专题20基本不等式（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题20  基本不等式

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常考点归纳

常考点01 不等式性质及其应用

【典例1】

1．（2021年天津卷）设，则a，b，c的大小关系为

A. B. C. D.

2．（2021年新高考2卷）已知，，，则下列判断正确的是（）

A. B. C. D.

【考点总结与提高】

比较大小的常用方法：

（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．

注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.

（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．

注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.

（3）介值比较法：

①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.

②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.

（4）利用单调性比较大小.

（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.

【变式演练1】

1.已知，，，则　　

2．(设，则(    )

A．    B．   C．   D．

常考点02 不等式解法

【典例2】

1．（2021年浙江卷） 设集合，则 （     ）.

 A．    B．  C． D．

2．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：

（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；

（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；

（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；

（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

【变式演练2】

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．记全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略

【典例3】

1．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2.已知不等式的解集为，则的取值范围是________

【考点总结与提高】

解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：

（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果.

（2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.

（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即

①若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);

②若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或);

③若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.

（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．

【变式演练3】

1已知不等式的解集为，则___，____

2.已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

常考点04 基本不等式应用

【典例4】

1．（2021年浙江卷）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是　  　．

2．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（   ）

A．  B．

C．  D．

【考点总结与提高】

利用基本不等式求最值的常用技巧：

（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.

①拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．

②并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．

③配——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.

（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.

【变式演练4】

1．已知，则“对任意，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知，，，则的最小值为（　　）

A．20 B．24 C．25 D．28

常考点05 线性目标函数的最值问题

【典例5】

1．（2021年全国乙卷文）若，满足约束条件则的最小值为

A．18    B．10     C．6     D． 4

2． 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（     ）.

 A． B．  C．   D．

【考点总结与提高】

1．平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.

2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值.

求解时需要注意以下几点：

（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.

（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.

（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.

【变式演练5】

1．（2021年上海卷）已知，，则的最大值为___________．

2．若满足约束条件，则的最小值为____________.

【冲关突破训练】

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若实数、满足不等式组，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若，，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．设，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．

6.若正数a，b满足，则的最小值为

A．1     B．6     C．9     D．16

7．对任意实数，在以下命题中，正确的个数有（    ）

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则

A． B． C． D．

8.下列不等式一定成立的是

A． B．

C． D．

9．已知实数x，y满足约束条件，则z＝y﹣3x的最大值为_______

10．已知，，则的取值范围是___________.

11．已知，，且，则的最小值为______．

12．若函数的定义域为，则实数的取值范围是________