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浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课后练习题
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这是一份浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课后练习题，共25页。
浙教版八年级上第1章 三角形的初步知识单元测试（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
2．（2021春•本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175° B．165° C．155° D．145°
3．（2021春•郫都区期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
4．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
5．（2021春•乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
6．（2021春•西湖区校级期末）下列命题是真命题的有（ ）个
①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021春•海口期末）如图，已知AF平分∠BAC，交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D．若∠B比∠C大20°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．不能确定
8．（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
9．（2021春•高新区月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2021春•兴化市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春•开福区校级期末）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 ．
12．（2021春•泰州期末）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝ ．
13．（2021春•峄城区期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC≌△ADC，②∠BCA＝∠DCA，③∠ABC＝∠ADC，④∠BAE＝∠ACD，则正确的结论有 ．（填序号）
14．（2021春•长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 对．
15．（2021春•莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
16．（2021春•本溪期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021春•宝安区期中）如图，已知△ABC中，点P在BC上．
（1）试用直尺和圆规在线段AC上找一点D，使∠CPD＝∠BAP．（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若PD平分∠APC，求证：∠BAP＝∠PBA．
18．（8分）（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
19．（8分）（2021•碑林区校级四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．
20．（10分）（2021春•高平市期末）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
21．（10分）（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
22．（12分）（2020秋•卧龙区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连接FG．
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．
23．（12分）（2019秋•浦东新区期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
【解析】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
2．（2021春•本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175° B．165° C．155° D．145°
【解析】解：∵∠EDC＝45°，
∴∠ADF＝135°，
∵∠AFE是△ADF的一个外角，
∴∠AFE＝∠A+∠ADF＝30°+135°＝165°，
故选：B．
3．（2021春•郫都区期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．垂线段最短
【解析】解：加上DB后，原图形中具有△ADB了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
4．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
【解析】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
5．（2021春•乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【解析】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，
∵BC＝EF，
∴当∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF；
当BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
6．（2021春•西湖区校级期末）下列命题是真命题的有（ ）个
①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：①定理的真命题，但真命题不一定都是定理，本说法是假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题；
③三角形的三条高线所在的直线交于一点，本说法是假命题；
④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题；
⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题；
⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题；
故选：A．
7．（2021春•海口期末）如图，已知AF平分∠BAC，交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D．若∠B比∠C大20°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．不能确定
【解析】解：由题意知：∠B＝∠C+20°．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
又∵∠BAE+∠B+∠BEA＝∠CAE+∠C+∠AEC，
∴∠B+∠AEB＝∠C+∠AEC．
∴∠AEC＝∠AEB+20°．
又∵∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AEB+∠AEB+20°＝180°．
∴∠AEB＝80°．
∵∠AEC＝100°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∵∠AEC＝∠EDF+∠F，
∴∠F＝∠AEC﹣∠EDF＝100°﹣90°＝10°．
故选：A．
8．（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【解析】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
9．（2021春•高新区月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
10．（2021春•兴化市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：如图所示：
能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形有△ABC，△AGB，△HEF，共3个，
故选：C．
二．填空题
11．（2021春•开福区校级期末）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 12或14 ．
【解析】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
又∵x为偶数，
∴x＝4或6，
∴三角形的周长为12或14，
故答案为：12或14．
12．（2021春•泰州期末）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝ ﹣4（答案不唯一） ．
【解析】解：当a＝3，b＝﹣4时，满足a＞b，但是a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
13．（2021春•峄城区期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC≌△ADC，②∠BCA＝∠DCA，③∠ABC＝∠ADC，④∠BAE＝∠ACD，则正确的结论有 ①②③ ．（填序号）
【解析】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故①正确；
∴∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC，故②③正确；
∵∠BAE＝∠DAE，故④错误．
所以正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
14．（2021春•长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 4 对．
【解析】解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故答案为4．
15．（2021春•莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
【解析】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
16．（2021春•本溪期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 60或32 ．
【解析】解：当△AEG≌△BEF时，AE＝BE，AG＝BF，
∵AB＝80，
∴AE＝BE＝40，
∵点E和点F运动速度之比为2：3，
∴，
解得BF＝60；
当△AEG≌△BFE时，AE＝BF，AG＝BE，
设BE＝2x，则BF＝3x，
∴AE＝3x，
∵AB＝80，AB＝AE+BE，
∴80＝3x+2x，
解得x＝16，
∴AG＝BE＝2x＝32；
由上可得，AG的长为60或32，
故答案为：60或32．
三．解答题
17．（2021春•宝安区期中）如图，已知△ABC中，点P在BC上．
（1）试用直尺和圆规在线段AC上找一点D，使∠CPD＝∠BAP．（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若PD平分∠APC，求证：∠BAP＝∠PBA．
【解析】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵PD平分∠APC，
∴∠CPD＝∠APD，
∵∠CPD＝∠BAP．
∴∠APD＝∠BAP，
∵∠APC＝∠PBA+∠BAP，
即∠APD+∠CPD＝∠PBA+∠BAP
∴∠BAP+∠BAP＝∠PBA+∠BAP，
∴∠BAP＝∠PBA．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
【解析】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
∴AD＝AE．
19．（2021•碑林区校级四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．
【解析】解；如图所示：
∵∠BAC＝∠1+∠DAC，
∠DAE＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，
∠3+∠DFC+∠C＝180°，
∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，
∴∠E＝∠C，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
20．（2021春•高平市期末）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ 45 °，∠DAE＝ 25 °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ 20 °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
【解析】解：（1）探究与发现：
①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，
故答案为：45，25；
②∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，
故答案为：20；
③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（ 90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．
21．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP 是 “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
【解析】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°，
∴∠C＝90°﹣72°＝18°，
∵∠CPB＝54°，
∴∠A+∠ACP＝54°，
∴∠ACP＝36°，
∴∠ACP＝2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是．
∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，
∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，
∴∠BCP＝36°或72°，
∴∠ACP＝54°或18°．
（2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°．
如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°．
如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°．
如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°．
如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°．
综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．
22．（2020秋•卧龙区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连接FG．
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．
【解析】（1）证明：∵EC平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠FCG，
∵CG＝CD，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG．
（2）解：结论：FG＝FE．
理由：∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠ACF+∠FAC＝（∠BCA+∠BAC）＝60°，
∴∠AFC＝120°，∠CFD＝∠AFE＝60°，
∵△CFD≌△CFG，
∴∠CFD＝∠CFG＝60°，
∴∠AFG＝∠AFE＝60°，
∵AF＝AF，∠FAG＝∠FAE，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴FG＝FE．
（3）结论：（1）中结论成立．（2）中结论不成立．
理由：①同法可证△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG．
②∵∠B≠60°，
∴无法证明∠AFG＝∠AFE，
∴不能判断△AFG≌△AFE，
∴（2）中结论不成立．
23．（2019秋•浦东新区期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为 AC＝BD ；
②∠AMB的度数为 40° ．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
【解析】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴AC＝BD；
故答案为：AC＝BD，
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°；
故答案为：40°；
（2）①AC＝BD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC；
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∠ABO＝∠ABM+∠OBD，
∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．
浙教版八年级上第1章 三角形的初步知识单元测试（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
2．（2021春•本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175° B．165° C．155° D．145°
3．（2021春•郫都区期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
4．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
5．（2021春•乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
6．（2021春•西湖区校级期末）下列命题是真命题的有（ ）个
①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021春•海口期末）如图，已知AF平分∠BAC，交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D．若∠B比∠C大20°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．不能确定
8．（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
9．（2021春•高新区月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2021春•兴化市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春•开福区校级期末）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 ．
12．（2021春•泰州期末）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝ ．
13．（2021春•峄城区期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC≌△ADC，②∠BCA＝∠DCA，③∠ABC＝∠ADC，④∠BAE＝∠ACD，则正确的结论有 ．（填序号）
14．（2021春•长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 对．
15．（2021春•莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
16．（2021春•本溪期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021春•宝安区期中）如图，已知△ABC中，点P在BC上．
（1）试用直尺和圆规在线段AC上找一点D，使∠CPD＝∠BAP．（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若PD平分∠APC，求证：∠BAP＝∠PBA．
18．（8分）（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
19．（8分）（2021•碑林区校级四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．
20．（10分）（2021春•高平市期末）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
21．（10分）（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
22．（12分）（2020秋•卧龙区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连接FG．
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．
23．（12分）（2019秋•浦东新区期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
【解析】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
2．（2021春•本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175° B．165° C．155° D．145°
【解析】解：∵∠EDC＝45°，
∴∠ADF＝135°，
∵∠AFE是△ADF的一个外角，
∴∠AFE＝∠A+∠ADF＝30°+135°＝165°，
故选：B．
3．（2021春•郫都区期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．垂线段最短
【解析】解：加上DB后，原图形中具有△ADB了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
4．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
【解析】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
5．（2021春•乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【解析】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，
∵BC＝EF，
∴当∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF；
当BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
6．（2021春•西湖区校级期末）下列命题是真命题的有（ ）个
①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：①定理的真命题，但真命题不一定都是定理，本说法是假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题；
③三角形的三条高线所在的直线交于一点，本说法是假命题；
④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题；
⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题；
⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题；
故选：A．
7．（2021春•海口期末）如图，已知AF平分∠BAC，交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D．若∠B比∠C大20°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．不能确定
【解析】解：由题意知：∠B＝∠C+20°．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
又∵∠BAE+∠B+∠BEA＝∠CAE+∠C+∠AEC，
∴∠B+∠AEB＝∠C+∠AEC．
∴∠AEC＝∠AEB+20°．
又∵∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AEB+∠AEB+20°＝180°．
∴∠AEB＝80°．
∵∠AEC＝100°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∵∠AEC＝∠EDF+∠F，
∴∠F＝∠AEC﹣∠EDF＝100°﹣90°＝10°．
故选：A．
8．（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【解析】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
9．（2021春•高新区月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
10．（2021春•兴化市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：如图所示：
能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形有△ABC，△AGB，△HEF，共3个，
故选：C．
二．填空题
11．（2021春•开福区校级期末）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 12或14 ．
【解析】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
又∵x为偶数，
∴x＝4或6，
∴三角形的周长为12或14，
故答案为：12或14．
12．（2021春•泰州期末）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝ ﹣4（答案不唯一） ．
【解析】解：当a＝3，b＝﹣4时，满足a＞b，但是a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
13．（2021春•峄城区期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC≌△ADC，②∠BCA＝∠DCA，③∠ABC＝∠ADC，④∠BAE＝∠ACD，则正确的结论有 ①②③ ．（填序号）
【解析】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故①正确；
∴∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC，故②③正确；
∵∠BAE＝∠DAE，故④错误．
所以正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
14．（2021春•长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 4 对．
【解析】解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故答案为4．
15．（2021春•莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
【解析】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
16．（2021春•本溪期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 60或32 ．
【解析】解：当△AEG≌△BEF时，AE＝BE，AG＝BF，
∵AB＝80，
∴AE＝BE＝40，
∵点E和点F运动速度之比为2：3，
∴，
解得BF＝60；
当△AEG≌△BFE时，AE＝BF，AG＝BE，
设BE＝2x，则BF＝3x，
∴AE＝3x，
∵AB＝80，AB＝AE+BE，
∴80＝3x+2x，
解得x＝16，
∴AG＝BE＝2x＝32；
由上可得，AG的长为60或32，
故答案为：60或32．
三．解答题
17．（2021春•宝安区期中）如图，已知△ABC中，点P在BC上．
（1）试用直尺和圆规在线段AC上找一点D，使∠CPD＝∠BAP．（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若PD平分∠APC，求证：∠BAP＝∠PBA．
【解析】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵PD平分∠APC，
∴∠CPD＝∠APD，
∵∠CPD＝∠BAP．
∴∠APD＝∠BAP，
∵∠APC＝∠PBA+∠BAP，
即∠APD+∠CPD＝∠PBA+∠BAP
∴∠BAP+∠BAP＝∠PBA+∠BAP，
∴∠BAP＝∠PBA．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
【解析】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
∴AD＝AE．
19．（2021•碑林区校级四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．
【解析】解；如图所示：
∵∠BAC＝∠1+∠DAC，
∠DAE＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，
∠3+∠DFC+∠C＝180°，
∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，
∴∠E＝∠C，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
20．（2021春•高平市期末）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ 45 °，∠DAE＝ 25 °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ 20 °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
【解析】解：（1）探究与发现：
①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，
故答案为：45，25；
②∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，
故答案为：20；
③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（ 90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．
21．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP 是 “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
【解析】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°，
∴∠C＝90°﹣72°＝18°，
∵∠CPB＝54°，
∴∠A+∠ACP＝54°，
∴∠ACP＝36°，
∴∠ACP＝2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是．
∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，
∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，
∴∠BCP＝36°或72°，
∴∠ACP＝54°或18°．
（2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°．
如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°．
如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°．
如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°．
如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°．
综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．
22．（2020秋•卧龙区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连接FG．
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．
【解析】（1）证明：∵EC平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠FCG，
∵CG＝CD，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG．
（2）解：结论：FG＝FE．
理由：∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠ACF+∠FAC＝（∠BCA+∠BAC）＝60°，
∴∠AFC＝120°，∠CFD＝∠AFE＝60°，
∵△CFD≌△CFG，
∴∠CFD＝∠CFG＝60°，
∴∠AFG＝∠AFE＝60°，
∵AF＝AF，∠FAG＝∠FAE，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴FG＝FE．
（3）结论：（1）中结论成立．（2）中结论不成立．
理由：①同法可证△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG．
②∵∠B≠60°，
∴无法证明∠AFG＝∠AFE，
∴不能判断△AFG≌△AFE，
∴（2）中结论不成立．
23．（2019秋•浦东新区期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为 AC＝BD ；
②∠AMB的度数为 40° ．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
【解析】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴AC＝BD；
故答案为：AC＝BD，
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°；
故答案为：40°；
（2）①AC＝BD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC；
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∠ABO＝∠ABM+∠OBD，
∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．
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