考点02 等比数列-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02等比数列

一、单选题

1．（2020·贵州高二学业考试）已知成等比数列，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

根据等比中项求解即可

【详解】

解：因为成等比数列，所以，即，所以

故选：A

2．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））等比数列的公比，其中为i虚数单位，若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用等比数列的定义结合复数的运算可求得.

【详解】

由已知条件可得.

故选：D.

3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，且，则公比（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】B

【分析】

由题得，解方程即得解.

【详解】

由得，

又，∴，

即，

∴或(舍去).

故选：B

4．（2021·江西九江市·高三三模（理））已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ）

A． B．9 C． D．27

【答案】D

【分析】

利用等比数列前项和公式，结合，求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】

设该等比数列的公比为，

当时，因为，，所以有，

所以，

当时，，显然不成立，

故选：D

5．（2021·江西高三其他模拟（理））已知数列为等比数列，公比为．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题中条件建立关于的等式，由此可解得的值.

【详解】

由题意得，，，可得，解得.

故选：C．

6．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知等差数列的前项和为；等比数列的前项和为，且，，则（    ）

A．13 B．25 C．37 D．41

【答案】C

【分析】

先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出公差和公比，再由等差数列与等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

因为，，

所以，解得，

因此.

故选：C.

7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.

【详解】

设等比数列的公比为q，则，所以，又，

所以，

故选：A.

8．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.

【详解】

设等比数列公比为，则，又，

∴，故，

又，即.

故选：C

9．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））一组样本容量为10的样本数据构成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，则此样本数据的平均数和中位数分别是（    ）

A．13，12 B．12，13 C．14，13 D．13，13

【答案】D

【分析】

先由条件得出，求出，再求前10项的和，可得平均数，由中位数为可得答案.

【详解】

解：根据题意，设等差数列的公差为，则，解得，

所以，所以样本数据的平均数为，

样本数据的中位数为.

故选：D.

10．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】

由已知条件可求出公比，由，结合等比数列的求和公式即可求出.

【详解】

解：设公比为，因为，所以，解得或，

当时，，解得；

当时，，无解，

故选:B.

11．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】C

【分析】

利用等比数列的性质计算．

【详解】

因为是正项等比数列，所以，（舍去），

．

故选：C．

12．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．27 B．32 C．64 D．81

【答案】B

【分析】

设数列的公比为，由等比数列的前项和公式与通项公式表示出等式求得后可得．

【详解】

设数列的公比为，显然，即

，

故选：B．

13．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）

A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线

【答案】C

【分析】

首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】

由题意得，即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或，

其中为双曲线，为直线.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

14．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】

取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.

【详解】

在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.

15．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【分析】

利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．

【详解】

设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

【点睛】

本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．

16．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

【答案】4

【分析】

根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解.

【详解】

因为为等比数列，且公比为，

所以，且，.

因为，，成等差数列，

所以，

有，，

解得.

故答案为：.

17．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

【答案】.

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．