考点26 空间向量求空间角（讲解）（解析版）练习题

考点26  空间向量求空间角

【思维导图】

【常见考法】

考法一 线线角

1．在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，

设异面直线与所成角为，

则异面直线与所成角的余弦值为：

．

故选：B．

2．如图，直三棱柱的侧棱长为3，，，点，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，当且仅当，即时等号成立，

即当三棱锥的体积取得最大值时，点，分别是棱，的中点，

方法一：连接，，则，，，，

因为，所以即为异面直线与所成的角，

由余弦定理得，

∴．

方法二：以为坐标原点，以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

所以，

所以异面直线与所成的角为．故选：C

3．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设棱长为1，，，

由题意得：，，

，

又

即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：

4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若点是棱上一点，且，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，

，故

∵，

∴与所成角的余弦值为．

（2）解：设，则，

∵，∴，

即，∴，

又，即，

∴，故，

，∴

考法二 线面角

1．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．

求证：平面BDEF；

求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析.(2) .

【解析】（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，

∵，∴，

又，∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，∴平面.

∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形，，∴，.

∵为等边三角形，∴.

∴，，，，

∴，，.

设平面的法向量为，则，

取，得.设直线与平面所成角为，

则.

2．在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.

（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；

（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）为的中点（2）

【解析】（1）取的中点，连接，因为，设，

则是梯形的中位线，故，因为面面

所以面，同理可证面，

又面，所以面面，

所以面，即为的中点时，面；

（2）因为三角形中，.

所以，由，易知，

所以，又，所以，

以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

所以

.

又.设平面的法向量，

，即，令，则，所求的一个法向量，

设直线与平面所成角为，所以，

故与平面所成角的正弦值为.

3．如图，在中，，，，现沿的中位线将翻折至，使得二面角为.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）因为，，所以，，

，所以平面，

平面，所以.

（2）解法一：取中点，在平面内过作于，

连接，由（1）可知，平面，∴平面平面，

∴平面，∴为与平面所成的角，

由（1）可知

为二面角的平面角，即，

且，∴，

∵，，

∴，

在中，，

在中，，

∵，∴直线与平面所成角的正弦值也为.

解法二：由（1）得平面，因为，所以平面，

以为原点，，分别为，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

设平面的法向量为，

由，即，，

令，则，所以，

设与平面所成角为，

则.

∴直线与平面所成角的正弦值也为.

4．如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；

2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）  .

【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，

由已知得，，平面

又平面BDE，，

又，，平面

2在图2中，，，，即面DEFC，

在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，

由题意得，，由勾股定理可得，则，，

过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，

以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

．

设平面ACD的一个法向量为，

由得,取得，

设，则m，，，得

设CP与平面ACD所成的角为，

．

所以

考法三 二面角

1．已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，于点，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：∵，，∴是中点，

取中点，连，，如下图所示：

则在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四边形为平行四边形，∴//，

又，//，∴四边形为平行四边形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即证.

（2）以为原点，以分别为建立如图所示的空间的直角坐标系.

因为已知该四棱柱为直四棱柱，，，

所以为等边三角形.

因为，所以点是的中点.

故点，，，，

，，.

设平面的法向量为，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

设平面和平面所成锐角为，

则.

即平面和平面所成锐角的余弦值为.

2．如图，已知三棱柱中，平面平面，，.

（1）证明：；

（2）设，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）连接

，平行四边形为菱形，.

平面平面，平面平面，平面，

平面.

，平面，.

又，平面

平面.

平面，.

（2）取的中点为，连接.

由，可知，.又平面，故可知为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图.

则，，，，.

由（1）知，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则.

，，.

令，得，，即.

结合图可知，二面角为钝角，则二面角的余弦值为.

3．在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，是的中位线，为线段的中点.

（1）证明：.

（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.

因为是边长为2的等边三角形，，所以.

因为，故，故.

因为，所以且，所以.

因为，故，所以.

因为，平面,平面，故平面，

因为平面，.

因为，故，所以.

（2）由（1）可得，

所以为二面角的平面角，

因为二面角为直二面角，所以即.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

故，，.

设平面的法向量为，

则即，故，取，则，

所以.

设平面的法向量为，

则即，取，则，

故，

所以，

因为二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.

4．如图1，直角梯形中，，，E、F分别是和上的点，且，，，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60°.

（1）求证：平面；

（2）M为上的点，，若二面角的余弦值为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：在图1中，，，又，所以是矩形，

所以在图2中，，又平面，所以平面，

因为，又平面，所以平面，

又因为，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因为，所以是与所成的角，所以，

∵，，∴平面，故平面平面，作于点O，则平面，，，，

以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

，，，，

设平面的法向量为，

则，取，得.

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

所以，

平方整理得，因为，所以.