题型五 圆的相关证明与计算 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型五 圆的相关证明与计算

类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练）

1.如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；

（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．

【详解】

（1），

，

，

，

，

，

是直径，

，

，

是的切线；

（2），

，

，

设，则，

，，

在中，，

即，

解得（舍去），

．

【点睛】

本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．

2.如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）已知，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；

（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出，继而运用相似比即可求出的长．

【详解】

解：（1）证明：∵是的直径

∴（直径所对的圆周角是直角）

即

∵

∴（等边对等角）

∵

∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）

∴

∵，

∴

∴即

∴

又∵是的直径

∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．

（2）解：∵，

∴

∵，

∴（两个角分别相等的两个三角形相似）

∴，

∴

∴．

【点睛】

本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

3.如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．

（1）求证：CF是的切线；

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）5

【分析】

（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线；

（2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．

【详解】

（1）证明：，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，，

，

，

AB是的直径，

，

又，

，

，

，

即CF是的切线；

（2）CF是的切线，，

，

，

，

又，

在中，，

设的半径为x，则，，

在中，，

解得：，

的半径为5．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．

4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5

【分析】

（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；

（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．

【详解】

（1）证明：如图1，连接OC，

∵，

∴，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴

又

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE为⊙O的切线；

（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，

∵，

∴四边形OGEC是矩形，

∴，

设⊙O的半径为x，

Rt△CDE中，，

∴，

∴，，

由勾股定理得，

∴，

解得：，

∴⊙O的半径是4.5．

【点睛】

本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

5.如图，ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；

（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．

【详解】

解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，

∵AB=AC，△ABC内接于⊙O，

∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，

∴∠BAE=∠CAE，

又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，

∴∠BAD+∠BAE=×180°=90°，

即AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切线；

（2）连接OB，

∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，

∴△AOD∽△EOC，

∴，

由（1）可知是的对称轴，

垂直平分，

，

设半径为，在中，由勾股定理得，

，

，

解得（取正值），

经检验是原方程的解，

即，

又，

是等边三角形，

，，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．

6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．

（1）求证：BD与⊙O相切；

（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）如图1，延长至，证明，即可根据切线的判定可得与相切；

（2）如图2，连接，先根据圆周角定理证明，再证明，列比例式可得，即的半径为4，根据勾股定理可得的长．

【详解】

（1）证明：如图1，延长至，

，

，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

∴AB⊥BD，

与相切；

（2）解：如图2，连接，

平分，

，

，

∴∠AOF＝∠BOF＝90°，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明．

7.如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．

【答案】（1）见详解；（2）．

【分析】

（1）由题意，先证明OA是∠BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；

（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出，，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F的值．

【详解】

解：（1）∵DF∥AC，

∴∠CAO=∠F，

∵∠OAB＝∠F，

∴∠CAO=∠OAB，

∴OA是∠BAC的角平分线，

∵AD是⊙O的切线，

∴∠ABO=∠ACO=90°，

∴BO=CO，

又∵AC⊥OC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）由题意，

∵OC＝3，DE＝2，

∴OD=5，OB=3，CD=8，

∴，

由切线长定理，则AB=AC，

设，

在直角三角形ACD中，由勾股定理，则

，

即，

解得：，

∴，，

∵∠OAB＝∠F，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．

8.如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．

（1）求证：是的切线；

（2）若的直径为5，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．
（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．

【详解】

（1）证明：连接，

，

．

在中，是斜边上的中线，

，

，

，

，

，，

是的切线． 

（2）连接，易知，

由（1）可知，故M为的中点，

，

，

在中，，

．

在中，，

．

【点睛】

本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

9.如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所任圆的切线，与的延长线相交于点，

求证：；

若求平分．

【答案】证明见解析；证明见解析．

【解析】

【分析】

利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；

利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．

【详解】

证明：

为直径，

．

证明：

为半圆的切线，

平分．

【点睛】

本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．

10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；

（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．

【详解】

解：（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAE＝∠OAD，

∴∠ADO＝∠DAE，

∴OD∥AE，

为⊙的直径，

∵DE∥BC，

∴∠E＝ 90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OF＝1，BF＝2，

∴OB＝3，

∴AF＝4，BA＝6．

∵DF⊥AB，

∴∠DFB＝90°，

∴∠ADB＝∠DFB，

又∵∠DBF＝∠ABD，

∴△DBF∽△ABD，

∴，

∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．

∴BD＝

【点睛】

本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．

11.如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

（1）求证：DP是⨀的切线；

（2）若AC=5，,求AP的长．

【答案】（1）见解析；（2）AP=．

【解析】

【分析】

（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；

（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.

【详解】

解：（1）证明：连接OP；

∵OP=OA;

∴∠1=∠2；

又∵P为的中点；

∴

∴∠1=∠3；

∴∠3=∠2；

∴OP∥DA；

∵∠D=90°；

∴∠OPD=90°；

又∵OP为⨀O半径；

∴DP为⨀O的切线；

（2）连接BC，交于OP于点G；

∵AB是圆O的直径；

∴∠ACB为直角；

∵

∴sin∠ABC=

AC=5,则AB=13,半径为

由勾股定理的BC=，那么CG=6

又∵四边形DCGP为矩形；

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

在Rt△ADP中，AP=.

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.

12.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

【分析】

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；

（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，

∴∠A＝∠ECB，

∵∠BCE＝∠BCD，

∴∠A＝∠BCD，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠A＝∠BCE，

∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，

设BC＝k，AC＝2k，

∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，

∴△ACD∽△CBD，

∴＝＝，

∵AD＝8，

∴CD＝4．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．

13.如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．

【详解】

解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）因为直径，则

∵，

∴OB=3

∴，

∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B

∴△DBF∽△ABD

∴

∴

所以．

【点睛】

本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．