2022年中考数学一轮复习5.2《平移和旋转》讲解含答案学案

第二节   平移和旋转

课标呈现

指引方向

1．图形的平移

（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等．

（2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用．

（3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计．

2．图形的旋转

通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．

考点梳理

夯实基础

1．图形的平移

（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向 移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移 ．确定平移的两大要素是 方向和距离 ．

（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应角 相等 ．

②平移改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ．

2．图形的旋转

（1）定义：在平面内，将一个图形绕着 某点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度 ，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ．确定旋转的三大要素是 旋转中心、旋转方向、旋转角 ．

（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了 相同 的角度．任意一对对应点与 旋转中心 的连线所称的角都是旋转角，对应点到 旋转中心 的距离相等．

②旋转改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ．

考点精析

专项突破

考点一 图形的平移

【例1】（青岛）如图，线段AB经过平移得到线段,其中点A，B的对应点分别为，，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在上的对应点的坐标为（  A ）

A．（，）    B．（，）     C．（，）    D．（，）

解题点拨：本题考查了坐标与图形的平移变化，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中，点的坐标变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．本题根据点A、B平移后横、纵坐标的变化可得到线段AB向左平移了2个单位，向上平移了3个单位，然后再根据平移过程中点的坐标变化规律即可得到答案．

【例2】（镇江）如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm．将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为  7  cm．

解题点拨：本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．过D1作D1E⊥BC1于E点，由△D1EC1∽△BD1C1即可得出BC1=9，进而得出答案．

考点二 图形的旋转

【例3】（孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB =2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点的坐标为（ C ）

A．（，）      B．（，）      C．（，）      D．（，）

解题点拨：本题考查了旋转的性质、特殊锐角三角函数值得应用，先根据题意画出点的位置，然后过点作于C，接下来依据旋转的定义和性质可得到的长和的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．得到是解本题的关键．

【例4】（黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△．

（1）如图1，若，，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①；②；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形，且，CD∥AB，与交于点E，猜想是否成立？请说明理由．

解题点拨：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

解：（1）证明：①∵△OCD旋转到△，∴，，．∵，C，D分别为OA，OB的中点，∴，∴．在△和△中：，∴△≌△（SAS），∴．②延长交于E，交BO于F，如图1所示，

∵△≌△，∴，又，，

∴，∴，∴．

（2）成立，理由如下：如图2所示，∵△OCD旋转到△，∴，，．∵CD∥AB，∴，∴，∴．又，∴△∽△，∴．又，∴．

课堂训练

当堂检测

1．（泰安）如图，在平面直角坐标系中，正△OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（   ）

    A．（4，）      B．（3，）      C．（4，）      D．（3，）

【答案】A

2．（枣庄）如图，边长为1 的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（   ）

 A．      B．     C．      D．

【答案】D

3．（自贡）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段BC扫过的面积为cm．

【答案】16

4．（巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．

解：（1）如图，△A1B1C1为所求；

（2）如图，△A2B2C2为所求；

（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图．

∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），

∴直线A1B1为，直线B2C2为，直线A2B2为，

由解得，∴点E（，）．由解得，∴点E（，）．

过F作轴的垂线交B2C2于G点，易得G（，），进而易得△B2EF的面积为．

∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．

中考达标

模拟自测

A组   基础训练

一、选择题

1．（菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则的值为（   ）

 A．2      B．3     C．4      D．5

【答案】A

2．（济宁）将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（   ）

A．16cm      B．18cm     C．20cm      D．21cm

【答案】C

3．（宜宾）如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（   ）

A．      B．    C．      D．

【答案】A

4．（河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（，），B（，），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（   ）

 A．（，）     B．（，）     C．（，0）      D．（0，）

【答案】B

二、填空题

5．（广安）将点A（1，）沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移5个单位长度后得到点的坐标为．

【答案】（，）

6．（重庆南开）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，．

【答案】50°

7．（枣庄）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△的位置，连接，则．

【答案】

三、解答题

8．（巴中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得到△A2B1C2，请画出△A2B1C2；

（3）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．

解：（1）（2）如图：

（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：．

9．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．

（1）如图①，当时，求证：CD=2AF；

（2）当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

解：（1）证明：如图①，∵，，∴．

在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE．

∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．

（2）成立．

证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，连接BH．

∵，∴．∵，∴．

在△ABH与△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴BH=DC．

∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．

B组   提高练习

10．（无锡）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取B1B的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（   ）

A．      B．    C．      D．

【答案】A

（提示：首先证明△ACA1、△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题）

11．（潜江）已知，正方形ABCD绕点A旋转．

（1）当正方形ABCD旋转到的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，如图1，若BM=DN，则线段MN与之间的数量关系是；

（2）如图2，若，请判断（1）中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

证明：（1）如图1，若BM=DN，则线段MN与之间的数量关系是．理由如下：

在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，．∵，，∴．

作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°.

在△ADN与△AEN中，

∴△ADN~△AEN(AAS)，

∴DN=EN．

∵BM=DN，MN=2EN，

∴MN= BM+DN.

(2)如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．

理由如下：

延长NC到点P，使DP=BM，连结AP.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD, ∠ABM=∠ADC=90°.

在△ABM与△ADP中．

∴△A BM≌△ADP(SAS)，

∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，

∵∠MAN =135°，

∴∠PAN= 360°-∠MAN-(∠3+∠4)=360°-135°-90°= 135°.

在△ANM与△ANP中．

∴△ANM≌△ANP( SAS)，

∴MN=PN．

∵PN=DP+DN=BM+DN,

∴MN= BM+DN.