考点26 空间向量求空间角的（练习）（解析版）

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考点26  空间向量求空间角【题组一 线线角】1．如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于在等腰三角形与中，，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，所以.依题意设，由于是等腰直角三角形斜边的中点，所以.设异面直线与所成的角为，则，由于，所以.故选：B2．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（    ）A． B． C．- D．【答案】D【解析】直三棱柱中，，，为的中点．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．3．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，，，，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：.4．如图所示，四棱锥中，，，，，点分别为的中点．（1）证明：平面∥平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，∴平面；又，，所以为正三角形，又，，所以，，又，所以，∴平面因为，所以平面平面．（2）如图，取中点，连结，因为，，所以为正三角形，所以，又因为为等腰三角形，所以，所以三点共线，所以，因为，所以，，，所以，所以，，又，所以，所以，又，所以平面．以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为． 【题组二 线面角】 1．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．（Ⅰ）求证：A1OBD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，分别为中点，故可得，故为等腰三角形，又为中点，故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，又平面，故平面，又平面，故.即证.（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，又平面，故可得，又因为//，故可得.综上所述：两两垂直，故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：故可得，则设平面的法向量为，故可得，即，取，可得.故.又，故可得.设直线A1C和平面A1BD所成角为，故可得.则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.2．如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，，即，又为的中点，.又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中点，连接，则.由（1）可知平面，平面.以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，，.，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.设直线和平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.3．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）当时，点是的中点.∴，.∵，∴.∵，，，∴.∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.则，，.取的中点，∵，∴，∴ 易证得平面，∵，∴，∴.∴，，.设平面的一个法向量为，则令，则.设与平面所成的角为，则，解得或（舍去）∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．（1）证明：AE//平面BDC1；（2）若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．求DE与平面BDC1所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，∵E为BC中点，∴∥，又∵D为AA1的中点，∥，，∴∥，∴四边形ADFE为平行四边形，∴AE∥DF，∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，∴AE∥平面BDC1；（2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2t（t＞0），则，所以，故解得，设平面BDC1的法向量为由，得，令，则，又，所以，设DE与平面BDC1所成角为，则，∴DE与平面BDC1所成角的正弦值为.5．如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】Ⅰ）      由已知平面，可得，，由题意得，为直角梯形，如图所示，，所以为平行四边形，所以，所以.又因为，且，所以面，故.在直角梯形中，，因为面，所以，所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，所以.且，所以平面（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.不妨设，，，，设是平面的法向量.满足 ，所以 ，则令 ，解得法二：（等体积法求到平面的距离）设，计算可得， ， ，，解得 【题组三 二面角】1．如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】在中，，所以所以，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面如图，建立空间直角坐标系，则（1）设异面直线与所成的角为，则所以异面直线与所成的角为；（2）是平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，得，取，则，故是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角（锐角）为，则．2．如图，梯形中，，，，、分别是，的中点，现将沿翻折到位置，使（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的正切值；（3）求与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）梯形中，，，，、分别是，的中点，，四边形为平行四边形，，，，所以四边形为正方形，，折叠后，，，，在三角形中，，所以，是平面内两条相交直线，所以面；（2）两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面的法向量为则，解得，令，取由（1）可知，面，取平面的法向量，根据图形，二面角的平面角的余弦值为所以二面角的平面角的正切值为；（3），由（2）可得平面的法向量设直线与平面所成的角为，.所以与平面所成的角的正弦值.3．如图四棱柱中，，，，M为的中点.（1）证明：平面；（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点N，连接，，∵M为的中点，∴且又， ，所以且，所以四边形是平行四边形， 从而，又平面，平面，所以平面. （2）取的中点P，连接，，∵四边形为菱形，又，易知.又面面，面面，∴平面，故，，两两垂直  以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设.则，，，，，，，， 设平面的法向量为，由，得，可得平面的一个法向量， 设平面的法向量为，由，得，可得平面的一个法向量.  ∴  所以二面角的余弦值为.4．已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面①求异面直线与所成角的余弦值；②求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①；②.【解析】（Ⅰ）平行四边形中∵，，由余弦定理可得，由勾股定理可得， 如图，以为原点建立空间直角坐标系 ∴，，，，∴，，∴，，∴，．又，∴平面．又∵平面，∴平面平面． （Ⅱ）∵，∴设∴，．∵平面，∴，∴，∴．∴．①，∴∴异面直线与所成角的余弦值为． ②设为平面的法向量，则可得，设为平面的法向量，则可得，∴，∴二面角的正弦值为．5．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．6．如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点（1）求证：SO⊥平面ABC（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）∵，O为BC的中点，∴，设，则，，，∴，∴，又∵，∴平面ABC．（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．则有，，，，．假设存在点E满足条件，设，则，则．设平面SCE的法向量为，由，得，故可取．易得平面SBC的一个法向量为．所以，，解得或（舍）．所以，当时，二面角的余弦值为．7．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）平面平面，平面平面 ，，，直线平面.  由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，.  依题意，易证：是平面的一个法向量，又， ，又直线平面， . （2） .设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得. 设为平面的法向量，又 ，则，即.不妨设，可得，  ，又二面角为钝二面角，二面角的大小为.  （3）设，则，又，又，即，  ，解得或（舍去）.故所求线段的长为.8．已知在四棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，，为的中点．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面，，，，平面，平面，又平面，.（2）过点作，易知、、两两垂直；以为原点，分别以、、作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图；平面，直线与平面所成角，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即，令，则，设平面的一个法向量为，则即，令，则，，二面角的大小为.