2022年中考数学二轮复习专题《圆的性质及其证明与计算》练习册 (含答案)

这是一份2022年中考数学二轮复习专题《圆的性质及其证明与计算》练习册 (含答案)，共14页。

1. (2017钦州模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是( )
A. 20° B. 35° C. 130° D. 140°
第1题图
2. (2017四市联考模拟)如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点M，M是AB的中点，点P在eq \(AD,\s\up8(︵))上，PC与AB交于点N，∠PNA＝60°，则∠PDC等于( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

第2题图 第3题图
3. (2017福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )
A. ∠ADC B. ∠ABD
C. ∠BAC D. ∠BAD
4. 如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∠CAB＝24°，则∠ABD的度数为( )
A. 24° B. 60° C. 66° D. 76°
第4题图
5. 如图，点O为坐标原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，⊙D过A、B、O三点，点C为eq \(ABO,\s\up8(︵))上的一点(不与A，O两点重合)，连接OC，AC，则csC的值为( )
A. eq \f(3,4) B. eq \f(3,5) C. eq \f(4,3) D. eq \f(4,5)
第5题图
6. (2017广东省卷)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为( )
A. 130° B. 100° C. 65° D. 50°
第6题图
7. (2017陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )
A. 5 B. eq \f(5\r(3),2) C. 5eq \r(2) D. 5eq \r(3)
第7题图
8. (2017潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 80° D. 85°
第8题图
9. (2017遂宁)如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为( )
A. 3eq \r(3) B. 3 C. 6eq \r(3) D. 6
第9题图
10. 如图，AB为⊙O的直径，弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，EB＝3，则弦AC的长为( )
A. 3eq \r(3) B. 4eq \r(3) C. 5eq \r(3) D. 6eq \r(3)
第10题图
11. (2017桂林模拟)如图是一个高速公路隧道的横截面，它的上部是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，弓高CD＝8米，则此圆的半径OA为________米．
第11题图
12. (2017北京)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).若∠CAB＝40°，则∠CAD＝_______°.

第12题图 第13题图
13. (2017南京)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝________°.
14. (2017凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．
第14题图
15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.
(1)若BE＝8，求⊙O的半径；
(2)若∠M＝∠D，求线段OE的长．
第15题图
16. (2017台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
第16题图
能力提升拓展
1. (2017德阳)如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于( )
A. eq \r(3) B. eq \r(2) C. 1 D. eq \f(\r(3),2)
第1题图
2. (2016丽水)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是eq \(AC,\s\up8(︵))上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝eq \f(4,5)，则AE的长是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2
第2题图
3. (2017广安)如图， AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cs∠CDB＝eq \f(4,5)，BD＝5，则OH的长度为( )
A. eq \f(2,3) B. eq \f(5,6) C. 1 D. eq \f(7,6)
第3题图
4. (2017东营)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD，BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO. 其中正确结论的序号是________
第4题图答案
基础达标训练
1. D
2. C 【解析】∵CD是⊙O的直径，∴∠CPD＝90°，∵M是AB的中点，∴CD⊥AB，∵∠MNC＝∠PNA＝60°，∴∠PCD＝30°，∴∠PDC＝60°.
3. D 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＋∠BAD＝90°，即∠BAD与∠ACD互余，故选D.
4. C 【解析】如解图，连接AD，∵eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠DAB＝
∠CAB＝24°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－24°＝66°.
第4题解图
5. D 【解析】如解图，连接AB，∵点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，∴AO＝3，BO＝4，∴AB＝5，∵∠C＝∠OBA，∴csC＝cs∠OBA＝eq \f(BO,AB)＝eq \f(4,5).
第5题解图
6. C 【解析】∵∠ABC＋∠CBE ＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠CBE＝∠ADC，又∵∠CBE＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝eq \f(1,2)(180°－∠ADC)＝65°.
7. D 【解析】∵∠C＝30°，∴∠APB＝30°，∵PB＝AB，∴
∠PAB＝∠APB＝30°，如解图，连接OA、OB、OP，OB交AP于点H，可得OA＝OB＝OP＝5，∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∠BOP＝2∠BAP＝60°，∴△OAB和△OBP是等边三角形，∴OA＝AB＝BP＝OP＝5，∴四边形OABP是菱形，∴∠OHA＝∠OHP＝90°，OH＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(5,2)，∴AH＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(5\r(3),2)，∴AP＝2AH＝5eq \r(3).
第7题解图
8. C 【解析】∵∠GBC＝50°，∴∠ABC＝130°，由圆内接四边形对角互补得，∠ADC＝50°，如解图，连接AC，根据垂径定理知，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DAC＝80°.
第8题解图
9.C 【解析】∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＋∠BAC＝180°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBC＝30°.如解图，作OH⊥BC于点H，则BH＝CH，∵OB＝6，∠OBC＝30°，∴BH＝OB·cs∠OBC＝3eq \r(3)，∴BC＝2BH＝6eq \r(3).
第9题解图
10. D 【解析】∵弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，∴
∠ABC＝60°，在Rt△BCE中，BC＝2EB＝6，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC＝BC·tan60°＝6×eq \r(3)＝6eq \r(3).
11. 5 【解析】设半径OA为r米，则OD＝(8－r)米，易知AD＝eq \f(1,2)AB＝4米，在Rt△OAD中，r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5，∴此圆的半径OA为5米．
12. 25 【解析】如解图，连接DO，CO，∵∠CAB＝40°，AO＝CO，∴∠AOC＝100°，∵eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，∴∠COD＝∠AOD＝50°，∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠COD＝25°.
第12题解图
13. 27 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝78°，∴∠ACB＝eq \f(1,2)∠DCB＝eq \f(1,2)(180°－∠D)＝51°，∵四边形AECD内接于⊙O，∴
∠AEB＝∠D＝78°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACE＝78°－51°＝27°.
14. 4eq \r(3) 【解析】如解图，连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠BOF＝60°，∵OB＝4，∴BF＝OB·sin∠BOF＝4×
sin60°＝2eq \r(3)，∴BD＝2BF＝4eq \r(3).
第14题解图
15. 解：(1)设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r－8，
∵CD⊥AB，CD＝24，
∴DE＝eq \f(1,2)CD＝12，
在Rt△ODE中，OD2＝OE2＋DE2，
即r2＝(r－8)2＋122，
解得r＝13，
即⊙O的半径为13；
(2)∵∠DOE＝2∠M，∠M＝∠D，
∴∠DOE＝2∠D，
∴∠D＝30°，
∴在Rt△OED中，OE＝DE·tan30°＝12×eq \f(\r(3),3)＝4eq \r(3).
16. (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠PBA＝45°，
∴∠PEA＝∠PBA＝45°，
∵PE为⊙O的直径，
∴∠PAE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形；
(2)解：∵∠PAE＝∠CAB＝90°，
∴∠CAB－∠PAB＝∠PAE－∠PAB，
∴∠CAP＝∠BAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
又由(1)得△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝AE，AC＝AB，
∴△CAP≌△BAE(SAS)，
∴CP＝BE，
∵PE为⊙O的直径，
∴∠PBE＝90°，
在Rt△PBE中，BE2＋PB2＝PE2＝4，
∴PC2＋PB2＝4.
能力提升拓展
1. A 【解析】如解图，连接OB、OC，过点O作BC的垂线，交BC于点H，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，由垂径定理知，OH垂直平分BC，在Rt△BOH中，∠BOH＝60°，OB＝2，则BH＝eq \r(3)，∴BC＝2eq \r(3)，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(3).
第1题解图
2. C 【解析】∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠D＝∠C＝90°，∵∠DAE＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AD,BC)，∵BC＝4，AD＝eq \f(4,5)，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AD,BC)＝eq \f(1,5).设AE＝x，则CE＝4－x，BE＝5x，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＋BC2＝BE2，即(4－x)2＋42＝(5x)2，解得x1＝1，x2＝－eq \f(4,3)(舍去)，∴AE＝1.
3. D 【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，点H是CD的中点，∴AB⊥CD，在Rt△BDH中，∵cs∠CDB＝eq \f(4,5)，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝ SKIPIF 1 < 0 ＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3，在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2，∴(x＋3)2＝x2＋4 SKIPIF 1 < 0 2，解得x＝eq \f(7,6)，即OH＝eq \f(7,6).
第3题解图
4. ①②③ 【解析】∵OC⊥AB，OC＝OA，∴∠OAC＝45°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝45°，∴∠BOD＝∠COD＝45°，∴OD平分∠BOC，故①正确；∵∠BOD＝∠COD，∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，∴BD＝CD，故②正确；如解图，连接BC，易得∠CBA＝45°，由同弧所对圆周角相等，得∠ADC＝∠CBA＝45°，∴∠EDC＝∠DOC，∵
∠ECD＝∠DCO，∴△ECD∽△DCO，∴eq \f(EC,CD)＝eq \f(CD,CO)，即CD2＝CE·CO，故③正确，综上所述，正确的结论为①②③.
第4题解图