初中人教版16.3 二次根式的加减习题

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16.3二次根式的加减同步练习

人教版初中数学八年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 已知：，，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

3. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 若，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

6. 若与可以合并，则的值不可以是．

A.  B.  C.  D.

7. 若，，则二次根式的值为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为．

A.  B.  C.  D.

9. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，为互不相同的有理数，满足，则符合条件的，，共有

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

11. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

12. 如图所示，在桌面上建立平面直角坐标系每个小正方形的边长为一个单位长度，小球从点出发，撞击桌面边缘桌壁发生反弹，反射角等于入射角若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第秒时小球所在位置的横坐标为   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 计算：______．
14. 若，则的值是_________．
15. 计算：______．
16. 与最简二次根式是同类二次根式，则          ．
17. 一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，，求下列代数式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 化简：，并求时的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 小刚根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
    以下是小刚的探究过程，请补充完整；
    具体运算，发现规律．
    特例：；特例：；特例：；特例：______举一个符合上述运算特征的例子
    观察、归纳，得出猜想．
    如果为正整数，用含的式子表示这个运算规律；______．
    证明猜想，确认猜想的正确性．
    
    
    
    
    
    
     
22. 数学课上张老师和学生们做了一个数字游戏，老师手里拿了一枝笔说：“现在你们学习了二次根式，如果表示的整数部分，代表它的小数部分，我这枝笔的价格是元，那么你们猜一下这枝笔的价格是多少？谁猜对了，这枝笔就奖给谁”你能猜出这枝笔的价格吗？
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
24. 观察下列运算过程：

请运用上面的运算方法计算：

．






 

25. 已知：，为正整数．

用含的代数式表示

若中代数式的值是整数，求正整数的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是掌握完全平方公式．首先把分解因式，然后再代入即可．

【解答】
解：．

故选：．

2.【答案】
 

【解析】解：，，
，，
，
又，，
原式；
故选：．
先把进行化简，再把，代入，即可求出答案．
此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算．
 

3.【答案】
 

【解析】A、，和是同类二次根式，故本选项错误；
B、和是同类二次根式，故本选项错误；
C、和不是同类二次根式，故本选项正确；
D、和是同类二次根式，故本选项错误．
故选：．
将各选项的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同判断即可．
本题考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的运算根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断．
【解答】
解：、和不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．先根据已知求得，再整体代入计算即可．
【解答】
解：




原式

．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次根式的知识，关键是知道同类二次根数的特点．
【解答】
解：、把代入根式分别化简：，，两式可以合并，故选项不符合题意
B、把代入根式化简：，两式可以合并，故选项不合题意
C、把代入根式化简：，两式可以合并，故选项不合题意
D、把代入根式化简：，，两式不能合并，故符合题意．
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图．

由题意知：，．
，．







故选：．
欲求，需求以及由题意得，，故HC，，进而解决此题．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次根式的混合运算，先把化成，然后与前一项组成平方差公式，最后计算即可．

【解答】

解：原式，

．

故选A．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的应用以及完全平方公式的应用，解答本题的关键是通过化简题中条件，得到，，的关系式，再由此分析即得符合条件的，，．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以，
即，
即，
所以．
又因为，，为互不相同的有理数，
所以符合条件的，，共有组．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】解：、原式为最简结果，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】根据题意可知，小球运动一周所走的路程为个单位长度，
小球以每秒个单位长度的速度运动，
小球运动一周所用的时间为秒，
，
第秒时小球所在位置为点如图所示，
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，通过已知条件和完全平方公式得到是解题的关键，由题意可得，再把平方再开方可得的值．
【解答】
解：有意义，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：原式

故答案为：．
根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的概念得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
【解答】
解：，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
；
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：长方形的长和宽分别为和
这个长方形的面积为：
故答案为：
长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将和相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可．
本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式


 

【解析】先化简分式，然后将的值代入计算．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用分解因式化简分式是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
，



；




．
 

【解析】直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
结合平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，，








．
 

【解析】先求出，再去括号，约分后通分，根据分式的加减进行计算，最后代入求出即可．
本题考查了分式的化简求值和分母有理化，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：  ；
  ；
证明：是正整数，
．
即．
 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据题目中的例子可以写出特例；
根据中特例，可以写出相应的猜想；
根据中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．
【解答】
解：由例子可得，
特例为：，
故答案为：；
如果为正整数，用含的式子表示这个运算规律：，
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】解：，
的整数部分是，即，
小数部分，
，
，
．
所以，这枝笔价格是元．
 

【解析】先根据无理数大小的估算方法求出、，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，无理数大小的估算，确定出、表示的数是解题的关键．
 

23.【答案】解：原式
，
当时，
原式

．
 

【解析】本题考查了整式的混合运算化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
根据整式的乘法展开，再合并同类项，最后代入计算即可．
 

24.【答案】解：

．

【解析】见答案
 

25.【答案】解：


．

当是完全平方数时，代数式的值是整数，此时正整数的最小值是．

【解析】见答案