课时练习，共22页。
浙教版八年级上第1章 三角形的初步认识单元测试（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•沈河区期末）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A．5m B．9m C．11m D．13m
2．（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021春•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝CE B．∠BAC＝2∠BAD C．∠DAF＝（∠C﹣∠B） D．S△ABD＝S△ACD
4．（2021春•垦利区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
5．（2021春•吉州区期末）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
6．（2021春•历城区期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（2021春•雨花区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
9．（2021春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC＝130°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
10．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（ ）
A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 ．
12．（2021春•龙港区期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．
①a＝3，b＝2 ②a＝﹣3，b＝2 ③a＝3，b＝﹣1 ④a＝﹣1，b＝3
13．（2020秋•沂水县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为 ．
14．（2021春•泰兴市期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
15．（2021春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ ．
16．（2020秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝ ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021春•扬州期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝42°，∠C＝78°，求∠DAE的度数．
18．（8分）（2021春•莱州市期末）尺规作图题．已知：∠α，∠β．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣∠β．要求：不写作法，保留作图痕迹；标注字母A，O，B．
19．（8分）（2020秋•椒江区期末）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
20．（10分）（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
21．（10分）（2021春•织金县期末）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ ），
∴∠2＝∠3 （ ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ ）．
22．（12分）（2021春•乐平市期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
23．（12分）（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•沈河区期末）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A．5m B．9m C．11m D．13m
【解析】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2，
∴6＜x＜10，
又∵x为奇数，
∴x＝7或9，
故选：B．
2．（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
【解析】解：根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线垂足为D，
纵观各图形，选项ABD都不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
3．（2021春•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝CE B．∠BAC＝2∠BAD C．∠DAF＝（∠C﹣∠B） D．S△ABD＝S△ACD
【解析】解：∵AE是中线，
∴BE＝CE，故A说法正确；
∵AD是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，故B说法正确；
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFC＝90°，∠CAF＝90°﹣∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝，
∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF
＝﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣90°+∠C
＝
＝（∠C﹣∠B），故C说法正确；
，
，
∵BD≠CD，
∴S△ABD≠S△ACD，故D说法错误；
故选：D．
4．（2021春•垦利区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意．
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，是真命题，本选项符合题意．
C、若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b，是假命题，本选项不符合题意．
D、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0，是假命题，本选项不符合题意．
故选：B．
5．（2021春•吉州区期末）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
【解析】解：A、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
6．（2021春•历城区期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【解析】解：如图，
只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，
故选：D．
7．（2021春•雨花区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选：D．
8．（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【解析】解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
9．（2021春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC＝130°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【解析】解：由题意得：
CO，CD分别平分∠ACB，∠ACF，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACD＝∠ACF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∵∠BOC＝130°，且∠BOC是△OCD的外角，
∴∠D＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣90°＝40°．
故选：C．
10．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（ ）
A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．
【解析】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∵△ABE中，AB＝5，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∵AE＝2AD，
∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．
故选：C．
二．填空题
11．（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 稳定性 ．
【解析】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（2021春•龙港区期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ② ．
①a＝3，b＝2 ②a＝﹣3，b＝2 ③a＝3，b＝﹣1 ④a＝﹣1，b＝3
【解析】解：①a＝3，b＝2，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．
②a＝﹣3，b＝2，满足a2＞b2，a＜b，能说明命题是假命题．
③a＝3，b＝﹣1，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．
④a＝﹣1，b＝3，不满足a2＞b2，不能说明命题是假命题．
故答案为：②
13．（2020秋•沂水县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为 50° ．
【解析】解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA＝∠DCA，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D，
∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA，
∵∠EAC＝∠D+∠DCA，
∴∠B+∠BCA＝∠EAC，
∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，
∵∠BAE＝80°，
∴∠EAC＝50°，
故答案为：50°．
14．（2021春•泰兴市期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ 90 °．
【解析】解：如图所示：
由图可知△ABF与△CED全等，
∴∠BAF＝∠ECD，
∴∠2﹣∠1＝90°，
故答案为：90．
15．（2021春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ ．
【解析】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴，．
∵∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC
＝
＝
＝．
同理可证，．
∴．
以此类推…
∴．
∵∠A＝α，
∴．
故答案为：．
16．（2020秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝ 42°或24° ．
【解析】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，
∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A＝∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
三．解答题
17．（2021春•扬州期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝42°，∠C＝78°，求∠DAE的度数．
【解析】解：∵∠B＝42°，∠C＝78°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣78°＝60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝BAC＝30°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣78°＝12°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣12°＝18°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．
18．（2021春•莱州市期末）尺规作图题．已知：∠α，∠β．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣∠β．要求：不写作法，保留作图痕迹；标注字母A，O，B．
【解析】解：如下图所示：∠AOB＝∠α﹣∠β．
所以∠AOB即为所求．
19．（2020秋•椒江区期末）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【解析】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
20．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【解析】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
21．（2021春•织金县期末）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3 （ 三角形内角和是180° ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ 等式的基本性质 ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ ASA ）．
【解析】证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （对顶角相等），
∴∠2＝∠3 （三角形内角和是180°）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （等式的基本性质）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ASA）．
故答案为：对顶角相等；三角形内角和是180°；等式的基本性质；ASA．
22．（2021春•乐平市期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 8 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
23．（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝90°+（∠B+∠D） ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝180°﹣（∠B+∠D） ．
【解析】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
浙教版八年级上第1章 三角形的初步认识单元测试（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•沈河区期末）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A．5m B．9m C．11m D．13m
2．（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021春•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝CE B．∠BAC＝2∠BAD C．∠DAF＝（∠C﹣∠B） D．S△ABD＝S△ACD
4．（2021春•垦利区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
5．（2021春•吉州区期末）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
6．（2021春•历城区期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（2021春•雨花区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
9．（2021春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC＝130°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
10．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（ ）
A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 ．
12．（2021春•龙港区期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．
①a＝3，b＝2 ②a＝﹣3，b＝2 ③a＝3，b＝﹣1 ④a＝﹣1，b＝3
13．（2020秋•沂水县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为 ．
14．（2021春•泰兴市期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
15．（2021春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ ．
16．（2020秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝ ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021春•扬州期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝42°，∠C＝78°，求∠DAE的度数．
18．（8分）（2021春•莱州市期末）尺规作图题．已知：∠α，∠β．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣∠β．要求：不写作法，保留作图痕迹；标注字母A，O，B．
19．（8分）（2020秋•椒江区期末）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
20．（10分）（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
21．（10分）（2021春•织金县期末）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ ），
∴∠2＝∠3 （ ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ ）．
22．（12分）（2021春•乐平市期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
23．（12分）（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•沈河区期末）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A．5m B．9m C．11m D．13m
【解析】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2，
∴6＜x＜10，
又∵x为奇数，
∴x＝7或9，
故选：B．
2．（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
【解析】解：根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线垂足为D，
纵观各图形，选项ABD都不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
3．（2021春•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝CE B．∠BAC＝2∠BAD C．∠DAF＝（∠C﹣∠B） D．S△ABD＝S△ACD
【解析】解：∵AE是中线，
∴BE＝CE，故A说法正确；
∵AD是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，故B说法正确；
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFC＝90°，∠CAF＝90°﹣∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝，
∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF
＝﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣90°+∠C
＝
＝（∠C﹣∠B），故C说法正确；
，
，
∵BD≠CD，
∴S△ABD≠S△ACD，故D说法错误；
故选：D．
4．（2021春•垦利区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意．
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，是真命题，本选项符合题意．
C、若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b，是假命题，本选项不符合题意．
D、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0，是假命题，本选项不符合题意．
故选：B．
5．（2021春•吉州区期末）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
【解析】解：A、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
6．（2021春•历城区期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【解析】解：如图，
只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，
故选：D．
7．（2021春•雨花区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选：D．
8．（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【解析】解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
9．（2021春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC＝130°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【解析】解：由题意得：
CO，CD分别平分∠ACB，∠ACF，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACD＝∠ACF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∵∠BOC＝130°，且∠BOC是△OCD的外角，
∴∠D＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣90°＝40°．
故选：C．
10．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（ ）
A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．
【解析】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∵△ABE中，AB＝5，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∵AE＝2AD，
∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．
故选：C．
二．填空题
11．（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 稳定性 ．
【解析】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（2021春•龙港区期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ② ．
①a＝3，b＝2 ②a＝﹣3，b＝2 ③a＝3，b＝﹣1 ④a＝﹣1，b＝3
【解析】解：①a＝3，b＝2，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．
②a＝﹣3，b＝2，满足a2＞b2，a＜b，能说明命题是假命题．
③a＝3，b＝﹣1，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．
④a＝﹣1，b＝3，不满足a2＞b2，不能说明命题是假命题．
故答案为：②
13．（2020秋•沂水县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为 50° ．
【解析】解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA＝∠DCA，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D，
∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA，
∵∠EAC＝∠D+∠DCA，
∴∠B+∠BCA＝∠EAC，
∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，
∵∠BAE＝80°，
∴∠EAC＝50°，
故答案为：50°．
14．（2021春•泰兴市期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ 90 °．
【解析】解：如图所示：
由图可知△ABF与△CED全等，
∴∠BAF＝∠ECD，
∴∠2﹣∠1＝90°，
故答案为：90．
15．（2021春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ ．
【解析】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴，．
∵∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC
＝
＝
＝．
同理可证，．
∴．
以此类推…
∴．
∵∠A＝α，
∴．
故答案为：．
16．（2020秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝ 42°或24° ．
【解析】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，
∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A＝∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
三．解答题
17．（2021春•扬州期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝42°，∠C＝78°，求∠DAE的度数．
【解析】解：∵∠B＝42°，∠C＝78°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣78°＝60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝BAC＝30°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣78°＝12°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣12°＝18°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．
18．（2021春•莱州市期末）尺规作图题．已知：∠α，∠β．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣∠β．要求：不写作法，保留作图痕迹；标注字母A，O，B．
【解析】解：如下图所示：∠AOB＝∠α﹣∠β．
所以∠AOB即为所求．
19．（2020秋•椒江区期末）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【解析】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
20．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【解析】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
21．（2021春•织金县期末）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3 （ 三角形内角和是180° ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ 等式的基本性质 ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ ASA ）．
【解析】证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （对顶角相等），
∴∠2＝∠3 （三角形内角和是180°）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （等式的基本性质）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ASA）．
故答案为：对顶角相等；三角形内角和是180°；等式的基本性质；ASA．
22．（2021春•乐平市期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 8 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
23．（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝90°+（∠B+∠D） ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝180°﹣（∠B+∠D） ．
【解析】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
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