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河南省许昌市禹州市2020-2021学年上学期期中考试九年级数学试卷
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这是一份河南省许昌市禹州市2020-2021学年上学期期中考试九年级数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣2）
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
4．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2022
5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0
7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（ ）
A． B． C．16 D．8
8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（ ）
A． B．（3，0） C． D．（﹣3，0）
10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为 ．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 ．
13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6
17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．
18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．
对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，CP，PD的长度的几组值
位置
长度
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
AP/cm
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
CP/cm
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
PD/cm
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．
（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为 cm．（精确到0.1cm）
19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？
20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线．
（2）已知AG＝2，填空：
①当∠AEG＝ 时，四边形ABOF为菱形；
②若OC＝2DC，当AB＝ 时，△AGE为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线为y＝﹣2（x﹣1）7+1，
∴顶点坐标（1，7）．
故选：C．
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝56°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选：C．
4．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2022
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+4b＝0得1+a+5b＝0，
∴a+2b＝﹣3，
∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣7（a+2b）＝2020﹣2×（﹣4）＝2022．
故选：D．
5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：连接OA、OB
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝6有实数根，
∴Δ＝4+4k≥7，
解得：k≥﹣1．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（ ）
A． B． C．16 D．8
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AP＝BP，
∵CD＝12，
∴OC＝6，
∵CP：PO＝1：3，，
∴OP＝4，
在Rt△OAP中，AP＝，
∴AB＝2AP＝4．
故选：A．
8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠6）的图象经过第一、三，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠2）的图象经过第一、二，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知C正确．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（ ）
A． B．（3，0） C． D．（﹣3，0）
【解答】解：连接AC交OB于E．
由题意，OA＝OC＝2，∠ABC＝90°，
∵四边形AOCB关于x轴对称，
∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，
∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝2，
∴B（+1，B6（0，+3），B2（﹣﹣8，B3（0，﹣﹣1），
观察图象可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴B2021的坐标与B1相同，
故选：A．
10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
【解答】解：如图，由题意建立坐标系，0.5），8）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
代入得，，
∴抛物线的解析式为．
当x＝0.4时，y＝0.48，
当x＝0.7时，y＝0.32．
∴B1C2+B2C2+B4C3+B4C2＝2×（0.48+5.32）＝1.6m，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为 x＝﹣ ．
【解答】解：把x＝代入方程得：c＝3，
方程为x2﹣3＝0，即x2＝3，
开方得：x＝或x＝﹣，
则另一根为x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 2 ．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向右平移1个单位长度后得到y＝（x﹣3﹣3）2﹣2，即y＝（x﹣6）2﹣2．
∵经过A（2，m），
∴m＝（2﹣4）2﹣2＝2，
解得：m＝8．
故答案是：2．
13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝45 ．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣6）＝45．
故答案为：x（x﹣4）＝45．
14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为 ．
【解答】解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，
当x＝0时，y＝2，x＝2，
∴点C的坐标为（0，2），0），
∴CD＝2，
∵S△COD＝CD•OE＝，
∴OE＝，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝＝＝，
∴的长度为：＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为 40°或100° ．
【解答】解：当BC＝BP时，如图1．
∵∠ACB＝90°，O为斜边AB的中点，
∴CO＝OA＝OP＝OB，
∴△COB≌△POB，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴θ＝2×20°＝40°；
当BC＝PC时，如图8，
∴∠P＝∠ABC＝∠OCB＝∠OCP＝20°，
∴∠COP＝∠COB＝140°，
∴θ＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：40°或100°．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6
【解答】解：∵（x﹣3）2＝4（x﹣3），
∴（x﹣3）6﹣2（x﹣3）＝8，
则（x﹣3）（x﹣5）＝6，
∴x﹣3＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；A1（1，6），B1（2，6）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
（3）如图，△A3B3C4为所作．
18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．
对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，CP，PD的长度的几组值
位置
长度
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
AP/cm
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
CP/cm
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
PD/cm
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．
（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为 4.50 cm．（精确到0.1cm）
【解答】解：（1）作函数图象如下：
（2）由图象可推断：当CP＝2PD时，线段AP的长度约为4.50．
故答案为：3.50．
19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
当x＝1时，y＝110，y＝140，
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝10x+100（8＜x＜20）．
（2）设该玩具每个降价x元时，小王获利最大．
根据题意得w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，
∴w＝﹣10（x﹣5）6+2250，
故该玩具每个降价5元时，小王获利最大．
20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线．
（2）已知AG＝2，填空：
①当∠AEG＝ 60° 时，四边形ABOF为菱形；
②若OC＝2DC，当AB＝ 4 时，△AGE为等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DG⊥BC，
∴∠GDC＝90°，
∴∠ACO+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠GEA，
∴∠GEA+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO+∠GAE＝90°，
即∠GAO＝90°，
∵OA为半径，
∴OA⊥AG，
∴AG为⊙O的切线；
（2）解：①如图，连接OA，AF，
∵四边形ABOF是 菱形，
∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵ED⊥BC，
∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AEG＝∠DEC＝60°．
故答案为：60°；
②如图，
连接OA，
∵△AGE是等腰直角三角形，
∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，
∵OB＝OC，
∴AO⊥OC，
∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，
∴四边形AODG是矩形，
∴AG＝OD＝2，
∴OC＝2OD＝5，
∴BC＝2OC＝8，
∴AB＝AC＝6，
故答案为：4．
21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+5）＝0．
∴x﹣3＝8或x+1＝0．
∴x＝5或x＝﹣1．
故答案为：3，﹣6；
（2）方程x3＝6x3+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，
∴x（x+2）（x﹣7）＝0．
∴x＝0或x+4＝0或x﹣8＝2，
∴x1＝0，x4＝﹣2，x3＝2．
（3），方程两边平方2，
即x6+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+3＝0或x﹣3＝7，
∴x1＝﹣5，x5＝3．
当x＝﹣5时，
＝＝5≠﹣5，
故﹣4不是原方程的解，舍去；
当x＝3时，
＝＝3．
∴x＝3是原方程的解．
22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 AE＝BD ，位置关系为 AE⊥BD ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠CDB＝∠HDE，
∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；
（2）AE与BD之间的关系仍然成立，
理由如下：如图2，设BD，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠FPE＝∠CPB，
∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；
（3）如图5，连接BD，
由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
当点A在BD上时，BD最大，
∴线段AE的最大值为5+3．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴点B的坐标为（4，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），且过点C（0，
∴﹣8a＝﹣7，
解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）存在，理由如下：
如图1，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，
将点A（﹣6，0）代入y＝kx﹣3，
得，
∴直线AC的解析式为，
设点D的坐标为（m，m2+m﹣3），﹣m﹣3），
∴，
∵，
∴当m＝﹣2时，DE有最大值，
∴点E的坐标为（﹣2，﹣）；
（3）如图2，以线段AC为直径作⊙M，Q两点，MQ，垂足为N，
∵点A的坐标为（﹣6，0），﹣3），
∴AC中点M的坐标为（﹣8，﹣），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣8，
∴MN＝﹣1﹣（﹣2）＝6，
由勾股定理得AC＝5，
∴，
在Rt△MNP中，，MN＝1，
∴，
∵点N的坐标为（﹣8，﹣）；
∴点P的坐标为（﹣6，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），
由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，
故点P的坐标为（﹣1，﹣﹣）或（﹣4，﹣+）．
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣2）
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
4．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2022
5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0
7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（ ）
A． B． C．16 D．8
8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（ ）
A． B．（3，0） C． D．（﹣3，0）
10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为 ．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 ．
13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6
17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．
18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．
对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，CP，PD的长度的几组值
位置
长度
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
AP/cm
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
CP/cm
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
PD/cm
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．
（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为 cm．（精确到0.1cm）
19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？
20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线．
（2）已知AG＝2，填空：
①当∠AEG＝ 时，四边形ABOF为菱形；
②若OC＝2DC，当AB＝ 时，△AGE为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线为y＝﹣2（x﹣1）7+1，
∴顶点坐标（1，7）．
故选：C．
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝56°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选：C．
4．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2022
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+4b＝0得1+a+5b＝0，
∴a+2b＝﹣3，
∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣7（a+2b）＝2020﹣2×（﹣4）＝2022．
故选：D．
5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：连接OA、OB
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝6有实数根，
∴Δ＝4+4k≥7，
解得：k≥﹣1．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（ ）
A． B． C．16 D．8
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AP＝BP，
∵CD＝12，
∴OC＝6，
∵CP：PO＝1：3，，
∴OP＝4，
在Rt△OAP中，AP＝，
∴AB＝2AP＝4．
故选：A．
8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠6）的图象经过第一、三，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠2）的图象经过第一、二，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知C正确．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（ ）
A． B．（3，0） C． D．（﹣3，0）
【解答】解：连接AC交OB于E．
由题意，OA＝OC＝2，∠ABC＝90°，
∵四边形AOCB关于x轴对称，
∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，
∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝2，
∴B（+1，B6（0，+3），B2（﹣﹣8，B3（0，﹣﹣1），
观察图象可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴B2021的坐标与B1相同，
故选：A．
10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
【解答】解：如图，由题意建立坐标系，0.5），8）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
代入得，，
∴抛物线的解析式为．
当x＝0.4时，y＝0.48，
当x＝0.7时，y＝0.32．
∴B1C2+B2C2+B4C3+B4C2＝2×（0.48+5.32）＝1.6m，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为 x＝﹣ ．
【解答】解：把x＝代入方程得：c＝3，
方程为x2﹣3＝0，即x2＝3，
开方得：x＝或x＝﹣，
则另一根为x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 2 ．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向右平移1个单位长度后得到y＝（x﹣3﹣3）2﹣2，即y＝（x﹣6）2﹣2．
∵经过A（2，m），
∴m＝（2﹣4）2﹣2＝2，
解得：m＝8．
故答案是：2．
13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝45 ．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣6）＝45．
故答案为：x（x﹣4）＝45．
14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为 ．
【解答】解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，
当x＝0时，y＝2，x＝2，
∴点C的坐标为（0，2），0），
∴CD＝2，
∵S△COD＝CD•OE＝，
∴OE＝，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝＝＝，
∴的长度为：＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为 40°或100° ．
【解答】解：当BC＝BP时，如图1．
∵∠ACB＝90°，O为斜边AB的中点，
∴CO＝OA＝OP＝OB，
∴△COB≌△POB，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴θ＝2×20°＝40°；
当BC＝PC时，如图8，
∴∠P＝∠ABC＝∠OCB＝∠OCP＝20°，
∴∠COP＝∠COB＝140°，
∴θ＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：40°或100°．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6
【解答】解：∵（x﹣3）2＝4（x﹣3），
∴（x﹣3）6﹣2（x﹣3）＝8，
则（x﹣3）（x﹣5）＝6，
∴x﹣3＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；A1（1，6），B1（2，6）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
（3）如图，△A3B3C4为所作．
18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC
小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．
对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，CP，PD的长度的几组值
位置
长度
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
AP/cm
0.37
0.88
1.59
2.01
2.44
3.00
3.58
4.37
5.03
5.51
CP/cm
1.45
2.12
2.65
2.83
2.95
3.00
2.95
2.67
2.21
1.65
PD/cm
1.40
1.96
2.27
2.31
2.27
2.13
1.87
1.39
0.89
0.48
在AP，CP，PD的长度这三个量中，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．
（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为 4.50 cm．（精确到0.1cm）
【解答】解：（1）作函数图象如下：
（2）由图象可推断：当CP＝2PD时，线段AP的长度约为4.50．
故答案为：3.50．
19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
当x＝1时，y＝110，y＝140，
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝10x+100（8＜x＜20）．
（2）设该玩具每个降价x元时，小王获利最大．
根据题意得w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，
∴w＝﹣10（x﹣5）6+2250，
故该玩具每个降价5元时，小王获利最大．
20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线．
（2）已知AG＝2，填空：
①当∠AEG＝ 60° 时，四边形ABOF为菱形；
②若OC＝2DC，当AB＝ 4 时，△AGE为等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DG⊥BC，
∴∠GDC＝90°，
∴∠ACO+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠GEA，
∴∠GEA+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO+∠GAE＝90°，
即∠GAO＝90°，
∵OA为半径，
∴OA⊥AG，
∴AG为⊙O的切线；
（2）解：①如图，连接OA，AF，
∵四边形ABOF是 菱形，
∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵ED⊥BC，
∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AEG＝∠DEC＝60°．
故答案为：60°；
②如图，
连接OA，
∵△AGE是等腰直角三角形，
∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，
∵OB＝OC，
∴AO⊥OC，
∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，
∴四边形AODG是矩形，
∴AG＝OD＝2，
∴OC＝2OD＝5，
∴BC＝2OC＝8，
∴AB＝AC＝6，
故答案为：4．
21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+5）＝0．
∴x﹣3＝8或x+1＝0．
∴x＝5或x＝﹣1．
故答案为：3，﹣6；
（2）方程x3＝6x3+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，
∴x（x+2）（x﹣7）＝0．
∴x＝0或x+4＝0或x﹣8＝2，
∴x1＝0，x4＝﹣2，x3＝2．
（3），方程两边平方2，
即x6+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+3＝0或x﹣3＝7，
∴x1＝﹣5，x5＝3．
当x＝﹣5时，
＝＝5≠﹣5，
故﹣4不是原方程的解，舍去；
当x＝3时，
＝＝3．
∴x＝3是原方程的解．
22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 AE＝BD ，位置关系为 AE⊥BD ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠CDB＝∠HDE，
∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；
（2）AE与BD之间的关系仍然成立，
理由如下：如图2，设BD，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠FPE＝∠CPB，
∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；
（3）如图5，连接BD，
由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
当点A在BD上时，BD最大，
∴线段AE的最大值为5+3．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴点B的坐标为（4，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），且过点C（0，
∴﹣8a＝﹣7，
解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）存在，理由如下：
如图1，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，
将点A（﹣6，0）代入y＝kx﹣3，
得，
∴直线AC的解析式为，
设点D的坐标为（m，m2+m﹣3），﹣m﹣3），
∴，
∵，
∴当m＝﹣2时，DE有最大值，
∴点E的坐标为（﹣2，﹣）；
（3）如图2，以线段AC为直径作⊙M，Q两点，MQ，垂足为N，
∵点A的坐标为（﹣6，0），﹣3），
∴AC中点M的坐标为（﹣8，﹣），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣8，
∴MN＝﹣1﹣（﹣2）＝6，
由勾股定理得AC＝5，
∴，
在Rt△MNP中，，MN＝1，
∴，
∵点N的坐标为（﹣8，﹣）；
∴点P的坐标为（﹣6，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），
由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，
故点P的坐标为（﹣1，﹣﹣）或（﹣4，﹣+）．
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