2020年江苏省苏州市高新区中考二模数学试卷

这是一份2020年江苏省苏州市高新区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 23 的倒数是
A. −23B. −32C. 23D. 32

2. 春节期间上映的第一部中国科幻电影《流浪地球》，斩获约 4670000000 元票房，将 4670000000 用科学记数法表示是
A. 4.67×1010B. 0.467×1010C. 0.467×109D. 4.67×109

3. 学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校，唱我学校”的歌咏比赛，共有 18 名同学入围，他们的决赛成绩如表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是
成绩分人数235431
A. 9.70，9.60B. 9.60，9.60C. 9.60，9.70D. 9.65，9.60

4. 下列运算正确的是
A. 5a2+3a2=8a4B. a3⋅a4=a12C. a+2b=2abD. a5÷a2=a3

5. 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是
A. B.
C. D.

6. 四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2：3：4：3，则∠D=
A. 60∘B. 75∘C. 90∘D. 120∘

7. 如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B=50∘，则 ∠1 等于
A. 50∘B. 40∘C. 35∘D. 25∘

8. 如图，⊙O 上 A 、 B 、 C 三点，若 ∠B=50∘，∠A=20∘，则 ∠AOB 等于
A. 30∘B. 50∘C. 70∘D. 60∘

9. 如图，在一个 20 米高的楼顶上有一信号塔 DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A 处测得信号塔下端 D 的仰角为 30∘，然后他正对塔的方向前进了 8 米到达地面的 B 处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 45∘，CD⊥AB 于点 E，E，B，A 在一条直线上．信号塔 CD 的高度为
A. 203B. 203−8C. 203−28D. 203−20

10. 如图，在直角坐标系中，已知点 A6,0，点 B 为 y 轴正半轴上一动点，连接 AB，以 AB 为一边向下作等边 △ABC，连接 OC，则 OC 的最小值是
A. 3B. 3C. 23D. 33

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 函数 y=x−2 的自变量 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：2x2−8x+8= ．

13. 已知 m 是关于 x 的方程 x2−2x−7=0 的一个根，则 2m2−4m+1= ．

14. 如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为 ．

15. 分式方程 xx−1=3x−1−2 的解为 ．

16. 如图，在 4×5 的正方形网格中点 A，B，C 都在格点上，则 tan∠ABC= ．

17. 抛物线 y=2x2+3 上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1≠x2，y1=y2，当 x=x1+x2 时，y= ．

18. 如图，以 O 为圆心的圆与直线 y=−x+2 交于 A，B 两点，若 △OAB 恰为等边三角形，则弧 AB 的长度为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−20+−2−1+2sin45∘．

20. 解不等式组：4x−7<5x−1,x−13≥12x−1.

21. 先化简，再求值：x2x2−4x+4÷1+2x−2，其中 x=2+2．

22. 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元．求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?

23. 为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D，C，B，A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从 A 等次的甲，乙，丙，丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲，乙两名男生同时被选中的概率．

24. 如图，在正方形 ABCD 中，AF=BE，AE 与 DF 相交于点 O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求 ∠AOD 的度数．

25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 4,2．点 M 是边 BC 上的一个动点（不与 B，C 重合），反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过点 M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN．
（1）当点 M 是边 BC 的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求 △OMN 的面积；
（2）在点 M 的运动过程中，试证明：MBNB 是一个定值．

26. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交 ⊙O 于 F，FM⊥AB 于 H，分别交 ⊙O，AC 于 M，N，连接 MB，BC．
（1）求证：AC 平分 ∠DAE；
（2）若 csM=45，BE=1，
①求 ⊙O 的半径；
②求 FN 的长．

27. 如图1，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 D 在 AC 上，且 CD>DA，DA=2，点 P，Q 同时从点 D 出发，以相同的速度分别沿射线 DC，射线 DA 运动，过点 Q 作 AC 的垂线段 QR，使 QR=PQ，连接 PR，当点 Q 到达点 A 时，点 P，Q 同时停止运动．设 PQ=x，△PQR 与 △ABC 重叠部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图象如图2所示（其中 0（1）填空：n 的值为 ；
（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．

28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 交 x 轴于点 A2,0，B−3,0，交 y 轴于点 C，且经过点 D−6,−6，连接 AD，BD．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点，能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N，使得 △AMN 与 △ABD 相似?若相似，请求出此时点 M 、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与 A，D 重合），过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 AD 于点 Q，以 PQ 为直径作 ⊙E，则 ⊙E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案）．
答案
第一部分
1. D【解析】23 的倒数是 32．
2. D【解析】将 4670000000 用科学记数法表示是 4.67×109．
3. B【解析】在这一组数据中 9.60 是出现次数最多的，
故众数是 9.60，
而这组数据处于中间位置的那两个数都是 9.60 和 9.6，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 9.60．
4. D【解析】A．结果是 8a2，故本选项正确；
B．结果是 a7，故本选项错误；
C．不能合并，故本选项错误；
D．结果是 a3，故本选项正确．
5. A
【解析】从左面看可得到第一层为 2 个正方形，第二层左面有一个正方形．
6. C【解析】【分析】先设∠A=2X，则∠B=3X，∠C=4X，∠D=3X，再根据四边形的内角和为360∘，列方程求解未知数，则可得∠D的值．
【解析】解：设∠A=2X，则∠B=3X，∠=4X，∠D=3X，根据四边形的内角和为360∘，得
∠A+∠B+∠C+∠D=360∘，即2X+3X+4X+3X=360∘，
∴X=30∘，
∠D=3X=90∘．
故选：C．
【点评】本题通过设适当的参数，根据四边形的内角和为360∘建立方程，求出X的值后再求∠D的值．
7. B【解析】∵BC⊥AE，
∴∠BCA=90∘，
∵∠B=50∘，
∴∠A=180∘−∠BCA−∠B=40∘，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠A=40∘．
8. D【解析】解：∵ ∠AOB 与 ∠ACB 是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B=50∘，∠A=20∘，
∴ ∠ACB=12∠AOB．
∴ 180∘−∠AOB−∠A=180∘−∠ACB−∠B，即 180∘−∠AOB−20∘=180∘−12∠AOB−50∘，
解得 ∠AOB=60∘．
故选：D．
9. C【解析】根据题意得：AB=8 米，DE=20 米，∠A=30∘，∠EBC=45∘，
在 Rt△ADE 中，AE=3DE=203 米，
∴BE=AE−AB=203−8（米），
在 Rt△BCE 中，CE=BE⋅tan45∘=203−8×1=203−8（米），
∴CD=CE−DE=203−8−20=203−28（米）．
10. B
【解析】如图，以 OA 为对称轴作等边 △AMN，延长 CN 交 x 轴于 E，
∵△ABC 是等边三角形，△AMN 是等边三角形，
∴AM=AN，AB=AC，∠MAN=∠BAC，∠AMN=60∘=∠ANM，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ANC≌△AMBSAS，
∴∠AMB=∠ANC=60∘，
∴∠ENO=60∘，
∵AO=6，∠AMB=60∘，AO⊥BO，
∴MO=NO=23，
∵∠ENO=60∘，∠EON=90∘，
∴∠AEN=30∘，EO=3ON=6，
∴ 点 C 在 EN 上移动，
∴ 当 OCʹ⊥EN 时，OCʹ 有最小值，
此时，OʹC=12EO=3．
第二部分
11. x≥2
【解析】根据题意得，x−2≥0，解得 x≥2．
12. 2x−22
【解析】原式=2x2−4x+4=2x−22.
故答案为 2x−22．
13. 15
【解析】∵m 是关于 x 的方程 x2−2x−7=0 的一个根，
∴m2−2m−7=0．
∴m2−2m=7，
∴2m2−4m+1=2m2−2m+1=2×7+1=15．
14. 14
【解析】∵ 四边形是平行四边形，
∴ 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积 =14S四边形，
∴ 针头扎在阴影区域内的概率为 14．
15. x=53
【解析】去分母得：x=3−2x+2，解得：x=53，
经检验 x=53 是分式方程的解．
16. 12
【解析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，如图所示．
∵S△ABC=12AC⋅3=12AB⋅CE，即 12×2×3=12×32⋅CE，
∴CE=2．
在 Rt△BCE 中，BC=10，CE=2，
∴BE=BC2−CE2=22，
∴tan∠ABC=CEBE=12．
17. 3
【解析】∵ 抛物线 y=2x2+3 上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1≠x2，y1=y2，
∴ 点 Ax1,y1，Bx2,y2 关于抛物线 y=2x2+3 的对称轴对称．
∵ 对称轴为直线 x=0，
∴x1+x2=2×0=0，
将 x=0 代入，得 y=2×02+3=3．
18. 23π9
【解析】设直线 y=−x+2 交坐标轴于点 C，D，作 OE⊥CD 于点 E，
当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=2，
故点 C 的坐标为 0,2，点 D2,0，
故 CD=2，
∵OD⋅OC2=CD⋅OE2，
∴OE=1，
∵△OAB 是等边三角形，
∴OA=OEsin60∘=132=233，
∴ 弧 AB 的长度为 60π×233180=23π9，
故答案为：23π9．
第三部分
19. 原式=1+2+1+2×22=1+2+1+2=2+22.
20.
4x−7<5x−1, ⋯⋯①x−13≥12x−1. ⋯⋯②
解不等式①得：
x>−2.
解不等式②得：
x≤4.∴
不等式组的解集为：
−221. 原式=x2x−22÷xx−2=x2x−22×x−2x=xx−2.
当 x=2+2 时，
∴原式=2+22=1+2.
22. 设甲种商品每件的进价为 x 元，乙种商品每件的进价为 y 元，
依题意得：
2x+3y=270,3x+2y=230.
解得
x=30,y=70.
答：甲种商品每件的进价为 30 元，乙种商品每件的进价为 70 元．
23. （1） 2；45；20
【解析】本次调查的总人数为 12÷30%=40 人，
∴a=40×5%=2，
b=1840×100=45，
c=840×100=20．
（2） 72
【解析】扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 360∘×20%=72∘．
（3） 画树状图，如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲，乙的结果有 2 个，
故 P选中的两名同学恰好是甲,乙=212=16．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90∘，AD=AB，
在 △DAF 和 △ABE 中，
AD=AB,∠DAF=∠ABE=90∘,AF=BE,
∴△DAF≌△ABESAS．
（2） 由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90∘，
∴∠AOD=180∘−∠ADF+DAO=90∘．
25. （1） ① ∵ 点 B4,2，且四边形 OABC 是矩形，
∴OC=AB=2，BC=OA=4，
∵ 点 M 是 BC 中点，
∴CM=2，则点 M2,2，
∴ 反比例函数解析式为 y=4x；
②当 x=4 时，y=4x=1，
∴N4,1，则 CM=BM=2，AN=BN=1，
∴S△OMN=S矩形OABC−S△OAN−S△COM−S△BMN=4×2−12×4×1−12×2×2−12×2×1=3.
（2） 设 Ma,2，则 k=2a，
∴ 反比例函数解析式为 y=2ax，
当 x=4 时，y=a2，
∴N4,a2，则 BM=4−a，BN=2−a2，
∴MBNB=4−a2−a2=4−a4−a2=2．
26. （1） 连接 OC，如图．
∵ 直线 DE 与 ⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥DE，
又 ∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC 平分 ∠DAE．
（2） ① ∵AB 为直径，
∴∠AFB=90∘，而 DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴CF=BC，
∴∠COE=∠M，
设 ⊙O 的半径为 r，
在 Rt△OCE 中，cs∠COE=OCOE=45，
即 rr+1=45，解得 r=4，即 ⊙O 的半径为 4；
②连接 BF，如图．
在 Rt△AFB 中，cs∠FAB=AFAB，
∴AF=8×45=325
在 Rt△OCE 中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴AM=AF，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵CF=BC，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴FNCE=AFAE，即 FN3=3259，
∴FN=3215．
27. （1） 3249
【解析】如图1，当 x=87 时，△PQR 与 △ABC 重叠部分的面积就是 △PQR 的面积，
∵ PQ=87，QR=PQ，
∴ QR=87，
∴ n=S=12×872=12×6449=3249．
（2） 如图2，
根据 S 关于 x 的函数图象，可得 S 关于 x 的函数表达式有两种情况：
当 0当点 Q 点运动到点 A 时，x=2AD=4，
∴ m=4．
当 87 ∵ △AQE∽△AQ1R1，AQAQ1=QEQ1R1，即 2−x22−47=QE87，
∴ QE=452−x2，设 FG=PG=a，
∵ △AGF∽△AQ1R1，AGAQ1=FGQ1R1，
∴ AG=2+x2−a，2+x2−a107=a87，
∴ a=492+x2，
∴S=S△APF−S△AQE=12AP⋅FG−12AQ⋅EQ=122+x2⋅492+x2−122−x2⋅452−x2=−245x2+5645x−3245,
∴ S=−245x2−5645x−3245．
综上，可得：S=12x2,028. （1） 用交点式函数表达式得：y=ax−2x+3，
将点 D 坐标代入上式并解得：a=−14，
故函数的表达式为：y=−14x2−14x+32，
则点 C0,32．
（2） 由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，
① ∠MAN=∠ABD 时，
（Ⅰ）当 △ANM∽△ABD 时，
直线 AD 所在直线的 k 值为 34，则直线 AM 表达式中的 k 值为 −34，
则直线 AM 的表达式为：y=−34x−2，故点 M0,32，
ADAM=ABAN，则 AN=54，则点 N34,0；
（Ⅱ）当 △AMN∽△ABD 时，同理可得：点 N−3,0，点 M0,32，
故点 M0,32 、点 N34,0 或点 M0,32，N−3,0；
② ∠MAN=∠BDA 时，
（Ⅰ）△ABD∽△NMA 时，
∵AD∥MN，则 tan∠MAN=tan∠BDA=12，
AM:y=−12x−2，则点 M−1,32 、点 N−3,0；
（Ⅱ）当 △ABD∽△MNA 时，
ADAM=BDAN，即 10352=35AN，解得：AN=94，
故点 N−14,0，M−1,32；
故：点 M−1,32 、点 N−3,0 或 N−14,0，M−1,32；
综上，点 M0,32 、点 N34,0 或点 M0,32，N−3,0 或点 M−1,32 、点 N−3,0 或 N−14,0，M−1,32．
（3） 125
【解析】如图所示，连接 PH．
由题意得：tan∠PQH=43，则 cs∠PQH=35，
则直线 AD 的表达式为：y=34x−32，
设点 Px,−14x2−14x+32，则点 Qx,34x−32，
则
QH=PHcs∠PQH=35PQ=35−14x2−14x+32−34x+32=−320x2−35x+95,
∵−320<0，故 QH 有最大值，当 x=−2 时，其最大值为 125．