人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品习题

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6.3二项式定理同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在的二项展开式中，的系数为  

A.  B.  C.  D.

2. 已知二项式的所有二项式系数之和等于，那么其展开式中含项的系数是   

A.  B.  C.  D.

3. 式子的展开式中，的系数为   

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中常数项为

A.  B.  C.  D.

5. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为

A.  B.  C.  D.

6. 已知的二项展开式的各项系数和为，则二项展开式中的系数为

A.  B.  C.  D.

7. 展开式中的系数为

A.  B.  C.  D.

8. 的展开式中的系数为 

A.  B.  C.  D.

9. 的展开式中含项的系数是 

A.  B.  C.  D.

10. 在的展开式中，常数项为

A.  B.  C.  D.

11. 展开式中的系数为

A.  B.  C.  D.

12. 已知，若与的展开式中的常数项相等，则   

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知，若，则          ，          ．
14. 已知，则      ；      ．
15. 若的展开式中，项的系数为，则          ，展开式各项系数之和为          ．
16. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则          ；展开式中常数项是          ．
17. 已知的展开式中所有二项式系数和为，则          ；二项展开式中含的系数为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知二项式，

若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

若展开式前三项的二项式系数和等于，求展开式中系数最大的项．






 

19. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．

条件：第项与第项的二项式系数相等；

条件：只有第项的二项式系数最大；

条件：所有项的二项式系数的和为．

问题：在的展开式中，_____．

求的值；

若其展开式中的常数项为，求其展开式中所有项的系数的和．






 

20. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．

条件：展开式中前三项的二项式系数之和为；

条件：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为；

条件：展开式中常数项为第三项．

问题．已知二项式，若________填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分，求：

展开式中二项式系数最大的项；

展开式中所有的有理项．






 

21. 已知．

当时，求的展开式中含项的系数；

证明：的展开式中含项的系数为．






 

22. 在的展开式中，前三项的系数满足．

求展开式中含有项的系数；

求展开式中的有理项．






 

23. 已知展开式中各项的系数之和为，各项的二项式系数之和为，且．

Ⅰ求展开式中含有项的系数；

Ⅱ求展开式中系数最大的项．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的问题，是基础题目．
利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含项的系数即可．

【解答】

解：二项展开式的通项公式为：，

令，可得，

所以展开式中含项的系数为：．

故选C．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式特定项，属于基础题．
由二项式系数的性质求出，再利用通项公式求解．

【解答】

解：因为二项式的所有二项式系数之和等于，所以，．

通项公式为，令，得，

所以展开式中含项的系数是，

故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题，先把条件整理转化为求展开式中的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．
【解答】
解：因为，
所以要求展开式中的系数即为求展开式中的系数，
展开式含的项为：，
故的展开式中的系数为．
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理的应用以及二项展开式中特定项的问题，属于基础题．
结合题设先运用二项式定理写出的展开式通项，然后令的指数为求得，回代结合组合数公式进行计算即可求出常数项．
【解答】
解：由二项式定理得的展开式的通项为：
，．
令解得．
所以的展开式的常数项为．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．
由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得，则展开式的通项为
，则展开式中常数项
为，得解．
【解答】
解：令得，
解得，
则展开式的通项为，
则展开式中常数项为．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
先根据题意，求得，再运用展开式通项得到第项，令，得，即可得到答案．
【解答】解：因为的二项展开式的各项系数和为，所以令得，所以．
所以的二项展开式的第项，
令，得，
故二项展开式中的系数为．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式特定项的系数，属于中档题．
将分两部分讨论求解即可．
【解答】
解：由的二项式展开式的通项公式可得，
展开式中：
若提供常数项，则提供含有的项，
可得展开式中的系数为；
若提供项，则提供含有的项，
可得展开式中的系数为；
展开式中的系数为：．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．
根据题意得到的展开式的通项为，即可得解．

【解答】
解：的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为：
．
故选：．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，是基础题．
表示出的展开式的通项公式，令，得，即可得到含项的系数．
【解答】
解：的展开式的通项公式为．
令，得，
可得，
故的展开式中含项的系数是，
故选D．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，难度一般先求出的通项公式，再结合求出常数项．
【解答】
解：原式，

而的通项为：，当时，故式中的前一项不会出常数项，

当，即时，可得式中的后一项的常数项乘以即为所求，

此时原式常数项为．
故选C．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
利用二项展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，可得展开式中的系数．
【解答】
解：由于展开式的通项公式为，
当时，的系数为；
当 时，的系数为，
展开式中的系数为．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中的特定项，属于中档题．
分别利用二项展开式的通项，确定常数项，即可利用常数项相等求解．
【解答】
解：的通项为，
令，则，
故常数项为，
同理可知的展开式中的常数项为，
，
所以．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
令可得展开式中；令可得展开式中各项系数和；二者相结合即可求解．
本题考查了二项式定理的展开式通项公式及其应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．
【解答】
解：，
，得到，解得
令可得展开式中；
令可得：；
；
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
在所给的等式中，令等于，求得的值；再利用通项公式求得即的系数．
【解答】
解：，
令，可得．
即的系数为，
故答案为；．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理的应用以及特定项系数，属于基础题．
先根据二项式定理的通项公式结合题目条件求出，然后令，得各项系数和．
【解答】
解：因为展开式中的通项为：
，
令，得，
所以，解得，
则，
令得各项系数和为，
即展开式各项系数之和为，
故答案为；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用展开式的通项公式，求得展开式的常数项．
【解答】
解：在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，
则展开式共有项，．
展开式的通项公式为，
令，求得 ，
可得展开式中常数项是，
故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
根据二项式展开式中所有二项式系数和求出的值，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中含项的系系数．
本题考查了二项式系数和以及二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．
【解答】
解：展开式中所有二项式系数和为，
，解得；
展开式的通项公式为：
，
令，解得；
二项式展开式中含项的系数为．
故答案为：；．  

18.【答案】解：二项式的通项为，
，
，
或，
当时，展开式中二项式系数最大的项是和，
且的系数，
的系数；
当时，展开式中二项式系数最大的项是，
且的系数；
由，可得，
设项的系数最大，
，
展开式的通项为，

，，
展开式中系数最大的项为，
且．
 

【解析】本题考查二项展开式中特定项的系数，二项式定理的应用，等差数列的性质．
由题意可得，求出，根据二项式系数最大的项为中间项，为奇数时，中间两项二项式系数相等；为偶数时，中间只有一项，可得答案；
由展开式前三项的二项式系数和等于，可得关于的方程，求出，设项的系数最大，列不等式组，从而可得展开式中系数最大的项．
 

19.【答案】解：选：因为，所以；
选：因为只有第项的二项式系数最大，所以，则；
选：因为所有项的二项式系数的和为，则，则；
二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，得，
又，所以，
令可得展开式的所有项的系数和为．
 

【解析】本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用以及展开式的二项式系数最大项问题，考查了学生的理解能力以及运算转化能力，属于基础题．
选：由即可求出；
选：由只有第项的二项式系数最大可得，即可求解；
选：由所有项的二项式系数的和为可得，即可求解；
先求出二项式的展开式的通项公式，再令的指数为，进而可以求出常数项，即可求出的值，再令即可求解．
 

20.【答案】解：选：由得负值舍去；
选：由得；
选：设第项为常数项，，
由及得；       
由得展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；       
设第项为有理项，由，     
因为，所以，，，，     
则有理项为．
 

【解析】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的特定项与特定项的系数，考查运算求解能力，属于中档题．
当选填条件时，由前项的二项式系数和为，可求得；当选填条件时，由题意列式求得；选择，利用二项展开式的通项公式可求得，从而可得二项式，由此可求出展开式中二项式系数最大的项；
设第项为有理项，由，即可求解．
 

21.【答案】解：当时，，
展开式中项的系数；
证明：，
又，
的展开式中项的系数为 





．
 

【解析】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项系数，熟练掌握二项式定理的性质是解题的关键．
当时，，根据二项展开式通项公式即可求解；
由题意，，又，则的展开式中项的系数为由此即可求解本题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
即，所以或舍去．
则二项式展开式的通项为
．
令，得，
所以含有项的系数为；
设展开式中，第项为有理项，则，
则当、、时对应的项为有理项，
有理项分别为，，．
 

【解析】本题考查了二项式定理，关键是掌握展开式的通项，属于中档题
由可得出关于的二次方程，结合的取值范围可求得的值，然后写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解；
设展开式中，第项为有理项，可知，求出的可能取值，代入通项即可得解．
 

23.【答案】解：令可得展开式中各项的系数之和为，
各项的二项式系数之和为
由已知得：，即，，．
则的第项为
令，则，
，
展开式中含有项的系数为；
由展开式的通项公式可知，
第项的系数为，
第项的系数为，
第项的系数为，
设展开式中系数最大的项为第项，
则应满足
解得，
而，
故，
则，
所以展开式中系数最大的项为．
 

【解析】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的特定项的系数，属于中档题．
由题意根据二项式定理可得，求得的值，可得展开式中含有项的系数．
利用二项展开式的通项求得第项的系数为，，设展开式中系数最大的项为第项．则应满足，解出，则本题可解．