2022年中考数学一轮复习4.8《正方形》讲解（含答案）学案

第八节   正方形

课标呈现

指引方向

1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．

2．探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质，

考点梳理

夯实基础

1．正方形：

⑴正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，它具有四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的性质，即：

①边：它的四条边___________；

②角：它的四个角___________；

③对角线：它的对角线______________________，并且每一条对角线平分___________；

④面积：它的面积等于______________________或___________；

⑤对称性：它的对称轴是_________________________________.

⑵正方形的判定

判定1：先证矩形，再证菱形，则证得正方形．

判定2：先证菱形，再证矩形，则证得正方形．

【答案】⑴①相等；②为直角；③互相垂直平分且相等，每一组对角；④两对角线乘积的一半，边长的平方；⑤对边中点所在的直线和对角线所在的直线

2．中点四边形：

⑴顺次连接四边形各边中点，所得的图形是___________；

⑵顺次连接矩形四边中点所得四边形是___________；

⑶顺次连接菱形四边中点所得四边形是___________；

⑷由此猜想：顺次连接___________的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连接_______的四边形四边中点所得四边形是菱形．即新四边形的形状与原四边形的___________有关。

【答案】⑴平行四边形；⑵菱形；⑶矩形；⑷对角线垂直，对角线相等，对角线.

考点精析

专项突破

考点一  中点四边形

【例1】(德州)⑴如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形：

⑵如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：

⑶若改变⑵中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)

解题点拨：⑴如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．

⑵四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．

⑶四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD．得∠ACP＝∠BDP．即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．

【答案】解：⑴证明：如图1中，连接BD．

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，

∴EH∥BD，EH＝BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG＝BD，

∴EH∥FG，EH＝GF，

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

⑵四边形EFGH是菱形．

证明：如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB＝∠CPD．

∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD

即∠APC＝∠BPD．

在△APC和△BPD中，

∴△APC≌△BPD．

∴AC＝BD

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，

∴EF＝AC,FG＝BD,∴EF＝FG,

∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．

⑶四边形EFGH是正方形．

证明：如图2中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．

∵△APC≌△BPD．∴∠ACP＝∠BDP,

∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°,

∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．

考点二  正方形的性质与判定

【例2】(呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝，则小正方形的周长为(    )

A.     B.     C.    D.

【答案】C

解题点拨：先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得＝求出EF即可解决问题。

【例3】(攀枝花)如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；③tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1．则正方形ABCD的面积是6＋4，其中正确的结论个数为(    )

A．2    B．3    C．4    D.5

【答案】B

解题点拨：①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数：

②由AE＝EF＜BE，可得AD＞2AE；

③由AG＝GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积：

④由折叠的性质与平行线的性质及计算角的度数，易得△AEG是等腰三角形，即可证得AE＝AG＝EF＝FG；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE＝2OG；

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AE＝GF，再由∠BAO＝45°,∠GOF＝90°可得出△OGF是等腰直角三角形，由S△OGF＝1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

【例4】(庆阳)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G．且AE⊥EF．

⑴当AB＝2时，求△GEC的面积；

⑵求证：AE＝EF．

解题点拨：⑴首先根据△ABE∽△ECG得到AB:EC＝BE:GC，从而求得GC＝即可求得S△GEC；

⑵取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF．从而得到AE＝EF；

【答案】

解：⑴∵AB＝BC＝2，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，

∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB:EC＝BE:GC,

即：2：1＝1：GC，解得：GC＝，

∴S△GEC＝EC·CG＝×1×＝；

⑵证明：取AB的中点H，连接EH；

∵ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°

∴∠1＝∠2．

∵BH＝BE,∠BHE＝45°,且∠FCG＝45°,

∴∠AHE＝∠ECF＝135°,AH＝CE,

∴△AHE≌△ECF,

∴AE＝EF.

课堂训练

当堂检测

1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A．矩形

B．等腰梯形

C．对角线相等的四边形

D．对角线互相垂直

【答案】C

2．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(    )

A．选①②    B．选②③    C．选①③     D．选②④

【答案】B

3．(齐齐哈尔)有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____．

【答案】20和20

4．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

⑴求证：DF＝AE；

⑵当AB＝2时，求BE2的值．

【答案】

解：⑴证明：如图，连接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中．

∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL),

∴DF＝EF．

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠EAF＝45°．

∴△AEF是等腰直角三角形．

∴AE＝EF．

∴DF＝AE；

⑵∵AB＝2，

∴AC＝AB＝2．

∵CE＝CD，

∴AE＝2－2．

过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，

∴AH＝AE＝×(2－2)＝2－，

∴BH＝2－(2－)＝，

在Rt△BEH中．BE2＝BH2＋EH2＝()2＋(2－)2＝8－4.

中考达标

模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(    )

A．8     B．4    C．8    D．16

【答案】A

2．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是(     )

A.(2,0)    B.(3,0)    C.(2，－1)     D.(2,1)

【答案】B

3．(崇左)下列命题是假命题的是(     )

A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B．对角线互相垂直的矩形是正方形

C．对角线相等的菱形是正方形

D．对角线互相垂直的四边形是正方形

【答案】D

4．(广东)如图，正方形ABCD的面积为l，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为(    )

A．    B．2    C．＋1    D．2＋1

【答案】B

二、填空题

5．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是_________．

【答案】45°

6．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为________．

【答案】24m2

7．如图，在正方形ABCD中,AC为对角线，点E在AB边上,EF⊥AC于点F．连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12．则EC的长为__________.2

【答案】5

三、解答题

8．(无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．

【答案】

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD,∠DAB＝∠C＝90°,

∴∠FAD＝180°－∠DAB＝90°.

在△DCE和△DAF中，

∴△DCE≌△DAF(SAS),

∴DE＝DF．

9．(哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

⑴求证：AP＝BQ；

⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

【答案】

解：⑴∵正方形ABCD,

∴AD＝BA,∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°,

∵DP⊥AQ,

∴∠ADP＋∠DAP＝90°,

∴∠BAQ＝∠ADP,

∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P，

∴∠AQB＝∠DPA＝90°,

∴△AQB≌△DPA(AAS)，

∴AP＝BQ.

⑵①AQ－AP＝PQ，②AQ－BQ＝PQ，③DP－AP＝PQ，④DP－BQ＝PQ.

B组  提高练习

10．(年深圳)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC．将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，BF，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF＝．在以上4个结论中，正确的有(    )

A．1     B．2     C．3     D．4

【答案】C

(提示：由折叠和正方形的性质可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°．又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．故结论①正确．∵正方形ABCD的边长为12，BE＝EC．∴BE＝EC＝EF＝6．设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，在Rt△BEG中，由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2，即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得，x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴GB＝2AG．故结论②正确．∵BE＝EF＝6，∴△BEF是等腰三角形．易知△GDE不是等腰三角形，∴△GDE和△BEF不相似.故结论③错误．∵S△BEG＝BE·BG＝·6·8＝24，∴S△BEF＝·S△BEG＝·24＝.故结论④正确．综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个．故选C．)

11．(河南)如图，正方形ABCD的边长是l6，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B’处，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB’的长为________．

【答案】16或4

(提示：⑴如答图1，若DB’＝DC，是等腰三角形，则DB’＝DC＝16；⑵如答图2，若DB’＝CB’，过点B’作MN⊥CD于点M，交AB于点N，则CM＝DM＝8＝BN，又∵AE＝3，∴BE＝13．∴EN＝5．由翻折可知EB’＝13，在Rt△EB’N中，由勾股定理可求B’N＝12，∴B’M＝4，在Rt△DB’M中，B’D＝＝＝4.⑶如答图3，若CB’＝CD，此时，点F与点C重合，与已知不符．综上所述，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB’的长为16或4．)

12．(广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.

⑴请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

⑵请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

⑶在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.

【答案】

解：⑴四边形APQD为平行四边形；

⑵OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ,∠ABO＝∠OBQ＝45°,

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°,

∴OB＝OQ，

∴△AOB≌△OPQ，

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，

∴OA⊥OP；

⑶如图，过D作OE⊥BC于E．

①如图1，当点P在点B右侧时，则BQ＝x＋2，OE＝,

∴y＝··x．即y＝(x＋1)2－，

又∵0≤x≤2．

∴当x＝2时，y有最大值为2；

②如图2，当点P在B点左侧时，则BQ＝2－x，OE＝，

∴y＝··x，即y＝－(x－1)2＋，

又∵0≤x≤2．

∴当x＝1时，y有最大值为；

综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．