一轮复习专题3.1 导数概念及运算（解析版）教案

这是一份一轮复习专题3.1 导数概念及运算（解析版）教案，共19页。教案主要包含了必备知识，题型训练等内容，欢迎下载使用。

01导数概念及运算
一、必备知识：
1．导数的概念
(1)定义:
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)导函数:
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy＝ ；
②求平均变化率＝ ；
③取极限，得导数f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝ (c为常数)，　 (xα)′＝ (α∈Q*)；
(2)(sinx)′＝________， (cosx)′＝__________；
(3)(lnx)′＝ ， (logax)′＝ ；(4)(ex)′＝____________， (ax)′＝ .
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝____________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________；当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝______.
(3)′＝ (g(x)≠0)．
自查自纠：
1．(1)可导　f′(x0)　(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)　②
2．f′(x0)　y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3．(1)0　αxα－1　(2)cosx　－sinx　(3)　 (4)ex　axlna
4．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x)　　(3)
二、题型训练
题组一：
1．下列求导运算正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A.
2．求下列函数的导数：
（1） 【答案】（1）
（2） 【答案】
（3） 【答案】
（4） 【答案】
（5） 【答案】
3．设则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

4．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选A．
课堂检测：
5．下列结论正确的是（ ）
A．若，则y′=1+　　　B．若y=cosx，则y′=sinx
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】若，则，所以A错误。若，则，所以B错。若，则，所以C正确，若，则，所以D错
6．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①； ②； ③；④；⑤．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①，题中错误；②正确；③正确；
④题中错误；⑤题中错误．故正确的有两个，选择B．
7．下列求导运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】，所以A不正确；，所以C不正确；
，所以D不正确；，所以B正确．故选B.

题组二：
8．设若则_______．
【答案】
【解析】
9．已知函数，则 .
【答案】0
【解析】
10．已知，则____________．
【答案】
【解析】
11．已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣ex）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．
12．已知函数，则的值为(　　)
A. B.0 C. D.
【答案】D
【解析】由题意，化简得，
而，所以，得，故，
所以，，所以,故选D.
13．已知函数f(x)=4ex+1+x3+sinx，其导函数为f'(x)，则f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)的值为（ ）
A.4040 B.4 C.2 D.0
【答案】B
【详解】函数f(x)=4ex+1+x3+sinx⇒fx+f-x=4ex+1+4exex+1=4，f'x=-4exex+12+3x2+cosx，f'x-f'-x=0，f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)=4，故答案选B.
14．已知，记，，，，则_________
【答案】
【解析】令，则是以为周期的周期函数，因为，
所以 ==．
15．记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为 　　．
【答案】
【解析】f(2)＝2，f(－2)＝－2，＝1，f′(x)＝3x2－3＝1，得x＝±∈
[－2，2]，故有2个
16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，则数列的通项公式为，则__________．
【答案】4034
【解析】对函数求导，再求导．由题可得拐点，三次函数有对称中心．则有．则．故本题应填．
课堂检测：
17．函数在处的导数是
【答案】
【解析】，所以，当时，代入得：.
18．函数f(x)=sinx+(e为自然对数的底数),则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】B
【详解】∵f(x)=sinx+，∴，∴．故选B．
19．已知fx=x3-x2f'1-1,则f`(-1)等于( )
A.5 B.4 C.-4 D.0
【答案】A
【详解】f'x=3x2-2xf'1，令x=1，f'1=3-2f'1,f'1=1，故f'x=3x2-2x,f'-1=3+2=5，故选A.
20．已知是函数的导数，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，所以，所以，故选C.
21．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意，令得，.
22．对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是函数f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数f(x)=13x3-12x2+3x-512，请你根据上面探究结果，计算f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017) =__________.
【答案】2016
【解析】由已知可得f'(x)=x2-x+3，令f''(x)=2x-1=0⇒x=12⇒f(12)=1⇒ f(x)的图象关于点(12,1)，即当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=2⇒原式=1013×2=2016．

题组三:
23．已知函数，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，．故C正确．
24．已知函数fx=xlogax，f'x为fx的导函数，若f'1=2，则a的值______.
【答案】e
【详解】因为fx=xlogax⇒f'x=logax+x1x⋅lna=logax+1lna，所以f'1=1lna=2⇒a=e.
25．设函数，且，则k=（  ）
A．0 B．-1 C．3 D．-6
【答案】B
【解析】
，解得.故选：B.
26．已知函数，是的导函数，若，则______．
【答案】
【详解】∵，∴，由，得，∴，
∵
由，得，又，∴
把代入得：．∴．故答案为．
课堂检测：
27．已知函数且，为的导函数，且满足，则_______.
【答案】
【详解】，，，故答案为.
28．已知，，则等于______。
【答案】
【详解】由题意可得：，则，.故答案为：．
29．已知函数在点处的导数为2，则__________．
【答案】
【解析】由得 ，函数在点处的导数为2，所以 ，故答案为.
30．已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．
【答案】
【解析】，整理为的解集是，所以，即，，所以，故填：.

题组四：
31．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得， ，因为在上为“凸函数”，所以 ，因为在上递增，所以，所以 ，实数的取值范围是
32．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴．∵函数是上的"双中值函数"，∴存在，使得，∴方程在区间上有两个不同的解，令，则，解得．∴实数的取值范围是．故选D．
课堂检测：
33．定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a A．(34,1) B．(34,32) C．(1,32) D．(32,+∞)
【答案】B
【解析】f'(x)=x2-x，由题意x2-x=13m3-12m2+m-mm在[0,m]上有两个不等实根，方程即为x2-x-(13m2-12m)=0，令g(x)=x2-x-(13m2-12m) =(x-12)2-(13m2-12m+14)，则m>12g(0)=-(13m2-12m)>0g(12)=-(13m2-12m+14)<0g(m)=m2-m-(13m2-12m)>0，解得34
题组五:
34．函数在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以切线为
35．已知过点且与曲线相切的直线方程为 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】或
【详解】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或．
36．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为函数是奇函数，且当时，令，则
所以又因为所以当所以 ，则而，所以切点为 所以切线方程为 所以选D
37．已知函数,则在点处的线方程为 ．
【答案】
【解析】，，
从而；所以在点处的线方程为，即．
38．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=-xx-2，则函数在x=-1处的切线方程是（　　）
A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y=0 D.x+2y=0
【答案】A
【详解】当x<0时，-x>0，∴f-x=-xx+2，∴fx=xx+2(x<0),f'(x)=2(x+2)2，k=f'-1=2，切点为-1,-1，∴切线方程为y+1=2x+1．∴切线方程为2x-y+1=0．故选：A．
39．曲线的所有切线中， 斜率最小的切线的方程是 ．
【答案】
【解析】，当且仅当取等号，故切点，此时切线方程．
课堂检测：
40．曲线在点处的切线方程为______________．
【答案】；
【解析】即
41．曲线在点处的切线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求导，则曲线在点处的切线的斜率
由点斜式可得，即切线方程为
42．若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】……①……②
联立①②，解得：，则
，
切线方程为：，即本题正确选项：

题组六
43．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】.
【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.
44．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为____________
【答案】
【解析】设,所以点到直线的距离为,令,所以,因为,所以得,令得,所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以时取到最大值为,所以,所以.
45．设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为
【答案】
【解析】，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.
46．已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】D
【详解】，可以看成和两点之间的最小值当时，即点到直线的距离最小
课堂检测：
47．如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为___________．
【答案】(1,0)
【解析】曲线在点P处的切线垂直于直线,曲线在点P处的切线的斜率,函数的导数为,设,,解得,,
48．设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.
49．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.由y'=1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，故答案为：4．

题组七：
50．已知直线 是曲线的一条切线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.
51．已知直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵y＝lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝（x﹣m），即y＝x+lnm﹣1，∵直线y＝kx+1是曲线的切线，∴＝k，且lnm﹣1＝1，即lnm＝2，则m＝e2，则k＝．故选：A．
52．曲线y＝xln x在点（e，e）处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，，当时，，所以切线的斜率是，切线与直线垂直，所以直线的斜率，解得：
53．已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则___________.
【答案】3
【详解】由题意，函数，得，曲线在点处的切线方程为，即，即，解得，所以.
课堂检测：
54．已知函数的图象在点处的切线与曲线相切，则______．
【答案】-2．
【详解】函数f（x）＝ex+ax，函数的导数f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，∴切线方程为y=(1+a)x+1，又的导函数y′=，令切点坐标为（t，-lnt），则有，解得t=1，a=故答案为：．
55．直线是曲线的切线，则实数____．
【答案】1
【解析】∵，∴设切点为，得切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：．即：它过原点，∴，∴，∴．故答案为：1．
56．直线与曲线相切于点，则_________.
【答案】40
【详解】由题意，直线与曲线相切于点，把点代入直线，可得，又由，则，所以，解得，即，把点代入，解得，所以.

题组八：
57．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____
【答案】
【详解】由已知函数的导数为
，，即，，，即答案为：。
58．函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】两直线平行，斜率相等，所以，，即有解，所以
59．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】设切点为，则切线斜率为：.切线方程为：，将点代入切线方程得：，又.所以，整理得有两个解.所以，解得或.故答案为：.
60．已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】的几何意义，表示点与点连线斜率，实数在区间内，故和在内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在内恒成立，在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递增函数，故时，在上取最大值为，，，故选C.
61．已知函数，若在和处切线平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，∴，
整理得：，则，∴，则，∴，∵，∴.∴.故选：D．
课堂检测：
62．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】y′=cosx∴tana=cosx∵-1≤cosx≤1即-1≤tana≤1∵0≤a≤π∴0≤a≤或≤a＜π故选C
63．函数在点处的切线斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，∴，所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为，故选A．
64．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】设切点是，由是切线斜率，
切线方程为，整理得，，记，
当，递减；当，递增；故，
即的最小值是故选C.
65．已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意，函数的导数，若曲线C存在与直线垂直的切线，则切线的斜率为，满足，即有解，因为有解，又因为，即，所以实数的取值范围是，故选A.