一轮复习专题3.1 导数概念及运算（解析版）教案

这是一份一轮复习专题3.1 导数概念及运算（解析版）教案，共19页。教案主要包含了必备知识，题型训练等内容，欢迎下载使用。
01导数概念及运算
一、必备知识：
1．导数的概念
(1)定义:
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)导函数:
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy＝ ；
②求平均变化率＝ ；
③取极限，得导数f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝ (c为常数)，　 (xα)′＝ (α∈Q*)；
(2)(sinx)′＝________， (cosx)′＝__________；
(3)(lnx)′＝ ， (logax)′＝ ；(4)(ex)′＝____________， (ax)′＝ .
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝____________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________；当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝______.
(3)′＝ (g(x)≠0)．
自查自纠：
1．(1)可导　f′(x0)　(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)　②
2．f′(x0)　y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3．(1)0　αxα－1　(2)cosx　－sinx　(3)　 (4)ex　axlna
4．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x)　　(3)
二、题型训练
题组一：
1．下列求导运算正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A.
2．求下列函数的导数：
（1） 【答案】（1）
（2） 【答案】
（3） 【答案】
（4） 【答案】
（5） 【答案】
3．设则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

4．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选A．
课堂检测：
5．下列结论正确的是（ ）
A．若，则y′=1+　　　B．若y=cosx，则y′=sinx
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】若，则，所以A错误。若，则，所以B错。若，则，所以C正确，若，则，所以D错
6．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①； ②； ③；④；⑤．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①，题中错误；②正确；③正确；
④题中错误；⑤题中错误．故正确的有两个，选择B．
7．下列求导运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】，所以A不正确；，所以C不正确；
，所以D不正确；，所以B正确．故选B.

题组二：
8．设若则_______．
【答案】
【解析】
9．已知函数，则 .
【答案】0
【解析】
10．已知，则____________．
【答案】
【解析】
11．已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣ex）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．
12．已知函数，则的值为(　　)
A. B.0 C. D.
【答案】D
【解析】由题意，化简得，
而，所以，得，故，
所以，，所以,故选D.
13．已知函数f(x)=4ex+1+x3+sinx，其导函数为f'(x)，则f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)的值为（ ）
A.4040 B.4 C.2 D.0
【答案】B
【详解】函数f(x)=4ex+1+x3+sinx⇒fx+f-x=4ex+1+4exex+1=4，f'x=-4exex+12+3x2+cosx，f'x-f'-x=0，f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)=4，故答案选B.
14．已知，记，，，，则_________
【答案】
【解析】令，则是以为周期的周期函数，因为，
所以 ==．
15．记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为 　　．
【答案】
【解析】f(2)＝2，f(－2)＝－2，＝1，f′(x)＝3x2－3＝1，得x＝±∈
[－2，2]，故有2个
16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，则数列的通项公式为，则__________．
【答案】4034
【解析】对函数求导，再求导．由题可得拐点，三次函数有对称中心．则有．则．故本题应填．
课堂检测：
17．函数在处的导数是
【答案】
【解析】，所以，当时，代入得：.
18．函数f(x)=sinx+(e为自然对数的底数),则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】B
【详解】∵f(x)=sinx+，∴，∴．故选B．
19．已知fx=x3-x2f'1-1,则f`(-1)等于( )
A.5 B.4 C.-4 D.0
【答案】A
【详解】f'x=3x2-2xf'1，令x=1，f'1=3-2f'1,f'1=1，故f'x=3x2-2x,f'-1=3+2=5，故选A.
20．已知是函数的导数，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，所以，所以，故选C.
21．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意，令得，.
22．对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是函数f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数f(x)=13x3-12x2+3x-512，请你根据上面探究结果，计算f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017) =__________.
【答案】2016
【解析】由已知可得f'(x)=x2-x+3，令f''(x)=2x-1=0⇒x=12⇒f(12)=1⇒ f(x)的图象关于点(12,1)，即当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=2⇒原式=1013×2=2016．

题组三:
23．已知函数，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，．故C正确．
24．已知函数fx=xlogax，f'x为fx的导函数，若f'1=2，则a的值______.
【答案】e
【详解】因为fx=xlogax⇒f'x=logax+x1x⋅lna=logax+1lna，所以f'1=1lna=2⇒a=e.
25．设函数，且，则k=（  ）
A．0 B．-1 C．3 D．-6
【答案】B
【解析】
，解得.故选：B.
26．已知函数，是的导函数，若，则______．
【答案】
【详解】∵，∴，由，得，∴，
∵
由，得，又，∴
把代入得：．∴．故答案为．
课堂检测：
27．已知函数且，为的导函数，且满足，则_______.
【答案】
【详解】，，，故答案为.
28．已知，，则等于______。
【答案】
【详解】由题意可得：，则，.故答案为：．
29．已知函数在点处的导数为2，则__________．
【答案】
【解析】由得 ，函数在点处的导数为2，所以 ，故答案为.
30．已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．
【答案】
【解析】，整理为的解集是，所以，即，，所以，故填：.

题组四：
31．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得， ，因为在上为“凸函数”，所以 ，因为在上递增，所以，所以 ，实数的取值范围是
32．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴．∵函数是上的"双中值函数"，∴存在，使得，∴方程在区间上有两个不同的解，令，则，解得．∴实数的取值范围是．故选D．
课堂检测：
33．定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a