307，河南省许昌市禹州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份307，河南省许昌市禹州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了其中正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．木试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．不是中心对称图形，故B错误；
C．是中心对称图形，故C正确；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
2. 下列成语所描绘的事件是必然事件的是（ ）
A. 水涨船高B. 画饼充饥C. 一箭双雕D. 拔苗助长
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决．
【详解】A、水涨船高是必然事件，故正确；
B、画饼充饥，是不可能事件，故错误；
C、一箭双雕是随机事件，故错误；
D、拔苗助长是不可能事件，故错误；
故选：A．
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（ ）
A. 25°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意解得∠BOC＝60°，再根据圆周角定理∠BOC=2∠CDB解题即可．
【详解】解：∠AOC＝120°
∠BOC＝60°
∠BOC=2∠CDB
∠CDB=30°
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4. 若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据得，再将其代入即可求解，根据得出是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故选B．
5. 如图，正六边形内接于，已知的半径为1，连接，则四边形的周长为（ ）
A. 6B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆，连接，则， 均为等边三角形．所以．即得出四边形的周长．熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
【详解】解：连接，如解图所示．
六边形是正六边形，
．
又，
， 均为等边三角形．
．
四边形的周长为，
故选：．
6. 若方程的两根分别为和，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
【详解】解法一：解方程，得，
，
故选：A．
解法二：依题意，得，
∴；
故选：A．
7. 如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，连接，根据对称性质，继而得到三角形面积，根据k值几何意义和图象所在象限可得k值．
【详解】连接，如解图所示．
点是点关于轴的对称点，．
．
．
又当时，反比例函数的图象位于第一象限，
，
故选：C．
8. 某服装品牌经销商今年推出新品销售，1月份销货量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，第一季度共销售23.85万件，已知2，3两个月份销售量的月增长率相同，设2月份销售是的月增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由1月份的销售量及2、3两个月份销售量的月增长率，可得出2、3两个月份的销售量，结合一季度共销售23.75万件，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】1月份销售量为5万件，2，3两个月份销售量的月增长率均为
月份销售量为万件，3月份销售量为万件．
根据题意，得，
故选：D．
9. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，根据旋转得到，，利用等腰三角形性质求出、、根据题意算出，利用，即可解题．
【详解】解：由旋转的性质，可知，，，
．
，
，
故选：B．
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点和点，对称轴为直线，则下列说法：①；②当时，函数随的增大而增大；③当时，的取值范围是；④函数的最大值为4．其中正确的是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，可得出的正负，再利用抛物线的对称性和增减性及巧妙利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】由图象，可知二次函数图象开口向下，
．
二次函数图象的对称轴为直线
∵二次函数图象与轴交于点
．
，①正确；
由图象，可知当时，函数随增大而增大，②正确；
图象与轴的一个交点坐标为且图象关于直线对称，
图象与轴的另一个交点坐标为．
∴当时，的取值范围是，③错误；
二次函数图象经过点，
设二次函数的表达式为，
将代入，得，
解得
函数的最大值为4，④正确．
正确的有①②④，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个当时，随的增大而减小的函数表达式：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质不一样，答案也不一样．
【详解】答案不唯一，如等，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，与相交于点，且，，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
13. 某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（落在分界线处重新转）．下表是此次活动中的一组统计数据：
估计获得“可乐”的概率为___________．（结果保留一位小数）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定得到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率．由统计数据，可知落在“可乐”区域的频率逐渐稳定在0.6，故获得“可乐”的概率为．
故答案为：．
14. 已知反比例函数的图象位于二、四象限，点在该反比例函数图象上，则___________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，反比例函数的图象位于二、四象限且在每一个象限内，y随x的增大而增大进行比较即可．
【详解】反比例函数的图象位于二、四象限，
，且在每一个象限内，随的增大而增大．
．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，平分交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积和矩形的性质，，n是扇形圆心角，r是扇形半径，先根据矩形的性质分别求出半径和圆心角，即可求得答案．
【详解】解：在矩形中，平分，
，．
，
．
，则．
，
．
．
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）当时，求方程的实数根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，以及解一元二次方程．掌握根的判别式以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）根据方程有2个实数根，得到判别式大于等于0，进行求解即可；
（2）配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：一元二次方程有两个实数根，
．
．
【小问2详解】
当时，方程为，
．
．
．
．
．
17. 电动车操作简单、方便快捷、省时省力、性价比高，满足了人们对于短途出行的需要．小勇收集到四张正面分别印有台龄、小刀、爱玛、雅迪电动车图标的卡片（除图标外，其他完全相同），并在图标下方依次标记字母．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张．
（1）小勇第一次抽取到标记字母的卡片的概率是___________．
（2）请用列表或画树状图的方法求出抽到的两张卡片标记的字母恰好是的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片标记的字母恰好是的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，小勇第一次抽取到标记字母B的卡片的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片标记的字母恰好是的结果有2种，
∴抽到的两张卡片标记的字母恰好是的概率为．
18. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度．
【答案】这条河的宽度为30米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度．
【详解】解：延长交于点，如解图所示．
依题意，米，米．
设这条河的宽度为米．
，
．
，
即，
解得．
答：这条河的宽度为30米．
19. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数与一次函数表达式，并在图中画出这个一次函数的图象．
（2）根据函数图像，直接写出不等式的解集．
（3）若点是轴上一点，连接，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数的表达式为，详见解析
（2）或
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）设一次函数图象与轴的交点为，则点的坐标为，根据，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
解得．
一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为．
把代入，得，
．
画出一次函数的图象如解图所示．
；
【小问2详解】
解：由图象可得：
不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：设一次函数图象与轴的交点为，如解图所示，
，
当时，，则点的坐标为．
面积为，
．
，
点的坐标为或．
20. 如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数图象的顶点坐标．
（2）已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
【答案】（1），
（2）①当时，；②或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值等；
（1）将点代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图象的顶点坐标；
（2）①将代入二次函数的解析式即可求出n的值；
②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据的端点可求出m的值．
【小问1详解】
解：将点代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
，
二次函数图象的顶点坐标为．
【小问2详解】
①将代入，
得．
当时，．
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示．
根据函数图象，若满足当时，该二次函数有最小值1，则或，
或．
21. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点平分，连接．
（1）求证：．
（2）若点为的中点，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半等知识．掌握圆的相关性质是解决问题的关键．
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到．则，然后利用得到结论；
（2）连接，如图，先利用圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，则，然后根据斜边上的中线性质得到的长．
【小问1详解】
连接，如解图所示．
是的切线，
．
是的直径，
．
，
即．
．
．
．
【小问2详解】
连接，如解图所示．
平分，
．
是的直径，
．
．
是的切线，
．
在中，
点为的中点，
．
22. 如图，在某中学的一场篮球比赛中，小明在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式．
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心，请通过计算说明小丽的判断是否正确．
（3）若小明将球出手的角度和力度都不变，请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心．
【答案】22.
23. 小丽的判断是正确的，详见解析
24. 小明应该向前走米才能命中篮筐中心
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线的函数解析式为，把代入解析式求出a的即可；
（2）把代入（1）解析式求出y与3比较即可；
（3）把代入（1）解析式，解方程求出x再求出即可．
【小问1详解】
解：由题意，可知抛物线顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为．把代入，解得．
篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：把代入，得．
此球不能命中篮筐中心，小丽的判断是正确的．
【小问3详解】
解：当时，，解得或（舍去）．，
小明应该向前走米才能命中篮筐中心
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解本题的关键．
23. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．
（1）【初步成知】
如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．
（2）【深入探究】
①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
（3）【拓展运用】
在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．
【答案】（1）详见解析
（2）①，详见解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）证明．由全等三角形的性质得出；
（2）①过点作于点于点，证出，证明．可则得出；
②分两种情况，方法同①，由相似三角形的性质可得出结论；
（3）连接，证出点M在线段的垂直平分线上运动．则可得出答案．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴．
．
，即．
又，
．
【小问2详解】
过点作于点于点，如解图1所示，

则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．
．
易得
．
由四边形是矩形，得．
．
，即．
又
．
，
即．
②．
当点在线段上时，同①可得，即；
当点在的延长线上时，如解图2所示；当点在的延长线上时，如解图3所示．

在解图2，3中，过点作于点于点，则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．
．易得，
．
由四边形是矩形，得
．
．
又，
，
即．
【小问3详解】
．
连接，如解图4所示．

的中点为
．
点在线段的垂直平分线上运动．
当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点；
当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点．
点运动的路径长为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．
转动转盘的次数
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域的次数
59
122
240
298
472
604
落在“可乐”区域的频率
0.59
0.61
0.60
0.596
0.59
0.604
—
—
—
—
小亮：
证明：连接．

由题意，可知，
即为的中点．
平分，
．
．
．
．
．
．
．
小红：
证明：过点作于点，于点．
由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．

．
易得．
．
……