数学九年级上册2.4 解直角三角形精品一课一练

绝密★启用前

2.4解直角三角形同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且，那么矩形的周长为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在四边形中，若，，则下列结论正确的有
   、、、四点共圆
   
    

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

5. 如图所示，在中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，正方形中，点在边上，且连接、、，且交于，为的中位线：下列结论：，，，其中正确结论的个数是

A.
B.
C.
D.

7. 在矩形中，，垂足为点，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，按以下步骤作图：
   分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
   作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．
   则下列说法错误的是

A.  B.
C. 若，则 D.

9. 如图，在四边形中，，；连接对角线，过点作交于点，若；，则

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、以下结论：；≌；∽；；；其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

11. 如图直线过点，则

A.  B.  C.  D.

12. 如图，小明在一条东西走向公路的处，测得图书馆在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆到公路的距离为   

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知中，，，，那么的长是______．
14. 在中，，若于，若，，则为______．
15. 如图，在四边形中，与相交于点，，，，则______．

16. 如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为______精确到参考数据：，，
17. 如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是______．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在中，，是边上的一点，分别过点、作、的平行线交于点，且平分．
    求证：四边形是菱形；
    连接，当，时，求的面积．
    
    
     

19. 已知在菱形中，，，点是直线上任意一点，联结在内部作射线与对角线交于点与、不重合，且．
    如图，当点在边上时，如果，求线段的长；
    当点在射线上时，设，，求关于的函数解析式及定义域；
    联结，直线与直线交于点，如果与相似，求线段的长．

20. 如图，在▱中，，交于点，且．
    求证：四边形是矩形；
    的角平分线交于点，当，时，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点．
    
    如果，，且为的中点，求线段的长；
    联结，如果，且，，求的值；
    联结，如果，且，，求线段的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结．
    
    求线段的长；
    求的正切值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，等腰中，，于，于，若，，求的长．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
解得：，
矩形的周长，
故选：．
根据，设，在中可得，，由，由三角函数的知识求出，在中由勾股定理求出，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
 

2.【答案】
 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
，
故选：．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，求得，延长交于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，
，，

将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
，，
，
延长交于，
，
，
，，
，
，
过作于，
，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：，
、、、四点共圆，正确；
作于，于，如图所示：
则，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，正确；
，，
，
，
，
，
，正确；
，，
，
，正确；
正确的结论有个，
故选：．
由圆内接四边形的判定定理得出、、、四点共圆，正确；
作于，于，由角平分线的性质得出，证出，由证明≌，得出，，正确；
由三角函数定义得出，即可得出正确；
由三角形面积公式和三角函数得出，正确；即可得出结论．
本题是四点共圆综合题目，考查了圆内接四边形的判定定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
由于，可设，，由于是线段的垂直平分线，故AD，，又知，即可据此列方程解答；
本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，综合性较强，计算要仔细．
【解答】
解：，可设，，
又是线段的垂直平分线，
，
又，
，
解得，，
，
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
四边形是正方形，
，，
∽，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
，故正确
，即，错误，
，
，
设，则，
，，
，正确．
连接，

，，
由勾股定理得；，
，正确，
故选：．
由条件四边形是正方形可以得出，，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，平行线的性质就可以求出相应的结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，三角形中位线的性质以及平行线的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
矩形的对边，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
四边形是矩形，
，
故选：．
易证，由矩形的性质得出，则，得出，由勾股定理得，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由作法得垂直平分，即，，
四边形为菱形，
，，
在中，，
，
，所以选项的结论正确；
，，
而，
，所以选项的结论正确；
若，则，
，
在中，，所以选项的结论错误；
作交的延长线于，如图，
设，则，，，
在中，，
，，
，所以选项的结论正确．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，再根据菱形的性质得到，，利用三角函数求出，则可对选项进行判断；利用三角形面积公式可对选项进行判断；当，则，先计算出，再利用勾股定理计算出，则可对选项进行判断；作交的延长线于，如图，设，则，，，先计算出，，则可根据正弦的定义对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的性质和解直角三角形．
 

9.【答案】
 

【解析】解：延长，交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
故选：．
延长，交于点，根据平行线的性质得到，，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：正方形中，，为的中点，
，，，
沿翻折得到，
，，，，
，，
，
，
，
，故正确；
，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，，
，
∽，故正确；
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，故正确；
∽，且，

设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：舍去或，
，故正确；
故选：．
根据正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：点，将点的坐标代入：得，
，解得：，
过点作轴于，

，，
，
．
故选：．
将点的坐标代入可得，过点作轴于，则，，根据即可得出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据题意可得为直角三角形，，，根据三角函数定义即可求得的长．

【详解】

解：由已知得，，则．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．

13.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，
即，
解得，，
故答案为：．
根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到和的关系，从而可以求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：如图，若为锐角三角形，

，
，
，
设，则，
，
，
解得：或舍，
，，
；
如图，若为钝角三角形，

由知，，，
，
故答案为：或．
分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在中由，可设设，则，结合的长根据勾股定理可得，求得的值后即可得，，在锐角三角形中，在钝角三角形中即可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是根据三角形的形状分类讨论．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
，
∽，∽，
，，
又，
，
，
，
∽，
，
设，，则，，，
由得，，
，
即，，
．
故答案为：．
通过作辅助线，得到∽，∽，∽，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，设，，表示，，，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．
本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作于点，于点．如图所示：
，
，
．
根据题意，得，．
在中，，
，
在中，，
，
矩形的周长．
作于点，于点，求的度数，在中，可以求得的值，在中，可以求得的值，即可计算矩形的周长．
本题考查了矩形的性质、解直角三角形；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，
，，，
，
是直角三角形，
．
故答案是：．
连接，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦函数的定义求解．
本题考查了三角函数的定义，正确证明是直角三角形是关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
．
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积，含直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件求得四边形是平行四边形，根据角平分线定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论．
 

19.【答案】解：如图中，作于．

四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
如图中，作于，连接，设交于．
四边形是菱形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
易得，
在中，，，
，
，
而，
，
；
如图中，若直线交直线于点左侧于．

此时，
，
中，不存在角与相等，
此时与不可能相似；
如图中，若直线交直线于点右侧于．

则，
，
只可能，
作于，则，，，
，
此时，
如图中，当点在的延长线上时，

与相似，
，
，
作于．
，
，
，，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
 

【解析】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
如图中，作于解直角三角形求出，，在中，理由勾股定理即可解决问题．
如图中，作于，连接，设交于证明∽，推出，推出，推出，在中，，，根据，可得结论．
分三种情形：如图中，若直线交直线于点左侧于如图中，若直线交直线于点右侧于如图中，当点在的延长线上时，分别求解即可．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
▱为矩形．
解：过点作于点，如图所示：
四边形是矩形，
，
，
为的角平分线，
．
，
．
，，
．
．
，．
设，则，
在中，，
．
解得：，
．
 

【解析】由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；
过点作于点，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：为的中点，，
，
，，
，
是边的中点，为的中点，
点是的重心，
；

如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，，
，，则，
，
，
，
，
设，则，
，是边的中点，

，
，
，
；

，是边的中点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，，
．
 

【解析】根据已知条件得到，求得，根据三角形重心的性质即可得到结论；
如图，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设，则，得到根据三角函数的定义即可得到结论；
根据直角三角形的性质得到，推出∽，根据相似三角形的性质得到，推出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，，
．
，
在中，，
，
，在中，，
；
如图，过点作于点．

在中，，
，
，
，
在中，．
 

【解析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形以及勾股定理，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
根据锐角三角函数定义即可求出的长；
过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的值，再根据三角函数即可求出的正切值．
 

23.【答案】解：于，于，
．
．
．
，

，，，

设，则，，
，
．

【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是建立各个角之间的关系，找准所求问题需要的条件．根据题意，通过变化可得，，，从而可以得到、的关系，从而可以解答本题．