考点27 空间向量求空间距离（练习） （解析版）

考点27  空间向量求空间距离

【题组一 两点距】

1．已知点，，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以当所以当时有最小值，故选：C.

2．在空间直角坐标系中，设，若，则实数a的值是（    ）

A．3或5 B．或 C．3或 D．或5

【答案】A

【解析】由空间中两点的距离公式，可得，

解得或.故选：A．

3．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，

则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．

与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，与平行交于点，过点作垂直于点，

同上有：，且有，又因为，故，

而，故，

而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，

点到点的最短距离是点到直线的距离，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，， ，

， ，

点到点的最短距离：

．

故选：．

【题组二 点线距】

1．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.

故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.

故答案为B

【题组三 点面距】

1．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且，求到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明：在直三棱柱中，，，为的中点.所以,因为，所以平面；

（2）因为，，

所以，由（1）可知，

所以，

即，可得，

所以.

以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，

令，解得，

由点到平面距离的向量求法可得.

2．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,为的中点,,平面平面.

(1)求证:平面平面;

(2)记点到平面的距离为,点到平面的距离为,求的值.

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】（1）因为三角形为等边三角形，，所以.因为底面为直角梯形，，，为的的中点，，所以四边形是正方形，所以，因为，所以平面.因为，所以平面，由于平面，所以平面平面.

（2）由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，.，.

设平面的法向量为，则，取.所以.

设平面的法向量为，则，取.所以.

所以.

3．如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.

(Ⅰ)求AB的长；

(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.

又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.

注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.

而AD=BD=1，∴.          

(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.

又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.

过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

记，则，，

，，，.

令平面BCD的一个法向量为.

由得.令，得.

又∵，∴点E到平面BCD的距离.

∵，∴当时，取得最大值，.

4．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点.

（1）求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）底面为矩形，.

又平面，平面，平面.

又平面，平面平面，.

（2）取的中点，连接，过点作交于点.

侧面为正三角形，.

平面平面且交线为，

平面，为矩形，，，

如图所示，建立以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系

，，，，.

设，又，.

，.

设平面的法向量为

，

令，，，

平面的一个法向量.

又易知是平面的一个法向量，

，

解得：，，.

又平面的一个法向量，

点到平面的距离为：.

【题组四 线面距】

1．如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，

求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.

【答案】；

【解析】因为M，R分别为AO，AD的中点，

所以MR∥OD.

在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，

所以NR∥CD.

又MR∩NR=R，OD∩CD=D，

所以平面MNR∥平面OCD.

又MN平面MNR，所以MN∥平面OCD.

所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离.以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，N(2，1，0)，

所以=(0，1，0)，=(0，2，−2)，=(−2，0，0)，

设平面OCD的法向量为n=(x，y，z)，则，

令z=1，得n=(0，1，1)为平面OCD的一个法向量.

所以点N到平面OCD的距离d=|·|=，

所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于.

2．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________.

【答案】

【解析】由已知AB，AD，AP两两垂直．

∴以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．

设平面PBC的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1，则n＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，∴d＝＝

故答案为：

3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________.

【答案】

【解析】以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD1B1的法向量n＝，又＝，∴所求距离为＝.

故答案为