2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．（5分）若集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，满足，那么的最大值为　　

A． B． C．0 D．1

3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（5分）设是单位向量，是非零向量，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）设，分别为直线为参数）和曲线为参数）上的点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？

已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有　　

A．21斛 B．34斛 C．55斛 D．63斛

8．（5分）设点，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的值可以是　　

A． B．3 C．5 D．8

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）已知复数满足是虚数单位），则复数的共轭复数　　．

10．（5分）已知点为抛物线的焦点，则点坐标为　　；若双曲线的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是　　．

11．（5分）已知展开式中的系数为21，则实数的值为　　．

12．（5分）能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点的坐标为　　．

13．（5分）已知函数若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是　　．

14．（5分）已知函数其中，且．

当时，若（2），则实数的取值范围是　　；

若存在实数使得方程有两个实根，则实数的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（13分）若的面积为，，且为锐角．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

16．（14分）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：

满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．

假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．

（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；

（Ⅱ）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；

（Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户满意，“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户不满意．写出方差，，，，的大小关系．

18．（13分）已知椭圆过点，离心率为．记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若线段的垂直平分线与轴交于点，，求的取值范围．

19．（13分）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

20．（14分）已知集合，，，，．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和．

（Ⅰ）写出，的值；

（Ⅱ）数列中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；

（Ⅲ）数列中，对于任意，存在，有．求使得成立的的最小值．

2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

【解答】解：，，或；

．

故选：．

【解答】解：由约束条件作可行域如图，

由，得，要使最大，则直线在轴上的截距最小，

由图可知，当直线过可行域内的点时直线在轴上的截距最小．

的最大值为．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，

，

不满足条件，，

不满足条件，，

满足条件，退出循环，输出的值为3．

故选：．

【解答】解：是单位向量，是非零向量，则，

故“”是“”的充分必要条件，

故选：．

【解答】解：，分别为直线为参数）和曲线为参数）上的点，

直线的普通方程为，曲线的普通方程为，

曲线是以为圆心，以为半径的圆，

圆心到直线的距离，

的最小值为：．

故选：．

【解答】解：数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，

由，

，

，

由于可得，

故选：．

【解答】解：设圆锥的底面半径为，则，

解得，

故米堆的体积为 ，

斛米的体积约为1.62立方，

，

故选：．

【解答】解：由椭圆，得，，则．

，，

设，，则，，，

由，得，，，即①，

又点在椭圆上，②，

联立①②，得．

要使成立的点恰好是4个，则．

则．

实数的值可以是3．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

【解答】解：由，得，

．

故答案为：．

【解答】解：点为抛物线的焦点，，即，

由焦点坐标，，即有，

双曲线的一个焦点与点重合，

可得，可得，

即有双曲线的方程为，

可得渐近线方程为．

故答案为：，．

【解答】解：展开式中的通项公式，

令，解得．

，解得．

故答案为：．

【解答】解：点与点在直线的同侧，

则，

，

不能得出，

当点的坐标为时，是假命题．

故答案为：或，，，，（答案不唯一）．

【解答】解：由  ，则，，存在唯一的实数，使

即，，有且仅有一个解，

作函数图象与直线，，，

当两图象只有一个交点时，由图知，，

故实数的最大值是，

故答案为：．

【解答】解：（1）当时，，

则（2），

①当时，解不等式，解得：，

②当时，解不等式，解得：，

综合①②得：

实数的取值范围是：，

（2）①当时，由图一知，

存在直线与有两个交点，

即满足题意，

②当时，由图二知，当时，

存在直线与有两个交点，

即即

综合①②得：

实数的取值范围是为：或，

故答案为：，，，

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【解答】解：（Ⅰ）因为的面积为，，

所以，

所以．

因为中，为锐角，

所以．（6分）

在中，由余弦定理，，

所以．

由正弦定理，

所以．

所以．（13分）

【解答】（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ） 在五面体中，因为四边形是矩形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．（4分）

（Ⅱ） 取的中点，的中点，连接，．

因为四边形是矩形，所以．

因为，是的中点，所以，且．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面．

如图，建立空间直角坐标系，依题意得，0，，，4，，，2，．

所以，平面的法向量为，1，．

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．（9分）

（Ⅲ） 由，4，，得．

设平面的法向量为，，，则有即

令，则，1，．

因为平面的法向量为，1，，

所以．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（14分）

【解答】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是，

满意的客户人数，

故所求概率为．                              （4分）

（Ⅱ），1，2．

设事件为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，

事件为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件．

根据题意，（A）估计为0.5，（B）估计为0.2．

则，

，

（A）（B）．

的分布列为

的期望．（11分）

（Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户满意，

“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户不满意．

方差，，，，的大小关系为：．                       （13分）

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知解得

故椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）依题意，，直线的方程．

联立方程组消并整理得，

△，

设，、，，故，，

设的中点为，则．

因为线段的垂直平分线与轴交于点，，

①当时，那么；

②当时，，即．

解得．

因为，所以，，即．

综上，的取值范围为．

【解答】解：函数的定义域为．

当时，．

，

，且（1）．

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．

若恒成立，即恒成立．

设．只要即可；

．

①当时，令，得．

，，变化情况如下表：

所以（1），故满足题意．

②当时，令，得（舍，或；

，，变化情况如下表：

所以（1），得．

③当时，存在，满足，所以不能恒成立，所以不满足题意．

综上，实数的取值范围为，．

【解答】解：集合，，5，7，9，，，，

，，2，4，8，16，，，，

，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，，

因为，且对于任意，，，

所以，，，，，，，；

对于任意，，有，

所以对于任意，，有，即数列为单调递增数列．

因为对于任意，存在，使，

所以，

因为，，所以对于任意，

有，，，

所以当时，有，

即，，

，，

，

所以当时，有，

所以．

又，，

数列的通项公式为；

若任意，存在，有，

令，，解得，即，

得，其中表示不超过的最大整数，

所以，．

，

依题意，

，

即，

．

当时，即时，，不合题意；

当时，即，3时，，不合题意；

当时，即时，，不合题意；

当时，即时，，不合题意；

当时，即时，，不合题意；

当时，即时，

由，

此时．

而时，．所以．

又当时，；

所以．

综上所述，符合题意的的最小值为．

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日期：2019/12/17 21:25:50；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267