专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学必备考试技能（原卷版）学案

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结论六：三角形“四心”向量形式的充要条件
结
论
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA.
(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.
O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.
解
读
三角形“四心”向量形式的充要条件直接来记忆一是难记，二是容易混淆；所以对于这四个结论的应用要以图形为基础进行理解，若用到时再推导即可。
典
例
设点是的重心，且满足，则_______。
解
析
反
思
解决本题的关键是三角形重心的性质及平面向量线性运算的应用，结合余弦定理即可得解.由重心的性质及平面向量的线性运算可得，进而可得，再由余弦定理即可得解.
针对训练*举一反三
1．（多选题）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数（ ）
A．3B．2C．D．
4．过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设＝h·，＝k，则＝____．
5．已知点G是的重心，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则角__________.
6．在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对________.
7．在锐角ABC中，，若点P为ABC的外心，且，则x＋y的最大值为________．