人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理随堂练习题

6.3  二项式定理（精练）

【题组一 二项式定理展开式】

1．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）计算等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】原式可变为（+）-=选项D.

2．（2021·江苏无锡市））设，化简______.

【答案】

【解析】容易知.故答案为：.

3．（2021·上海市）已知，若，则________.

【答案】

【解析】故答案为：

4．（2018·江苏无锡市）求值__________．

【答案】1

【解析】通项展开式中的，故

=

【题组二 二项式指定项的系数与二项式系数】

1.（2020·湖北高二）展开式中含的项是（    ）

A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：；

令；故展开式中含的项是第6项.故选：C.

2．（2020·安徽合肥市）二项式展开式中的第2020项是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】由二项展开式，可得展开式的通项为，

所以展开式中第2020项为.故选：C.

3．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）二项式的展开式中，常数项为________.

【答案】

【解析】的展开式的通项公式为，

令，可得，所以展开式的常数项为，故答案为：.

4（2020·全国高二）已知在的展开式中，第6项为常数项．

（1）求；

（2）求含的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

【答案】（1）；（2）；（3），，.

【解析】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．

（2）令，得，所以含的项的系数为．

（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．

【题组三 多项式指定项系数或二项式系数】

1．（2021·郏县）在的展开式中，项的系数为（　　）

A． B． C．30 D．50

【答案】B

【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，

有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；

或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，

故项的系数为，故选B．

2．（2021·全国）展开式中的系数为（    ）

A．92 B．576 C．192 D．384

【答案】B

【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B.

3．（2020·河南鹤壁市）的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为

，故选B.

4．（2020·新疆高二期末）代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）

【答案】3

【解析】的通项公式为.

令，得；令，得.

∴常数项为故答案为.

5．（2020·民勤县第一中学高二期末）的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）

【答案】180

【解析】的展开式中的通项公式 ，

而分别令，，解得，或．

∴的展开式中的常数项．故答案为：180．

6．（2020·全国高二课时练习）求的展开式中的系数         .

【答案】

【解析】因为的展开式中含的项为，所以其系数为.故答案为：600

7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.

【答案】1560

【解析】由题意，，

因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.

8．（2020·全国高二课时练习）已知的展开式中的系数是，求实数a的值      .

【答案】2

【解析】由的展开式的通项公式为，

令，可得，令，可得，

所以的展开式中的系数为，

解得.故答案为：.

【题组四 二项式定理的性质】

1．（2020·安徽省六安中学高二期中）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．7

【答案】D

【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令，得

所以展开式中的系数为故选：D

2．（2020·利川市第五中学高二期末）若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（    ）

A．132 B． C． D．66

【答案】D

【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，

所以为偶数，展开式有13项，，

所以二项式展开式的通项为

由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D

3．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二期中）展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（    ）

A． B． C．-180 D．-90

【答案】A

【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，，

故展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：A

4．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）在的展开式中，下列说法正确的有（    ）

A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0

C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项

【答案】ABD

【解析】的展开式中所有二项式系数和为，A正确；

令可得的展开式中所有项的系数和为，B正确；

通项为，令，所以的展开式中常数项为，C错误；

的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：ABD

5．（多选）（2020·苏州市第四中学校高二期中）已知（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（    ）

A．n的值为14 B．展开式中常数项为第8项

C．展开式中有理项有3项 D．二项式系数最大的项是第7项

【答案】AC

【解析】由题意，化简得，∵，∴．A正确；

展开式通项为，

显然其中无常数项，B错误；

当时，为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；

展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误．故选：AC．

6．（2020·山东潍坊市·寿光现代中学高二期中）关于的说法，正确的是（    ）

A．展开式中的二项式系数之和为2048

B．展开式中只有第6项的二项式系数最大

C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最大

【答案】AC

【解析】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；

因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.故选：AC

7．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）（多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（    ）

A．展开式中偶数项的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项

C．展开式中系数最大的项只有第五项 D．展开式中有理项为第三项、第六项

【答案】CD

【解析】令，可得展开式中各项系数的和为，又二项式系数的和，

因为各项系数的和比它的二项式系数的和大，所以，解得，

对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，

所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为，故A错误；

对B：因为，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；

对C：，设展开式中系数最大的项是第项，

则，解得，又，所以，

所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；

对D：若是有理项，则当且为整数，又，，

所以，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD

【题组五 二项式系数或系数和】

1．（2020·浙江台州市·高二期中）若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】令可得：，

令可得：，两式相加可得：，

所以，故选：B

2．（2020·奈曼旗实验中学高二期中）已知，，则自然数等于（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【解析】由题意，令，则，

因为，所以，解得.故选：C.

3．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）若，则（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】C

【解析】，

当且时，，

因此，.故选：C.

4．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知多项式可以写成，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，多项式

，

即，

令，可得，

令，可得，

两式相加，可得，可得.

故选：C.

5．（2020·青海高二期末）已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，所以，则,

令，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故选：A.

6．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学）设复数（是虚数单位），则（  ）

A．i B． C． D．

【答案】D

【解析】，，故选D.

7．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为(    )

A．1 B．－1 C．8l D．－81

【答案】B

【解析】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

故可得，令，故可得，

又因为，令，则，

解得令，则.故选：B.

8．（2020·全国高二课时练习（理））已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是（    ）

A．5 B．6

C．7 D．8

【答案】B

【解析】由二项式定理知an＝ (n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，

∴k的最大值为6.故选：B.

【题组六 二项式定理的运用】

1．（2020·全国高二课时练习） 除以88的余数是（    ）

A．2 B．1 C．86 D．87

【答案】B

【解析】因为

，

所以除以88的余数是1.故选：B.

2．（2020·全国高二课时练习）设，且，若能被13整除，则（    ）

A．0 B．1 C．11 D．12

【答案】D

【解析】由题意，因为，

所以，

又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，

因为，，所以.

故选：D.

3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（    ）

A． B．1 C．7 D．13

【答案】D

【解析】因为

其中能被14整除，所以的取值可以是.故选：D.

4．（2020·全国高二单元测试）设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（    ）

A．0 B．1 C．11 D．12

【答案】D

【解析】512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020

.

因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，

所以上式被13除，余数为，

所以要使512020+a能被13整除，因为a∈Z，且0≤a＜13，只需a+1＝13即可，

故a＝12.

故选：D.

5．（2020·江苏盐城市·盐城中学高二期中）设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为（    ）

A．0 B．8 C．7 D．2

【答案】A

【解析】因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；

故除以9的余数为0；故选：A.

6．（2020·山东临沂市·高二期中）的近似值（精确到0.01）为（    ）

A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20

【答案】B

【解析.

故选：B．

7．（2020·全国高二课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为（）

A．106 B．107 C．108 D．109

【答案】B

【解析】∵，

∴.故选B

8．（2020·江苏苏州市·高二期中）已知为正整数，若，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】因为

，

而，

所以，

因此，

又为正整数，，所以；

故选：C.