2017年苏州市高新区二中中考二模数学试卷

这是一份2017年苏州市高新区二中中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 比 1 小 2 的数是
A. −1B. 1C. −2D. 12

2. 长江是中国第一长河，世界第三长河，中国科学院利用卫星遥感影像测量计算，测出长江长度为 6397000 米．6397000 这个数字用科学记数法表示为
A. 6.397×104B. 6.397×105C. 6.397×106D. 6.397×107

3. 下列运算正确的是
A. a3+a3=a6B. a−b2=a2−b2
C. −a32=a6D. a12÷a2=a6

4. 如图，已知 a，b，c，d 四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110∘，则 ∠2 等于
A. 50∘B. 70∘C. 90∘D. 110∘

5. 将直线 y=−2x 向下平移两个单位，所得的直线是
A. y=−2x+2B. y=−2x−2
C. y=−2x−2D. y=−2x+2

6. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 C，若半径为 5，OD=3，则弦 AB 的长为
A. 5B. 6C. 7D. 8

7. 二次函数 y=x2−2x−1 的图象的顶点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 在坐标系中，已知四个点，坐标分别为 A11,0，A22,0，B10,1，B20,2，在 A1，A2 和 B1，B2 中分别各取一个点，与原点 O 连接构成三角形，则所得三角形是等腰三角形的概率是
A. 34B. 13C. 23D. 12

9. 若关于 x 的方程 4x−m+2=3x−1 的解为正数，则 m 的取值范围是
A. m>−1B. m>−3C. m>3D. m<3

10. 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70∘，则 ∠DAO+∠DCO 的度数是
A. 130∘B. 140∘C. 150∘D. 160∘

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 函数 y=x+1 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 一元二次方程 x2x−1=x 的解是 ．

13. 因式分解：a2−4= ．

14. 一组数据：3，4，5，6，6，6 的众数是 ．

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 两点在 ⊙O 上，若 ∠BCD=40∘，则 ∠ABD 的度数为 ∘．

16. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AB=10，点 D 在 AB 边上，且 CD=BD，则 CD 的长为 ．

17. 如图，Rt△ABC 放置在第二象限内，AC⊥x 轴，已知 ∠ABC=90∘，OC=3，OB=4．则点 A 的纵坐标是 ．

18. 如图，正方形 OABC 的边长为 4，以 O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点 A，连接 AE，CF 相交于点 P，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点 O 逆时针旋转 90∘，交点 P 运动的路径长是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：9+−2−2−10．

20. 解不等式组 2x+4≥0,x−32+3>x+1.

21. 先化简，再求值：
a−1a÷a−2a−1a, 其中 a=2．

22. 解方程：6x2−1−3x−1=1

23. 如图，已知 △ABC 中，AB=AC，把 △ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到 △ADE，连接 BD，CE 交于点 F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若 AB=2，∠BAC=45∘，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长．

24. 教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于 1 小时，为了解学生户外活动的情况，随机地对部分学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查的学生人数为 ．
（2）若我市共有初中生约 14000 名，试估计我市符合教育行政部门规定的活动时间的学生人数；
（3）试通过对抽样数据的分析计算，说明我市初中生参加户外活动的平均时间是否符合教育行政部门的要求?

25. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，在地面 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为 45∘，从 C 点向外走 2 米到 D 点处，（B，C，D 三点在同一直线上）测得旗杆顶部 A 点的仰角为 30∘，求旗杆 AB 的高度（结果保留根号）．

26. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠B=30∘，O 是 BC 上一点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作圆，恰好经过点 A，并与 BC 交于点 D．
（1）判断直线 CA 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AB=43，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）．

27. 如图，已知 l1⊥l2，⊙O 与 l1，l2 都相切，⊙O 的半径为 2 cm，矩形 ABCD 的边 AD，AB 分别与 l1，l2 重合，AB=43 cm，AD=4 cm，若 ⊙O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，⊙O 的移动速度为 3 cm/s，矩形 ABCD 的移动速度为 4 cm/s，设移动时间为 ts，
（1）如图 ①，连接 OA，AC，则 ∠OAC 的度数为 ∘；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达 ⊙O1 的位置，矩形 ABCD 到达矩形 A1B1C1D1 的位置，此时点 O1，A1，C1 恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1 的长）；
（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 dcm，当 d<2 时，求 t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

28. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=12x−1 与抛物线 y=−14x2+bx+c 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 −8，点 P 是直线 AB 上方的抛物线上的一动点（不与点 A，B 重合）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）连接 PA，PB，在点 P 运动过程中，是否存在某一位置，使 △PAB 恰好是一个以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过 P 作 PD∥y 轴交直线 AB 于点 D，以 PD 为直径作 ⊙E，求 ⊙E 在直线 AB 上截得的线段的最大长度．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. B
5. B
6. D
7. D
8. D
9. C
10. C
【解析】根据四边形的内角和定理可得：∠DAB+∠DCB=220∘，
∵OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70∘，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，
∴∠OAB+∠OCB=70∘，
∴∠DAO+∠DCO=220∘−70∘=150∘．
第二部分
11. x≥−1
12. x1=0 ； x2=1
13. a+2a−2
14. 6
15. 50
16. 5
17. 254
【解析】过 A 作 AD⊥y 轴于 D，如图，
∵ AC⊥x 轴，∠ABC=90∘，OC=3，
∴ ∠ABC=∠ADO=∠COB=∠ACO=90∘，AD=OC=3，
∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，∠DBA+∠CBO=90∘，
∴ ∠DAB=∠CBO，
∴ △ADB∽△BOC，
∴ ADOB=DBCO，
∴ 34=DB3，
∴ BD=94，
∴ OD=4+94=254．
18. 22π
【解析】如图，点 P 的运动路径是以 G 为圆心的 EF，在 ⊙G 上取一点 H，连接 EH，FH，AF，
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴∠AOC=90∘，
∴∠AFP=12∠AOC=45∘，
∵EF 是 ⊙O 的直径，
∴∠EAF=90∘，
∴∠APF=∠AFP=45∘，
∴∠H=∠APF=45∘，
∴∠EGF=2∠H=90∘，
∵EF=2×4=8，GE=GF，
∴EG=GF=42，
∴EF 的长为 90π×42180=22π．
第三部分
19. 原式=3+2−1=4.
20.
2x+4≥0, ⋯⋯①x−32+3>x+1. ⋯⋯②
解 ① 得：
x≥−2.
解 ② 得：
x<1.∴
不等式组的解集为：
−2≤x<1.
21. 原式=a−1a÷a2−2a+1a=a−1a⋅aa−12=1a−1
当 a=2 时，原式 =12−1=2+1
22. 6−3x+1=x2−1，
x2+3x−4=0，
x+4x−1=0，
x1=−4,x2=1，
经检验 x=1 是增根，应舍去
∴原方程的解为 x=−4．
23. （1） 由题意知 △ABC≌△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE .
∴ ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE ，即 ∠CAE=∠DAB .
在 △AEC 和 △ADB 中，
AE=AD∠CAE=∠DABAC=AB．
∴△AEC≌△ADB SAS .
（2） ∵ 四边形 ADFC 是菱形，且 ∠BAC=45∘，
∴∠DBA=∠BAC=45∘（两直线平行内错角相等）.
由（1）知 AB=AD .
∴∠DBA=∠BDA=45∘（等边对等角）.
∴△ABD 是直角边为 2 的等腰直角三角形.
∴BD2=2AB2 .
∴BD=22 .
∴AD=DF=FC=AC=AB=2 .
∴BF=BD−DF=22−2．
24. （1） 50
（2） 抽样中不小于 1 小时的比例为 1−20%=80%，
14000×80%=11200（名）．
（3） 活动时间为 1.5 小时的人数为：50×24%=12，
∴ 平均时间为：0.5×10+1×20+1.5×12+2×850=1.18（小时）．
∵1.18>1，
∴ 符合教育行政部门的规定．
25. 设 AB=x 米，
∵ AB⊥BC，∠ACB=45∘，
∴ BC=AB=x，
又 ∵ ∠ADB=30∘，DC=2，
∴ tan∠ADB=tan30∘=ABBD=xx+2=33，
∴ x=3+1，
∴ 旗杆 AB 的高度为：3+1 米．
26. （1） CA 与 ⊙O 相切．
证明：
连接 OA，
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B，
∵ ∠B=30∘，
∴ ∠C=30∘，
∴ ∠AOC=60∘，
∴ ∠OAC=90∘，
∴ 直线 CA 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC，过点 O 作 OF⊥AB，
∵ AB=43，
∴ AD=OA=OB=OD=4，
∵ ∠DAE=30∘，
∴ DE=2，
∴ △ABC 面积 123，扇形 AOD 面积 83π，△ABO 面积 43，
∴ 阴影面积 83−83π．
27. （1） 105
【解析】∵ l1⊥l2，⊙O 与 l1l2 都相切，
∴ ∠OAD=45∘，
∵ AB=43，AD=4，
∴ CD=43，
∴ tan∠DAC=CDAD=434=3，
∴ ∠DAC=60∘，
∴ ∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105∘．
（2） 如图，当 O1，A1，C1 恰好在同一直线上时，设 ⊙O1 与 l1 的切点为 E，连接 O1E，
可得 O1E=2，O1E⊥l1，
在 Rt△A1D1C1 中，
∵ A1D1=4，D1C1=43，
∴ tan∠C1A1D1=3，
∴ ∠C1A1D1=60∘，
在 Rt△A1O1E 中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60∘，
∴ A1E=2tan60∘=233，
∵ A1E=A1A−O1O−2=t−2，
∴ t−2=233，
∴ t=233+2，
∴ OO1=23+6cm．
（3） ①当直线 AC 与 ⊙O 第一次相切时，设移动时间为 t1，
如图位置一，此时 ⊙O 移动到 ⊙O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置，
设 ⊙O2 与直线 l1，A2C2 分别相切于点 F，G，连接 O2F，O2G，O2A2，
∴ O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60∘，
∴ ∠GA2F=120∘，
∴ ∠O2A2F=60∘，
在 Rt△O2A2F 中，O2F=2，
∴ A2F=233，
∵ O2O=3t1，AF=A2A+A2F=4t1+233，
∴ 4t1+233−3t1=2，
∴ t1=2−233．
② 当直线 AC 与 ⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2，
记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时为位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
233+2−2−233=t2−233+2，
解得：t2=2+23，
综上所述，当 d<2 时，t 的取值范围是：2−23328. （1） ∵ 点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 −8，且在直线 y=12x−1 上，
∴ A2,0，B−8,−5，
∵ 点 A，B 在抛物线 y=−14x2+bx+c 上，
∴ 0=−1+2b+c,−5=−16−8b+c,
∴ b=−1,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−14x2−x+3．
（2） 不存在．
假设存在这样点 P，使 △PAB 恰好是一个以点 P 为直角顶点的直角三角形，
过点 P 作 x 轴的平行线 l，分别过点 A 和点 B 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M，N．
∵ ∠BPA=90∘，
∴ ∠BPN+∠APM=90∘．
∵ BN⊥l，
∴ ∠NBP+∠NPB=90∘，
∴ ∠APM=∠NBP．
∴ tan∠APM=tan∠NBP．
∴ AMPM=NPBN．
设 Px,−14x2−x+3，而 A 点坐标为 2,0，B 点坐标为 −8,−5，
∴ −14x2−x+32−x=x+8−14x2−x+8，
∴ x+6x−4=−16，解得 x=2（舍）或 x=−4．
∴ P−4,3，
∵ A2,0，B−8,−5，
∴ PA=2+42+0−32=35，PB=−4+82+3+52=45，
∴ PA≠PB，
∴ 不存在使 △PAB 恰好是一个以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形．
（3） 如图，设 ⊙E 所截的线段为 DF，连接 PF，
∵ OA=2，OC=1，
∴ AC=5，
∵ PD∥OC，
∴ ∠OCA=∠PDF，
∵ ∠PFD=∠AOC=90∘，
∴ △AOC∽△PFD，
∴ DFPD=OCAC=15，
∴ DF=15PD，
设 Dx,12x−1，Px,−14x2−x+3，
∴ PD=−14x2−x+3−12x+1=−14x2−32x+4，
∴ DF=PD=15×−14x2−32x+4，
∴ 当 x=−3 时，DF最大=15×−14×32+32×3+4=554．