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2020-2021学年河南省九年级（上）期中考试数学试卷（A卷）解析版
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这是一份2020-2021学年河南省九年级（上）期中考试数学试卷（A卷）解析版，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x
2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同
3．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数y＝﹣图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（ ）
A．3 B．7 C．﹣1 D．1
8．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）
A．100cm B．60cm C．50cm D．10cm
9．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F．在下列说法中：①∠ADC＝2∠DCB；②AE＝BC；③AF•EF＝DF•CF；④若AB＝8，BC＝10，则△ADC的周长为14．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x＝ ．
12．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为 ．
13．如图，在反比例函数y1＝和y2＝，B的图象上取A、B两点，已知AB∥x轴，△AOB的面积为7，则k＝ ．
14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
19．如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，已知点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0）．[提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），点M（x，y）为线段AB的中点，则有x＝，y＝]
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线AB的解析式．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF∥AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．
（1）若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；
（2）当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．
21．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
22．如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP交BC于D．
（1）猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；
（2）若∠ACB＝90°，CD＝，BD＝2；
①求∠B的度数；
②AD＝m，AC＝n，且一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，求x12+x22的值．
23．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为（10，6），点M为AC边上一点，且MC＝4MA．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x
【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合（k≠0）这一形式的为反比例函数．
【解答】解：A、是一次函数，错误；
B、不是反比例函数，错误；
C、符合反比例函数的定义，正确；
D、是正比例函数，错误．
故选：C．
2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个较大的正方形，上层右边是一个小正方形；
从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形；
从上边看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形
所以三视图各不相同．
故选：D．
3．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为天”、“空”的有2种结果，
∴恰为“天”、“空”的概率为＝，
故选：D．
4．反比例函数y＝﹣图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝﹣的系数﹣3＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1＜0＜x2＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＞0、y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
即，
∴CO＝3.6，
故选：C．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△BOC的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∴S△BOC＝SABCD＝×AC•BD＝×6×8＝6，
故选：B．
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（ ）
A．3 B．7 C．﹣1 D．1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴k＜2且k≠1．
故选：C．
8．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）
A．100cm B．60cm C．50cm D．10cm
【分析】利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形．
【解答】解：假设向下下压x厘米，则＝＝5，解得x＝50
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F．在下列说法中：①∠ADC＝2∠DCB；②AE＝BC；③AF•EF＝DF•CF；④若AB＝8，BC＝10，则△ADC的周长为14．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分BC，则DB＝DC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可对①进行判断；证明△ADF∽△CEF，则利用相似比可对③进行判断；先利用勾股定理计算出AC，则利用等线段代换得到△ADC的周长＝AB+AC，从而可对④进行判断．
【解答】解：由作法得DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，所以①正确；
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
而∠BAC＝90°，
∴AE为斜边BC边上的中线，
∴AE＝BC，所以②正确；
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠B＝∠DCB，
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠FAD＝∠FCE，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF∽△CEF，
∴AF：CF＝DF：EF，
∴AF•EF＝DF•CF，所以③正确；
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6，
∵DB＝DC，
∴△ADC的周长＝AD+CD+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝8+6＝14，所以④正确．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x＝ 16 ．
【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出x的值．
【解答】解：根据题意可得：
＝0.95，
解得：x＝16，
经检验x＝16是原方程的解，
所有x的值为16；
故答案为：16．
12．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为 6或12或15 ．
【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴（x﹣2）＝0或（x﹣5）＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
∵等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，且2+2＜5，
∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．
∴此等腰三角形的周长为：2+2+2＝6，或2+5+5＝12，或5+5+5＝15．
故答案为：6或12或15．
13．如图，在反比例函数y1＝和y2＝，B的图象上取A、B两点，已知AB∥x轴，△AOB的面积为7，则k＝ 20 ．
【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOE＝＝3，S△BOE＝|k|，则|k|﹣3＝7，解得即可．
【解答】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S△AOE＝＝3，S△BOE＝|k|，
而△AOB的面积为7，
∴S△BOE﹣S△AOE＝7，
即|k|﹣3＝7，
而k＞0，
∴k＝20．
故答案为20．
14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 6 米．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【解答】解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝＝＝，即＝，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则＝，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①过F作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM＝BN＝AD＝4，由勾股定理得到FN＝3，求得FM＝2，再由勾股定理解得FE即可；
②过F作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBF＝30°，由三角函数求出AE＝FE＝FB×tan30°．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，过F作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM＝BN＝AD＝4，
∵△ABE沿BE折叠得到△FBE，
∴FE＝AE，FB＝AB＝5，
∴FN＝＝3，
∴FM＝2，
∴FE2＝EM2+FM2，
∴FE2＝（4﹣FE）2+22，
解得：FE＝，
∴AE＝；
②如图2，过F作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴FB＝2PB，
∴∠PFB＝30°，
∴∠FBC＝30°，
∴∠EBF＝30°，
∴AE＝FE＝FB×tan30°＝5×＝；
综上所述：AE的长为或；
故答案为：或．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）整理后分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）方程变形得：x2﹣x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
（2）延长OA到A2使OA2＝2OA，延长OB到B2使OB2＝2OB，延长OC到C2使OC2＝2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标（﹣4，2）．
19．如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，已知点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0）．[提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），点M（x，y）为线段AB的中点，则有x＝，y＝]
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线AB的解析式．
【分析】（1）根据矩形的性质即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得PB＝5，进而根据矩形的性质求得AP＝BP＝5，即可求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0），
∴D（6，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数解析式为y＝，
（2）∵点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0），
∴OB＝4，OP＝3，
∴PB＝＝5，
∵P是矩形对角线的交点，
∴BD＝2PB＝10，
∴AC＝BD＝10，
∴AP＝5，
∴A（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx﹣4，
把A（﹣2，0）代入得，0＝﹣2k﹣4，
解得k＝﹣2．
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF∥AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．
（1）若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；
（2）当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．
【分析】（1）由垂线段最短可知AE取最小值时AE⊥BC；由两组边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABEF是平行四边形；由勾股定理得出AC的值；将梯形AECF的面积转化为Rt△ABC的面积，计算即可；
（2）当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．由直角三角形的斜边中线性质及平行四边形的性质得出条件证明四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：（1）∵AE取最小值，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4；
∵AF＝BE，
∴AF+EC＝BE+EC＝BC＝5，
∴S四边形AECF
＝（AF+EC）•AE
＝BC•AE
＝S△ABC
＝AB•AC
＝×3×4
＝6；
∴AE取最小值时，四边形AECF的面积为6；
（2）当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．理由如下：
∵E为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AE＝BC＝EC＝BE，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE，
∴AF＝AE＝EC．
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥EC，
又∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AECF为菱形．
21．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
【分析】先根据等角对等边得出∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD）和∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可，再证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．
【解答】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEN中，ON＝＝30（cm），
过点A作AM⊥BD于点M，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABM＝∠OEN，则Rt△OEN∽Rt△ABM，
∴＝，AM＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
22．如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP交BC于D．
（1）猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；
（2）若∠ACB＝90°，CD＝，BD＝2；
①求∠B的度数；
②AD＝m，AC＝n，且一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，求x12+x22的值．
【分析】（1）过点B作BE∥AC交射线AD与E，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠E＝∠BAD，可得AB＝BE，通过证明△ACD∽△EBD，可得结论；
（2）①由sin∠ABC＝，可求解；
②先求出m，n的值，由根与系数关系，可求解．
【解答】解：（1），
理由如下：如图，过点B作BE∥AC交射线AD与E，
由题意可得：AP平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵BE∥AC，
∴∠CAD＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∵BE∥AC，
∴△ACD∽△EBD，
∴，
∴；
（2）①∵∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝＝，
∴∠ABC＝30°；
②∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AP平分BAC，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2，AC＝CD＝3，
∴m＝2，n＝3，
∵一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣n，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝m2+2n＝12+6＝18．
23．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为（10，6），点M为AC边上一点，且MC＝4MA．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S四边形AMEO＝（AM+OE）×AO＝×（2+x）×6＝×60，即可求解；
（3）分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）由点C的坐标知，AC＝OB＝10，AO＝BC＝6，
则点A（0，6）、点B（10，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+m，则，
解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6；
（2）存在，理由：
矩形AOBC的面积＝AO×BO＝10×6＝60，
∵MC＝4MA，则AM＝2，MC＝8，
设点E（x，0），
则S四边形AMEO＝（AM+OE）×AO＝×（2+x）×6＝×60，解得x＝8，
故点E的坐标为（8，0）；
（3）∵点P为矩形的中心，由中点公式得，点P（5，3），
而点A（0，6）、点O（0，0），设点Q（a，b），
①当AO是边时，
由O向右平移0个单位向上平移6个单位得到点A，同样点P（Q）向右平移0个单位向上平移6个单位得到点Q（P），
则，解得；
②当AO是对角线时，
由中点公式得：，解得，
故点Q的坐标为（5，9）或（5，﹣3）或（﹣5，3）．
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x
2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同
3．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数y＝﹣图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（ ）
A．3 B．7 C．﹣1 D．1
8．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）
A．100cm B．60cm C．50cm D．10cm
9．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F．在下列说法中：①∠ADC＝2∠DCB；②AE＝BC；③AF•EF＝DF•CF；④若AB＝8，BC＝10，则△ADC的周长为14．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x＝ ．
12．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为 ．
13．如图，在反比例函数y1＝和y2＝，B的图象上取A、B两点，已知AB∥x轴，△AOB的面积为7，则k＝ ．
14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
19．如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，已知点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0）．[提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），点M（x，y）为线段AB的中点，则有x＝，y＝]
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线AB的解析式．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF∥AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．
（1）若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；
（2）当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．
21．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
22．如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP交BC于D．
（1）猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；
（2）若∠ACB＝90°，CD＝，BD＝2；
①求∠B的度数；
②AD＝m，AC＝n，且一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，求x12+x22的值．
23．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为（10，6），点M为AC边上一点，且MC＝4MA．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x
【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合（k≠0）这一形式的为反比例函数．
【解答】解：A、是一次函数，错误；
B、不是反比例函数，错误；
C、符合反比例函数的定义，正确；
D、是正比例函数，错误．
故选：C．
2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个较大的正方形，上层右边是一个小正方形；
从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形；
从上边看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形
所以三视图各不相同．
故选：D．
3．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为天”、“空”的有2种结果，
∴恰为“天”、“空”的概率为＝，
故选：D．
4．反比例函数y＝﹣图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝﹣的系数﹣3＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1＜0＜x2＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＞0、y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
即，
∴CO＝3.6，
故选：C．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△BOC的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∴S△BOC＝SABCD＝×AC•BD＝×6×8＝6，
故选：B．
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（ ）
A．3 B．7 C．﹣1 D．1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴k＜2且k≠1．
故选：C．
8．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）
A．100cm B．60cm C．50cm D．10cm
【分析】利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形．
【解答】解：假设向下下压x厘米，则＝＝5，解得x＝50
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F．在下列说法中：①∠ADC＝2∠DCB；②AE＝BC；③AF•EF＝DF•CF；④若AB＝8，BC＝10，则△ADC的周长为14．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分BC，则DB＝DC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可对①进行判断；证明△ADF∽△CEF，则利用相似比可对③进行判断；先利用勾股定理计算出AC，则利用等线段代换得到△ADC的周长＝AB+AC，从而可对④进行判断．
【解答】解：由作法得DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，所以①正确；
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
而∠BAC＝90°，
∴AE为斜边BC边上的中线，
∴AE＝BC，所以②正确；
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠B＝∠DCB，
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠FAD＝∠FCE，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF∽△CEF，
∴AF：CF＝DF：EF，
∴AF•EF＝DF•CF，所以③正确；
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6，
∵DB＝DC，
∴△ADC的周长＝AD+CD+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝8+6＝14，所以④正确．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，） C．（0，﹣） D．（﹣1，1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x＝ 16 ．
【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出x的值．
【解答】解：根据题意可得：
＝0.95，
解得：x＝16，
经检验x＝16是原方程的解，
所有x的值为16；
故答案为：16．
12．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为 6或12或15 ．
【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴（x﹣2）＝0或（x﹣5）＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
∵等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，且2+2＜5，
∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．
∴此等腰三角形的周长为：2+2+2＝6，或2+5+5＝12，或5+5+5＝15．
故答案为：6或12或15．
13．如图，在反比例函数y1＝和y2＝，B的图象上取A、B两点，已知AB∥x轴，△AOB的面积为7，则k＝ 20 ．
【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOE＝＝3，S△BOE＝|k|，则|k|﹣3＝7，解得即可．
【解答】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S△AOE＝＝3，S△BOE＝|k|，
而△AOB的面积为7，
∴S△BOE﹣S△AOE＝7，
即|k|﹣3＝7，
而k＞0，
∴k＝20．
故答案为20．
14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 6 米．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【解答】解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝＝＝，即＝，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则＝，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①过F作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM＝BN＝AD＝4，由勾股定理得到FN＝3，求得FM＝2，再由勾股定理解得FE即可；
②过F作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBF＝30°，由三角函数求出AE＝FE＝FB×tan30°．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，过F作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM＝BN＝AD＝4，
∵△ABE沿BE折叠得到△FBE，
∴FE＝AE，FB＝AB＝5，
∴FN＝＝3，
∴FM＝2，
∴FE2＝EM2+FM2，
∴FE2＝（4﹣FE）2+22，
解得：FE＝，
∴AE＝；
②如图2，过F作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴FB＝2PB，
∴∠PFB＝30°，
∴∠FBC＝30°，
∴∠EBF＝30°，
∴AE＝FE＝FB×tan30°＝5×＝；
综上所述：AE的长为或；
故答案为：或．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）整理后分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）方程变形得：x2﹣x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
（2）延长OA到A2使OA2＝2OA，延长OB到B2使OB2＝2OB，延长OC到C2使OC2＝2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标（﹣4，2）．
19．如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，已知点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0）．[提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），点M（x，y）为线段AB的中点，则有x＝，y＝]
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线AB的解析式．
【分析】（1）根据矩形的性质即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得PB＝5，进而根据矩形的性质求得AP＝BP＝5，即可求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0），
∴D（6，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数解析式为y＝，
（2）∵点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0），
∴OB＝4，OP＝3，
∴PB＝＝5，
∵P是矩形对角线的交点，
∴BD＝2PB＝10，
∴AC＝BD＝10，
∴AP＝5，
∴A（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx﹣4，
把A（﹣2，0）代入得，0＝﹣2k﹣4，
解得k＝﹣2．
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF∥AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．
（1）若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；
（2）当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．
【分析】（1）由垂线段最短可知AE取最小值时AE⊥BC；由两组边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABEF是平行四边形；由勾股定理得出AC的值；将梯形AECF的面积转化为Rt△ABC的面积，计算即可；
（2）当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．由直角三角形的斜边中线性质及平行四边形的性质得出条件证明四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：（1）∵AE取最小值，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4；
∵AF＝BE，
∴AF+EC＝BE+EC＝BC＝5，
∴S四边形AECF
＝（AF+EC）•AE
＝BC•AE
＝S△ABC
＝AB•AC
＝×3×4
＝6；
∴AE取最小值时，四边形AECF的面积为6；
（2）当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．理由如下：
∵E为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AE＝BC＝EC＝BE，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE，
∴AF＝AE＝EC．
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥EC，
又∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AECF为菱形．
21．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
【分析】先根据等角对等边得出∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD）和∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可，再证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．
【解答】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEN中，ON＝＝30（cm），
过点A作AM⊥BD于点M，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABM＝∠OEN，则Rt△OEN∽Rt△ABM，
∴＝，AM＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
22．如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP交BC于D．
（1）猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；
（2）若∠ACB＝90°，CD＝，BD＝2；
①求∠B的度数；
②AD＝m，AC＝n，且一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，求x12+x22的值．
【分析】（1）过点B作BE∥AC交射线AD与E，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠E＝∠BAD，可得AB＝BE，通过证明△ACD∽△EBD，可得结论；
（2）①由sin∠ABC＝，可求解；
②先求出m，n的值，由根与系数关系，可求解．
【解答】解：（1），
理由如下：如图，过点B作BE∥AC交射线AD与E，
由题意可得：AP平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵BE∥AC，
∴∠CAD＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∵BE∥AC，
∴△ACD∽△EBD，
∴，
∴；
（2）①∵∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝＝，
∴∠ABC＝30°；
②∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AP平分BAC，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2，AC＝CD＝3，
∴m＝2，n＝3，
∵一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣n，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝m2+2n＝12+6＝18．
23．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为（10，6），点M为AC边上一点，且MC＝4MA．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S四边形AMEO＝（AM+OE）×AO＝×（2+x）×6＝×60，即可求解；
（3）分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）由点C的坐标知，AC＝OB＝10，AO＝BC＝6，
则点A（0，6）、点B（10，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+m，则，
解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6；
（2）存在，理由：
矩形AOBC的面积＝AO×BO＝10×6＝60，
∵MC＝4MA，则AM＝2，MC＝8，
设点E（x，0），
则S四边形AMEO＝（AM+OE）×AO＝×（2+x）×6＝×60，解得x＝8，
故点E的坐标为（8，0）；
（3）∵点P为矩形的中心，由中点公式得，点P（5，3），
而点A（0，6）、点O（0，0），设点Q（a，b），
①当AO是边时，
由O向右平移0个单位向上平移6个单位得到点A，同样点P（Q）向右平移0个单位向上平移6个单位得到点Q（P），
则，解得；
②当AO是对角线时，
由中点公式得：，解得，
故点Q的坐标为（5，9）或（5，﹣3）或（﹣5，3）．
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