2022年中考数学一轮复习4.7《矩形、菱形》讲解（含答案）学案

这是一份2022年中考数学一轮复习4.7《矩形、菱形》讲解（含答案）学案，共8页。

1．理解平行四边形、矩形、菱形的概念，以及它们之间的关系．
2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点梳理 夯实基础
1．矩形：
(1)矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：
①角：它的四个角为_____；
②对角线：它的对角线_____；
③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是_____所在的直线．
【答案】直角 相等 对边中点
(2)矩形的判定
判定1：_________的平行四边形是矩形（定义）；
判定2：_________的平行四边形是矩形；
判定3：_________的四边形是矩形.
【答案】有一个角为直角 两条对角线相等 有三个角为直角
注：(1)矩形被它的对角线分成四个______三角形和四个_____三角形；
(2)矩形中常见题目是对角线相交成60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．
【答案】等腰 直角
2．菱形：
(1)菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：
①边：它的四条边________；
②对角线：它的对角线________，并且每一条对角线平分________；
③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是________；
④面积：它的面积除底乘以高外还有________．
【答案】相等 互相垂直 每一组对角 对角线所在的直线 两对角线乘积的一半
(2)菱形的判定
判定1：________的平行四边形是菱形（定义）；
判定2：________的平行四边形是菱形；
判定3：________的四边形是菱形.
【答案】一组邻边相等 两对角线垂直 四边相等
注：(1)菱形被它的对角线分成四个全等的________三角形和两对全等的________三角形.
(2)菱形中常见题目是内角为60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．
【答案】直角 等腰
考点精析 专项突破
考点一 矩形的性质
【例1】（包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．过点A作AE⊥BD．垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=_______度．
【答案】22.5
解题点拨：首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB,∠OAE即可.
考点二 菱形的性质
【例2】（通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2-7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ( )
A．8 B．20 C．8或20 D．10
【答案】B
解题点拨：边AB的长是方程y2-7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长.
考点三 矩形、菱形的综合
【例3】（南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°．∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E．F．且∠EAF= 60°．
(1)如图l，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
解题点拨：(1)结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可，证明△AEF是等边三角形．
(2)欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH =CF·cs30°，因为CF= BE，只要求出BE即可解决问题．
【答案】
(1)解：结论AE=EF=AF.
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∵△ABC,△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,∴ ∠CAF=∠DAF=30°,
∵AF⊥CD，∵AE=AF(菱形的高相等)，
∴△AEF是等边三角形．∴AE=EF=AF．
(2)证明：如图2中，连接AC,
∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF.∴BE= CF.
(3)解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH ⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°，∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中，∴∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=2,AG=2,
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°,
∵AG=GE=2，∵EB=EG-BG=2-2,
∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF,EB=CF=2-2,
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°,CF=2-2,
∴FH=CF．cs30°=(2-2)． =3一．
∴点F到BC的距离为3-．
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1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB= 30°，则∠AOB的大小为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】B
2．（桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是 ( )
A．18 B．18 C．36 D．36
【答案】B
3．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=_______．
【答案】35°
4．（曲靖）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，且BE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OBEC是矩形；
(2)若菱形ABCD的周长是4，tana=，求四边形OBEC的面积．
(1)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
∴AC⊥BD,
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,
∴四边形OBEC是矩形.
(2)解：∵菱形ABCD的周长是4，
∴AB=BC=AD=DC=．
∵tana=，
∴设CO=x,则B0=2x,
∵+ =，
解得：x=，
∴四边形OBEC的面积为：×2=4．
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A组 基础训练
一、选择题
1．（无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 ( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【答案】C
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM =CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC= 28°，则∠OBC的度数为 ( )
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】C
3．（枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB= 6，DH⊥AB于H，则DH等于 ( )
A． B. C.5 D.4
【答案】 A
4．（安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
二、填空题
5．如图，菱形ABCD中，∠A= 60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为_____.
【答案】28
6．（成都）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_______．
【答案】3
7．（巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．
【答案】15
三、解答题
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC
于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点
P，连接EF，PD．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC,
∴∠DAE= ∠AEB．
∵AE是角平分线，∴∠DAE= ∠BAE．
∴∠BAE= ∠AEB，∴AB=BE，
同理AB=AF，∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；
(2)作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4,∠ABF= 30°,AP⊥BF.
∴AP=AB=2，∴PH=，DH =5,
∴tan∠ADP= =.
9．（乌鲁木齐）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE．
又∵BE∥DF．
∴∠BEC= ∠DFA．
在△BEC与△DFA中，
∴△BEC≌△DFA(AAS),:.BE=DF,
又∵BE∥DF．
∴四边形BEDF为平行四边形：
(2)连接BD，BD与AC相交于点D，如图：
∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，
∴AC=6．
∴A0=3．
∴Rt△BAO中，B0=5，
∵四边形BEDF是矩形．
∴OE=OB=5．
∴点E在OA的延长线上，且AE=2.
B组提高练习
10．（舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2．AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是 ( )
A． B. C.1 D.
【答案】D
（提示：过F作FH ⊥AE于h，∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四
边形AECF是平行四边形．∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3- DE,∴AE=,∵∠FHA=∠D= ∠DAF=90°,∴∠AFH+ ∠HAF= ∠DAE+ ∠FAH=90°，∴∠DAE= ∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴=，∴AE =AF,∴ =3—DE．∴DE=，故选D.)2
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A= 60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A'C．则A'C长度的最小值是______．
【答案】-1
（提示：如图所示：MC，MA’是定值，A’C长度的最小值时，即A’在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,CD=2，∠ADC=120°,∠FDA=60°,∠FMD=30°，FD=, FM=DM·cs30°=，MC==，A’C=MC-MA’=-1.
12．(重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．
⑴如图⑴，若∠A＝45°，AB＝ EQ \R(,6)，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．
⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．
【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝ EQ \R(,6),AB∥DE
∴∠A＝∠ADE＝45°
∴AD⊥BE
∴∠AFB＝∠DFE＝90°
∴∠A＝∠ABF＝∠FDE＝∠FED＝45°,AF＝BF,DF＝EF
则△AFB,△DEF为等腰直角三角形
∴AF＝ EQ \F( EQ \R(,2),2)AB＝ EQ \F( EQ \R(,2),2)× EQ \R(,6)＝ EQ \R(,3)
∴DF＝EF＝AD－AF＝ EQ \R(,6)－ EQ \R(,3)
∴DE＝ EQ \R(,2)DF＝2 EQ \R(,3)－ EQ \R(,6)．
⑵证明：延长BE至K,使EK＝ED,连接AK
在菱形ABCD中,AB＝BC＝AD
∵2∠AEB＝180°－∠BED
∴∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB
∴∠AED＝∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB＝∠AEK
在△AEK和△AED中
EQ \B\lc\{(\a\al(AE＝AE,∠AEK＝∠AED,EK＝ED))
∴△AEK≌△AED
∴AK＝AD＝AB
∵∠ABK＝60°
∴△ABK为等边三角形．
则BK＝BE＋KE＝AB＝BC，即：BC＝BE＋DE.
⑶∠BED＋∠CDE＝2∠ABD．