模块综合练01 不等式、推理与证明-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

模块综合练01不等式、推理与证明

一、单选题

1．（2021·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）若 ，则有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

【答案】A

【分析】

将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.

【详解】

因，则，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以当时，有最大值.

故选：A

2．（2021·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）若实数满足，则点不可能落在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】

作出给定的不等式组表示的平面区域，观察图形即可得解.

【详解】

因实数满足，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分，

观察图形知，阴影区域不过第二象限，即点不可能落在第二象限.

故选：B

3．（2021·广州市·广东实验中学高二期中）下列命题说法正确的是（    ）

A．函数的最小值为2；

B．，；

C．“”是“”的充分不必要条件；

D．在锐角中，必有；

【答案】D

【分析】

根据基本不等式适用的条件可判断A；根据特称命题的真假可判断B；利用充分条件、必要条件的定义可判断C；利用诱导公式可判断D.

【详解】

A，函数，

等号成立的条件是，此时无解，故A错误；

B，因为，，

所以恒成立，故B错误；

C，“”推不出“”，反之成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误；

D，因为在锐角中，，

有，

所以，即，

同理，故，故D正确.

故选：D

4．（2021·全国高三其他模拟（理））若实数满足不等式组，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意作出可行域，然后结合图形得到，然后分类讨论和两种情况，当时参变分离再数形结合即可求解.

【详解】

作出可行域，如图：

其中,

因为恒成立，结合图形知，

所以当时，恒成立；

当时，则恒成立，即，

而表示可行域内的点与所形成的直线的斜率的相反数，

因此当直线经过点时，最大，此时，所以，

故选：A.

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知实数满足则下列不等关系中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

构造函数，求导分析单调性可判断A，B；构造函数根据单调性可判断C，D．

【详解】

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调减，在上单调增，因为，故与大小不定，所以A，B错；

设 ，则，当时，

所以在上单调增，因为，所以，则

得，故D正确．

故选：D

6．（2021·全国高三其他模拟）某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（    ）

A．书法、健美操、棋类 B．健美操、书法、棋类

C．棋类、书法、健美操 D．棋类、健美操、书法

【答案】B

【分析】

通过分析得到乙选择了书法，再分析得到丙选择棋类，即得解.

【详解】

乙比选棋类的人个头高，所以乙没有选择棋类，

因为丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，所以乙选择了书法，

所以排除AD,

因为乙的个头比甲小，

所以丙比乙的个头小，

所以丙选择棋类，甲选择健美操.

故选：B

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（    ）.

A．是单调递增数列，是单调递减数列

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

设，则有， ，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.

【详解】

∵，，

∴，，，

设，，，则，

令，则，∴单调递增，

将，看作是函数图象上两点，则，

∴数列，都是单调数列，

，同理，，，即，，

∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，

∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；

由得，

要证，即证，即，即证，

也即要证，等价于，

显然时，，时，，故成立，

∴不等式成立．B正确；

欲证，只需证，即

即，显然成立，

故，所以，

故C选项错误；

欲证，因单调性一致则只需证，只需证

因为，若，则；

又因为，若，则，

由数学归纳法有，则成立

故D选项正确。

故选：C

【点睛】

本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明．旨在考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，逻辑推理能力，抽象与概括能力．属于难题.

8．（2020·全国高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数．现从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数，则这3个数恰好都是三角形数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据图形，归纳出三角形数从小到大可构成数列，且，，然后利用组合知识以及古典概型概率公式求解即可.

【详解】

由题意可得，三角形数从小到大可构成数列，且，．

从1到50这50个整数中，所有的三角形数依次为1,3，6，10，15，21，28，36，45，

共9个图形．

因此从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数的所有方法种数为，

其中这3个数恰好都是三角形数的取法种数为．

由古典概型的概率公式，可得概率．

【点睛】

本题主要考查归纳推理的应用，考查了古典概型概率公式，同时考查了数形结合思想以及特殊与一般思想的应用，属于中档题.

9．（2020·全国高三专题练习）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由算筹含义直接求解

【详解】

根据各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，

十位、千位、十万位数用横式表示，知8771用算筹可表示为，

故选：A.

【点睛】

本题容易，只需找出规律即可求解.

10．（2020·全国高三专题练习）分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，，，且，则的近似值为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将，，代入，结合化简计算可得出的近似值.

【详解】

.

故选：D.

【点睛】

本题考查的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题

11．（2020·全国高三专题练习）设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．

【答案】[0，1]

【分析】

分别求出的范围，再根据是的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组

【详解】

由得，得.

由，得，

得，

若p是q的充分不必要条件，

则，得，得，

即实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.

12．（2021·全国高三其他模拟）已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为________．

【答案】4

【分析】

由递推关系结合基本不等式的性质，得，此时时等号成立，；再由条件，求得首项的最小值.

【详解】

设等比数列的公比为，，因为，，所以由基本不等式得，，

所以，当且仅当，即时等号成立．

则，

所以，即的最小值为4．

故答案为：4

【点睛】

关键点点睛：利用基本不等式得到，进而利用等比数列的通项公式求解的最小值．

13．（2021·全国高二专题练习）已知在处取得极值，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】

根据在处取得极值，求出，由基本不等式“1”的应用代入求最小值.

【详解】

，因为在处取得极值，所以，即，所以.

所以，当且仅当时取等号.把，代入检验得，是的极值点，故的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】

易错点睛：在处取得极值，则有，反之，若，则在处不一定取得极值.所以已知极值点求参数需检验.

14．（2021·全国高一课时练习）若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是__________

【答案】

【分析】

根据题意可知，利用基本不等式求得的最小值，再解分式不等式即可得出答案.

【详解】

若对任意满足的正数，都有成立，

则，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

所以，即，即，解得或，

所以实数x的取值范围是.

故答案为：.

15．（2021·全国高二单元测试）已知x＞1，观察下列不等式：

…

按此规律，第n个不等式为_________．

【答案】

【分析】

从每个不等式左边单项式的指数和分式分母的特征，右边整数的特征进行归纳推理即可.

【详解】

…

按此规律，第n个不等式为：，

故答案为：

16．（2021·全国高二课时练习（理））观察下列各式：

，

，

，

，

……

照此规律，当时，_________________．

【答案】

【分析】

根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解.

【详解】

由已知等式观察，等式右边为形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，

照此规律，当时，．

故答案为：.