2017年苏州市工业园区星湾中学中考二模数学试卷

这是一份2017年苏州市工业园区星湾中学中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12 的绝对值等于
A. −2B. 2C. −12D. 12

2. 地球的平均半径约为 6371000 米，该数字用科学记数法可表示为
A. 0.6371×107B. 6.371×106C. 6.371×107D. 6.371×103

3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 下列计算中，正确的是
A. 2a+3b=5abB. 3a32=6a6
C. a6+a2=a3D. −3a+2a=−a

5. 数据 3，6，7，4，x 的平均数是 5，则这组数据的中位数是
A. 4B. 4.5C. 5D. 6

6. 若 a<22A. 2B. 5C. 6D. 12

7. 如图，在 △ABC 中，∠CAB=65∘，将 △ABC 在平面内绕点 A 旋转到 △ABʹCʹ 的位置，使得 CCʹ∥AB，则旋转角的度数为
A. 35∘B. 40∘C. 50∘D. 65∘

8. 某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过 200 元的商品，超过 200 元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额 y（单位：元）与商品原价 x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过 200 元的部分可以享受的优惠是
A. 打八折B. 打七折C. 打六折D. 打五折

9. 如图，其中 A，B，C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30∘ 方向，在 C 地北偏西 45∘ 方向．C 地在 A 地北偏东 75∘ 方向．且 BD=BC=30．从 A 地到 D 地的距离是
A. 303 mB. 205 mC. 302 mD. 156 m

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DE⊥BC 于点 E，点 P 是边 BC 上的一个动点，AP 与 CD 相交于点 Q．当 AP+PD 的值最小时，AQ 与 PQ 之间的数量关系是
A. AQ=52PQB. AQ=3PQC. AQ=83PQD. AQ=4PQ

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 代数式 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：x2−9x= ．

13. 课程改革以来，数学老师积极组织学生参与“综合与实践”活动，学校随机调查了七年级部分同学某月参与“综合与实践”活动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图（如图所示），根据图中信息可知扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是 ．

14. 如图，AB∥GH∥CD，点 H 在 BC 上，AC 与 BD 交于点 G，AB=2，CD=4，则 GH 的长为 ．

15. 若点 a,b 在一次函数 y=2x−3 上，则代数式 3b−6a+1 的值是 ．

16. 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE．若 DE:AC=3:5，则 ADAB 的值为 ．

17. 如图，△ABC 是边长为 4 的等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

18. 如图．在等边 △ABC 中，AC=8，点 D，E，F 分别在三边 AB，BC，AC 上，且 AF=2，FD⊥DE，∠DFE=60∘，则 AD 的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−1−38+−20160 .

20. 解不等式组：2x−1>x+1,3x−2−x≤4.

21. 先化简，再求值：x2−2x+1x2+x÷1−2x+1，其中 x=3．

22. 2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用 4000 元购进若干束花，很快售完，接着又用 4500 元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的 1.5 倍，且每束花的进价比第一批的进价少 5 元，求第一批花每束的进价是多少元．

23. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

24. 如图，AD 是等腰 △ABC 底边 BC 上的高．点 O 是 AC 中点，延长 DO 到 E，使 OE=OD，连接 AE，CE．
（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）若 AB=17，BC=16，求四边形 ADCE 的面积．

25. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A−2,1，B1,n 两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 △AOB 的面积．

26. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AO 是 △ABC 的角平分线．以 O 为圆心，OC 为半径作 ⊙O．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线．
（2）已知 AO 交 ⊙O 于点 E，延长 AO 交 ⊙O 于点 D．tanD=12，求 AEAC 的值．
（3）在（2）的条件下，设 ⊙O 的半径为 3．求 AB 的长．

27. 如图，⊙M 与菱形 ABCD 在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为 −3,1，点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 1,−3，点 D 在 x 轴上，且点 D 在点 A 的右侧．
（1）求菱形 ABCD 的周长；
（2）若 ⊙M 沿 x 轴向右以每秒 2 个单位长度的速度平移，菱形 ABCD 沿 x 轴向左以每秒 3 个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为 t（秒），当 ⊙M 与 AD 相切，且切点为 AD 的中点时，连接 AC，求 t 的值及 ∠MAC 的度数；
（3）在（2）的条件下，当点 M 与 AC 所在的直线的距离为 1 时，求 t 的值．

28. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B4,0，C0,3，点 A 为 x 轴负半轴上一点，AM⊥BC 于点 M 交 y 轴于点 N0,43．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B，C．
（1）求抛物线的函数式．
（2）连接 AC，点 D 在线段 BC 上方的抛物线上，连接 DC，DB，若 △BCD 和 △ABC 面积满足 S△BCD=35S△ABC，求点 D 的坐标．
（3）如图 2，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF．一动点 P 从 E 出发，沿线段 EF 以每秒 3 个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC 以每秒 5 个单位的速度运动到 C 后停止．若点 P 在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点 F 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B【解析】第一个图形是中心对称图形不是轴对称图形，第二个图形、第三个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形不是中心对称图形．故答案为 2．
4. D
5. C
6. C
7. C【解析】∠ACCʹ=∠ACʹC=65∘，∠CACʹ=50∘．
8. B【解析】设超过 200 元的部分可以享受的优惠是打 n 折，
根据题意，得：y=200+x−200⋅n10，
由图象可知，当 x=500 时，y=410，即：410=200+500−200×n10，
解得：n=7，
∴ 超过 200 元的部分可以享受的优惠是打 7 折．
9. D【解析】过点 D 作 DH 垂直于 AC，垂足为 H，
由题意可知 ∠DAC=75∘−30∘=45∘，
∵△BCD 是等边三角形，
∴∠DBC=60∘，BD=BC=CD=30，
∴DH=32×30=153，
∴AD=2DH=156m．
答：从 A 地到 D 地的距离是 156 m．
10. B
【解析】如图，作点 A 关于 BC 的对称点 Aʹ，连接 A′D 交 BC 于点 P，此时 PA+PD 最小．作 DM∥BC 交 AC 于 M，交 PA 于 N．
∵∠ACB=∠DEB=90∘，
∴DE∥AC，
∵AD=DB，
∴CE=EB，
∴DE=12AC=12CAʹ，
∵DE∥CAʹ，
∴EPPC=DECAʹ=12，
∵DM∥BC，AD=DB，
∴AM=MC，AN=NP，
∴DM=12BC=CE=EB，MN=12PC .
∴MN=PE，ND=PC .
在 △DNQ 和 △CPQ 中，
∠NDQ=∠QCP,∠NQD=∠PQC,DN=PC,
∴△DNQ≌△CPQ .
∴NQ=PQ，
∵AN=NP，
∴AQ=3PQ．
第二部分
11. x≥1
【解析】∵x−1 在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，解得 x≥1．
12. xx−9
13. 144∘
【解析】根据题意得：30÷30%=100（人），
∴ 学生活动时间为“1.5 小时”的人数为 100−12+30+18=40（人），40%×360∘=144∘，
则扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是 144∘．
14. 43
【解析】本题考查利用成比例的线段来求线段的长度．
∵ AB∥GH∥CD，
∴ △CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，
∴ GHAB=CHBC，GHCD=BHBC，
∴ GHAB+GHCD=CHBC+BHBC=1，
∵ AB=2，CD=4，∴ GH2+GH4=1，∴ GH=43．
15. −8
【解析】∵ 点 a,b 在一次函数 y=2x−3 上，
∴b=2a−3，即 2a−b=3，
∴原式=−32a−b+1=−3×3+1=−8.
16. 12
【解析】∵ 矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵ 矩形 ABCD 的对边 AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
如图，设 AE 与 CD 相交于 F，则 AF=CF，
∴AE−AF=CD−CF，即 DF=EF，
∴DFFC=EFAF，
又 ∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴DFCF=DEAC=35，
设 DF=3x，FC=5x，则 AF=5x，
在 Rt△ADF 中，AD=AF2−DF2=5x2−3x2=4x，
又 ∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴ADAB=4x8x=12．
17. 2.53−π
【解析】如图，过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，连接 FO，MO，
∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30∘，AC=BC=AB=4，
∴∠FOD=∠DOM=60∘，AD=BD=2，
∴CD=23，则 CO=DO=3，
∴EO=32，EC=EF=32，则 FC=3，
∴S△COF=S△COM=12×32×3=334，
S扇形FOM=120π×32360=π，
S△ABC=12×CD×4=43，
∴ 图中阴影部分的面积为：43−2×334−π=2.53−π．
18. 3
【解析】∵∠DFE=60∘，
∴∠1+∠2+60∘=180∘，
∴∠2=120∘−∠1，
在等边 △ABC 中，∠A=∠C=60∘，
∴∠A+∠1+∠3=180∘，
∴∠3=180∘−∠A−∠1=120∘−∠1，
∴∠2=∠3，
又 ∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴ADCF=DFEF，
∵FD⊥DE，∠DFE=60∘，
∴∠DEF=90∘−60∘=30∘，
∴DF=12EF，
又 ∵AF=2，AC=8，
∴CF=8−2=6，
∴AD6=12，
解得 AD=3．
第三部分
19. 原式=1−2+1=0.
20. 221. 原式=x−12xx+1÷x−1x+1=x−12xx+1·x+1x−1=x−1x.
当 x=3 时，
原式=3−13=3−33
22. 设第一批花每束的进价是 x 元，
依题意，得
4000x×1.5=4500x−5.
解得
x=20.
经检验，x=20 是原方程的解，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是 20 元．
23. （1） 13
【解析】∵ 第一道单选题有 3 个选项，
∴ 小明第一题不使用“求助”，答对第一道题的概率是：13．
（2） 分别用A，B，C表示第一道单选题的 3 个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的 3 个选项，画树状图得：
共有 9 种等可能的结果，小明顺利通关的只有 1 种情况，
∴ 小明顺利通关的概率为：19．
24. （1） ∵ 点 O 是 AC 中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∵AD 是等腰 △ABC 底边 BC 上的高，
∴∠ADC=90∘，
∴ 四边形 ADCE 是矩形．
（2） ∵AD 是等腰 △ABC 底边 BC 上的高，BC=16，AB=17，
∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90∘，
由勾股定理得：AD=AC2−CD2=172−82=15，
∴ 四边形 ADCE 的面积是 AD×DC=15×8=120．
25. （1） ∵ 点 A−2,1 在反比例函数 y=mx 的图象上，
∴m=−2×1=−2．
∴ 反比例函数的表达式为 y=−2x．
∵ 点 B1,n 也在反比例函数 y=−2x 的图象上，
∴n=−2，即 B1,−2．
把点 A−2,1，点 B1,−2 代入一次函数 y=kx+b 中，
得 −2k+b=1,k+b=−2, 解得 k=−1,b=−1.
∴ 一次函数的表达式为 y=−x−1．
（2） ∵ 在 y=−x−1 中，当 y=0 时，得 x=−1．
∴ 直线 y=−x−1 与 x 轴的交点为 C−1,0．
∵ 线段 OC 将 △AOB 分成 △AOC 和 △BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×1+12×1×2=12+1=32.
26. （1） 作 OF⊥AB 于 F .
∵AO 是 ∠BAC 的角平分线，∠ACB=90∘，
∴OC=OF．
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 CE，
∵∠ACE=∠D，∠CAE=∠DAC ，
∴△ACE∽△ADC .
∴AEAC=CECD．
∵ED 为 ⊙O 的直径，
∴∠ECD=90∘ .
∴tanD=CECD=12 .
∴AEAC=CECD=12 .
（3） 作 OF⊥AB 于 F .
在 △ACO 中，设 AE=x．
由勾股定理得 x+32=2x2+32 ，
得 x=2．
∴OA=5 .
∴AC=4 .
∵BF⊥AB，∠B=∠B ，
∴△BOF∽△BAC .
∴BFBC=BOBA=OFAC .
设 BO=m，BF=n．
n3+m=mn+4=34，即 4n=9+3m,4m=12+3n.
解得 n=727，m=757．
所以 AB=727+4=1007．
27. （1） 过点 B 作 BE⊥AD，垂足为 E．
∵B1,−3，A2,0，
∴BE=3，AE=1．
∴AB=AE2+BE2=2．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴ 菱形的周长 =2×4=8．
（2） 如图 2 所示：⊙M 与 x 轴的切点为 F，AD 的中点为 E．
∵M−3,1，
∴F−3,0．
∵AD=2，且 E 为 AD 的中点，
∴E3,0．
∴EF=6．
∴2t+3t=6．
解得：t=65．
平移的图形如图 3 所示：过点 B 作 BEʹ⊥AD，垂足为 Eʹ，连接 MF，
F 为 ⊙M 与 AD 的切点．
∵ 由（1）可知：AEʹ=1，BEʹ=3，
∴tan∠EʹAB=3，
∴∠EʹAB=60∘，
∴∠FAB=120∘．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠FAC=12∠FAB=12×120∘=60∘．
∵AD 为 ⊙M 的切线，
∴MF⊥AD．
∵F 为 AD 的中点，
∴AF=MF=1．
∴△AFM 为等腰直角三角形．
∴∠MAF=45∘．
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45∘+60∘=105∘．
（3） 如图 4 所示：连接 AM，过点作 MN⊥AC，垂足为 N，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，∠DAB=120∘，
∴∠DAC=60∘．
∵AC，AD 是 ⊙M 的切线，
∴∠MAF=30∘．
∵MF=MN=1，
∴FA=3，
∴3t+2t=5−3．
∴t=1−35．
如图 5 所示：连接 AM，过点作 MN⊥AC，垂足为 N，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，∠DAB=120∘，
∴∠DAC=60∘．
∴∠NAF=120∘．
∵AC，AD 是 ⊙M 的切线，
∴∠MAF=60∘．
∵MF=MN=1，
∴FA=33．
∴3t+2t=5+33．
∴t=1+315．
综上所述当 t=1−35 或 t=1+315 时，点 M 与 AC 所在的直线的距离为 1．
28. （1） 因为 C0,3，N0,43，
所以 OC=3，ON=43，
因为 ∠OAN=∠NCM，
所以 △AON∽△COB，
所以 OAOC=ONOB，即 OA3=434，解得 OA=1，
所以 A−1,0，
设抛物线解析式为 y=ax+1x−4，
把 C0,3 代入得 a×1×−4=3，解得 a=−34，
所以抛物线解析式为
y=−34x+1x−4=−34x2+94x+3.
（2） 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，把 C0,3，B4,0 代入得 n=3,4m+n=0, 解得 m=−34,n=3.
所以直线 BC 的解析式为 y=−34x+3，
作 DQ∥y 轴交 BC 于 Q，如图，
设 Dx,−34x2+94x+3，则 Qx,−34x+3，
DQ=−34x2+94x+3−−34x+3=−34x2+3x.
所以
S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=12×4×−34x2+3x=−32x2+6x.
因为 S△BCD=35S△ABC，
所以 −32x2+6x=35×12×4+1×3，
整理得 x2−4x+3=0，解得 x1=1，x2=3，
所以 D 点坐标为 1,92 或 3,3．
（3） 设 Fx,−34x+3，则 EF=x−22+−34x+32=2516x2−172x+13，CF=x2+−34x+3−32=54x，
点 P 在整个运动过程中所用时间 t=13EF+CF5，
所以 13EF+CF5≥2EF3⋅CF5，当 EF=35CF 时，取等号，此时 t 最小，
即 2516x2−172x+13=35×54x2 得 x1=2，x2=132（舍去），
所以点 P 在整个运动过程中所用的最少时间 2×34×2÷3=1（秒），此时点 F 的坐标为 2,32．