专题14 圆锥曲线中的一类定点问题 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案
展开结论十四:圆锥曲线中的一类定点问题
结
论
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点-(a2-b2)aa2+b2,0.
(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2+b2)aa2-b2,0.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为-(a2+b2)aa2-b2,0.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则直线AB过定点(0,2p).
解
读
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时,要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性,常用特殊值法先确定定点,再转化为有目标的一般性证明,从而达到解决问题的方法。
典
例
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”,设直线交抛物线于,两点,若,恰好是 的“勾”“股”(为坐标原点),则此直线恒过定点( )
A.B.C.D.
解
析
反
思
由题意知,所以,即,设直线的方程为,,,联立直线与抛物线的方程由韦达定理得出,,代入化简得直线的方程即可求出所过的定点.
本题的关键点是由,恰好是 的“勾”“股”(为坐标原点),得出,设直线的方程为,,。即,联立方程,结合韦达定理即可求解.
针对训练*举一反三
1.已知抛物线,过点引抛物线的两条弦、,分别交抛物线于两点,且,则直线恒过定点坐标为( )
A.B.C.D.
2.定义:若点在椭圆上,则以 为切点的切线方程为:.已知椭圆 ,点为直线上一个动点,过点作椭圆的两条切线 ,,切点分别为,,则直线恒过定点( )
A.B.C.D.
3.已知点在抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则直线一定过点( )
A.B.12,0C.D.
4.已知直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于,两点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点,则点的坐标为( )
A.B.
C.D.
5.已知双曲线,点,在双曲线上任取两点、满足,则直线恒过定点__________;
6.已知抛物线的焦点为,是上一点,且,设点是上异于点的一点,直线与直线交于点,过点作轴的垂线交于点则直线过定点,定点坐标为__________.
7.已知椭圆的离心率为,短轴长为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线,分别交椭圆于两点(异于),当直线,的斜率之和为4时,直线恒过定点,求出定点的坐标.
8.双曲线:的左右顶点分别为,,动直线垂直的实轴,且交于不同的两点,直线与直线的交点为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作的两条互相垂直的弦,,证明:过两弦,中点的直线恒过定点.
9.已知抛物线:()上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线与抛物线交于不同两点,若满足,证明直线恒过定点,并求出定点的坐标.
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专题11 圆锥曲线的切线问题 -高中数学必备考试技能(解析版)学案: 这是一份专题11 圆锥曲线的切线问题 -高中数学必备考试技能(解析版)学案,共4页。
专题11 圆锥曲线的切线问题 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案: 这是一份专题11 圆锥曲线的切线问题 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案,共3页。