2023年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”这是清朝袁枚的一首诗苔若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，为等边三角形，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  我国古代孙子算经卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人与车数各是多少？若设有个人，则可列方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若式子有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  已知，，则 ______ ．

11.  若一组数据、、、、的众数为，则这组数据的方差是______ ．

12.  已知二次函数是常数，的与的部分对应值如表

当时，函数值为______ ．

13.  如图，内接于，，连接，则 ______ ．

14.  传统服饰日益受到关注，如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______ ．

15.  如图，将绕点按逆时针方向旋转，点的对应点恰好落在边的延长线上，与相交于点，若，则______．

16.  如图，等边的边长为，是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“”，“”，“”，除数字外三个小球无其他差别．
从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“”的概率．
从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为的概率．要求列表或画树状图说明
 

21.  本小题分
已知：如图，四边形为平行四边形，点，，，在同一条直线上，．
求证：≌；
若，求的长．

22.  本小题分
年月日，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座星发射升空，发射任务取得圆满成功某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，学校从参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，发现所有学生的成绩满分分均不低于分，并绘制了如下的统计表．

请你根据统计表解答下列问题：
这名学生的竞赛成绩的中位数落在______ 组；
求这名学生的平均竞赛成绩；
若竞赛成绩在分以上包括分的可以获得“航天知识标兵”荣誉称号，估计该校参加这次竞赛的名学生中可以获得“航天知识标兵“荣誉称号的有多少人？

23.  本小题分
小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图、图所示，花洒安装在离地面高度厘米的处，花洒的长度为厘米．
已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离结果保留根号
某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜元，因此比上个月多卖出个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？

 

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，且，点的坐标为．
求反比例函数的表达式；
观察图象，直接写出不等式的解集：
若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于点，当∽时，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，菱形中，，，点是线段上一点不含端点，将沿翻折，的对应边与相交于点．
当时，求的长；
若是等腰三角形，求的长；
若，求的取值范围．

 

27.  本小题分

如图，的顶点，，直角顶点在轴的正半轴上，抛物线经过、、三点

求抛物线的解析式；

动点从点出发以个单位的速度沿向点运动，动点从点出发以个单位的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积；

如图，过原点的直线与抛物线交于点、点在点的左侧，点，设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的定义可知：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念作答即可．
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．的相反数是其本身．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判定即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据等边三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选：．
用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“每人乘车，最终剩余辆车；若每人共乘车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图，

点、，
，．
线段平移得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，．
，
．
，，
．
，
∽．
．
，，
，
．
故选：．
过点作轴于点，利用点，的坐标表示出线段，的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，则结论可得．
本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，将沿折叠得到，则四边形为菱形，菱形的对角线交于点，

由图可知，当点与点重合时，
，
解得：，即菱形的边长为．
则该菱形的高为，
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，
，，
则，故为等边三角形，
点是的中点，
，
，
为直角，，
则，
此时，，
则．
故选：．
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

9.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中，分母．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，


，
，


，
故答案为：．
先根据进一步求出的值，再根据求解即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一组数据、、、、的众数为，
所以．
于是这组数据为、、、、．
该组数据的平均数为：，
方差．
故答案为：．
根据众数的定义先求出的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查了平均数、众数、方差的意义．平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：二次函数的图象经过点和，
抛物线的对称轴为直线：，
，
根据抛物线的对称性可知：点和点关于抛物线的对称轴对称，
当时，函数值为，
故答案为：．
利用表格中的数据的特征得出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性可得：当时的函数值与当时的函数值相等，则结论可得．
本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】米 

【解析】解：由题意知，，，
解得，，
米，
故答案为：米．
由题意知，，计算求解，的值，然后根据计算求解即可．
本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：由旋转得，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
，
，
故答案为：．
由旋转得，由，得，即可推导出，得，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查旋转的性质、三角形的面积公式等知识，通过面积等式之间的变形和转化求得是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：过点作，交于点，交于点，过点作于点，

等边三角形的边长为，是的中点，
，，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，则，，
在中，，
，，
在中，，，
，
或，
或，
故答案为：或．
过点作，交于点，交于点，过点作于点，根据等边三角形的判定与性质推出，，，利用证明≌，根据全等三角形的性质推出，，，则，，解直角三角形求出，，根据勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值计算．
本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，
原式． 

【解析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则，利用整体代入求值是关键．
 

20.【答案】解：从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“”的概率为；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，两次记录的数字之和为的结果有个，
两次记录的数字之和为的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，两次记录的数字之和为的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
又，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，根据可证明≌；
由全等三角形的性质可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题可知共人，所以中位数是第个和个数据的平均数，这两个数据都是，在组．
故答案为：．
分．
答：这名学生的平均竞赛成绩为分．
人．
答：估计该校参加这次竞赛的名学生中可以获得“航天知识标兵“荣誉称号的有人．
根据中位数和平均数概念可求出第，利用样本估计总体可求出．
本题考查李中位数和平均数的求法，用样本数据估计总体．
 

23.【答案】解：如图，过点作，作，，垂足分别为，，

，
，
，
厘米，
厘米，厘米，
厘米，
，
，
，
厘米，
厘米，
答：水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米；
设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，
根据题意得：，
解得或舍去，
经检验：是原方程的解，
答：这个此款花洒的原价是元． 

【解析】过点作，作，，垂足分别为，，分别求出厘米，厘米，即可得出答案；
设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，根据题意得：，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：把代入中，求得，
，
由，把代入中，得，
即，
把代入得：，
则双曲线解析式为；
联立并整理得：，
解得或，
观察图象得，不等式的解集为或；
设，

在上，
，
当∽时，可得，即，
，即，
整理得：，
解得：或舍去，
；
当∽时，可得，即，
整理得：，
解得：或舍，
．
综上，或． 

【解析】把坐标代入直线解析式求出的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出的值，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出双曲线解析式；
观察函数图象即可求解；
设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当∽时；当∽时，由相似得比例求出的值，进而确定出的值，即可得出坐标．
此题考查反比例函数综合题，掌握相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，

平分，
，
，
，
，
，
是的切线．

解：连接，

，
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
解得：或舍去．
的长为． 

【解析】欲证明是切线，只要证明即可；
连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：菱形中，，，
是等边三角形，，，，
，，
由折叠得，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，
由知，，，
；
当时，
，
，
点是线段上一点不含端点，
舍去；
当时，如图，

，
，
，
；
综上，的长为或；
过点作于，作于，

由折叠得，
，
，
又，
，
，
，
，
点在上，
的最大值为，当，即点与点重合时，的值最小为，
，
，
的取值范围为． 

【解析】根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长；
分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；
过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围．
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图：

，，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
把，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作于，如图：

由，得直线解析式为，，
设运动时间为 ，则，，
，，
，，
∽，
，即，
，
设的面积为，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
，
；
的最大面积是，的坐标为；
为定值，理由如下：
设直线解析式为，
由得：，
设，，则，是的两个实数解，
，，
在直线上，在直线上，
，，
，，
，
，
由得，
由得：，
，
化简整理得，
的值是定值． 

【解析】证明∽，可得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过作于，由，得直线解析式为，，设运动时间为 ，证明∽，可得，设的面积为，则，根据二次函数性质即可得的最大面积是，的坐标为；
设直线解析式为，由得：，设，，则，是的两个实数解，有，，又，，可得，，故，，化简整理得，即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．