2017年苏州市常熟一中中考二模数学试卷

这是一份2017年苏州市常熟一中中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列运算正确的是
A. a3⋅a2=a6B. 2a3=6a3
C. a−b2=a2−b2D. 3a2−a2=2a2

3. 某课外兴趣小组为了解所在地区的老年人的健康状况，分别做了四种不同的抽样调查，你认为抽样较合理的是
A. 在公园调查了 1000 名老年人的健康状况
B. 在医院调查了 1000 名老年人的健康状况
C. 调查了 100 名小区内老年邻居的健康状况
D. 利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10% 的老年人的健康状况

4. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为
A. 0.25×10−5B. 0.25×10−6C. 2.5×10−5D. 2.5×10−6

5. 小红把一把直尺与一块三角板如图放置，测得 ∠1=48∘，则 ∠2 的度数为
A. 38∘B. 42∘C. 48∘D. 52∘

6. 在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，九年级参赛的 10 名学生成绩统计如图所示，对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是
A. 众数是 90 分B. 中位数是 90 分
C. 平均数是 90 分D. 极差是 15 分

7. 若关于 x 的一元二次方程 k−1x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k<5B. k<5 且 k≠1C. k≤5 且 k≠1D. k>5

8. 如图，⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90∘，∠A=25∘，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则 ∠D 的度数是
A. 25∘B. 40∘C. 50∘D. 65∘

9. 如图，在海拔 200 米的小山顶 A 处，观察 M，N 两地，俯角分别为 30∘，45∘，则 M，N 两地的距离为
A. 200 米B. 2003 米
C. 400 米D. 2003+1 米

10. 如图，平行四边形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴正半轴上，CD 平行于 x 轴，直线 AC 交 x 轴于点 E，BC⊥AC，连接 BE，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 D．已知 S△BCE=2，则 k 的值是
A. 2B. −2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：2x3−8x= ．

12. 函数 y=x+1x−3 的自变量 x 的取值范围是 ．

13. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18 cm，圆心角为 240∘ 的扇形，则这个圆锥的底面半径长是 cm．

14. 正六边形的每个外角是 度．

15. 已知 a−2b=−2，则 4−2a+4b 的值为 ．

16. 如图，△ABC 是边长为 4 的等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

17. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABʹCʹDʹ 位置，此时 AC 的中点恰好与 D 点重合，ABʹ 交 CD 于点 E．若 DE=1，则矩形 ABCD 的面积为 ．

18. 如图，点 P3,4，⊙P 半径为 2，A2.8,0，B5.6,0，点 M 是 ⊙P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：π−100+2−1+12−1−2sin45∘．

20. 解不等式组 2x+5≤3x+2,x−12
21. 请你先化简 a2a+2−a+2÷4aa2−4，再从 −2，2，2 中选择一个合适的数代入求值．

22. 暑期，某学校将组织部分优秀学生分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，学校按定额购买了前往四地的车票．如图 1 是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的 30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图；
（2）若学校采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么李明同学抽到去B地的概率是多少?
（3）若有一张去A地的车票，红红和天天都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字 1，2，3，4，乙转盘分成三等份且标有数字 7，8，9，如图 2 所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给红红，否则票给天天（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．

23. 购买 6 件 A 商品和 5 件 B 商品共需 270 元，购买 3 件 A 商品和 4 件 B 商品共需 180 元．问：购买 1 件 A 商品和 1 件 B 商品共需多少元?

24. 如图，△ACB 与 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘，点 D 为 AB 边上的一点，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若 DE=13，BD=12，求线段 AB 的长．

25. 如图，点 B3,3 在双曲线 y=kxx>0 上，点 D 在双曲线 y=−4xx<0 上，点 A 和点 C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且点 A，B，C，D 构成的四边形为正方形．
（1）求 k 的值；
（2）求点 A 的坐标．

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，∠ABC 的平分线与 AC 相交于点 D，与 ⊙O 过点 A 的切线相交于点 E．
（1）∠ACB= ∘，理由是： ；
（2）猜想 △EAD 的形状，并证明你的猜想；
（3）若 AB=8，AD=6，求 BD 的长．

27. 如图 1，直线 l：y=x+3 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别相交于 A，C 两点，抛物线 y=−33x2+bx+c 经过点 B1,0 和点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 Q 是抛物线 y=−33x2+bx+c 在第二象限内的一个动点．
①如图 1，连接 AQ，CQ，设点 Q 的横坐标为 t，△AQC 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值；
②连接 BQ 交 AC 于点 D，连接 BC，以 BD 为直径作 ⊙I，分别交 BC，AB 于点 E，F，连接 EF，求线段 EF 的最小值，并直接写出此时点 Q 的坐标．

28. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠CAB=30∘，AB=10，点 D 在线段 AB 上，AD=2．点 P，Q 以每秒 1 个单位的速度从 D 点同时出发，点 P 沿 DB 方向运动，点 Q 沿 DA 方向到点 A 后立刻以原速返回向点 B 运动．以 PQ 为直径构造 ⊙O，过点 P 作 ⊙O 的切线交折线 AC−CB 于点 E，将线段 EP 绕点 E 顺时针旋转 60∘ 得到 EF，过 F 作 FG⊥EP 于 G，当 P 运动到点 B 时，Q 也停止运动，设 DP=m．
（1）当 2（2）当线段 FG 长度达到最大时，求 m 的值；
（3）在点 P，Q 整个运动过程中，
①当 m 为何值时，⊙O 与 △ABC 的一边相切?
②直接写出点 F 所经过的路径长是 ．（结果保留根号）
答案
第一部分
1. A
2. D【解析】A、 a3⋅a2=a3+2=a5，故A错误；
B、 2a3=8a3，故B错误；
C、 a−b2=a2−2ab+b2，故C错误；
D、 3a2−a2=2a2，故D正确．
3. D【解析】A、在公园调查了 1000 名老年人的健康状况，抽查的都是锻炼的老人，没有代表性，故A错误；
B、在医院调查了 1000 名老年人的健康状况，抽查的都是不健康的老人，没有代表性，故B错误；
C、调查了 100 名小区内老年邻居的健康状况，调查没有广泛性，故C错误；
D、利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10% 的老年人的健康状况，调查具有广泛性、代表性，故D正确．
4. D
5. B
【解析】如图所示，∠3=180∘−90∘−48∘=42∘，
再由平行线的性质可得 ∠2=∠3=42∘．
6. C【解析】∵90 分出现了 5 次，出现的次数最多，
∴ 众数是 90 分；故A正确；
∵ 共有 10 个数，
∴ 中位数是第 5，6 个数的平均数，
∴ 中位数是 90+90÷2=90（分）；故B正确；
∵ 平均数是 80×1+85×2+90×5+95×2÷10=89（分）；故C错误；
极差是：95−80=15（分）；故D正确．
综上所述，C选项符合题意．
7. B
8. B【解析】如图，连接 OC，由 ∠A=25∘，可求得 ∠BOC 的度数；由 CD 是 ⊙O 的切线，可得 OC⊥CD，继而求得答案．
9. D【解析】如图，过 A 作 AB⊥MN 于 B，
在 Rt△ABM 中，
∵∠ABM=90∘，AB=200，∠M=30∘，
∴tanM=ABBM，
∴BM=2003，
在 Rt△ABN 中，
∵∠ABN=90∘，∠N=∠BAN=45∘，
∴BN=AB=200，
∴MN=2003+1 米．
10. D
第二部分
11. 2xx+2x−2
【解析】解析在这
12. x>3
13. 12
14. 60
【解析】正六边形的一个外角度数是：360÷6=60∘．
15. 8
16. 2.53−π
【解析】如图，过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，连接 FO，MO，
∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30∘，AC=BC=AB=4，
∴∠FOD=∠DOM=60∘，AD=BD=2，
∴CD=23，则 CO=DO=3，
∴EO=32，EC=EF=32，则 FC=3，
∴S△COF=S△COM=12×32×3=334，
S扇形FOM=120π×32360=π，
S△ABC=12×CD×4=43，
∴ 图中阴影部分的面积为：43−2×334−π=2.53−π．
17. 33
18. 32
【解析】如图，连接 OP 交 ⊙P 于 Mʹ，连接 OM．
∵OA=AB，CM=CB，
∴AC=12OM，
∴ 当 OM 最小时，AC 最小，
∴ 当 M 运动到 Mʹ 时，OM 最小，
此时 AC 的最小值 =12OMʹ=12OP−PMʹ=32．
第三部分
19. π−100+2−1+12−1−2sin45∘=1+2−1+2−2=2.
20.
2x+5≤3x+2, ⋯⋯①x−12解 ① 得：
x≥−1.
解 ② 得：
x<3.
则不等式组的解集是：
−1≤x<3.
则整数解是：−1，0，1，2．
21. a2a+2−a+2÷4aa2−4=a2a+2−a−2a+2a+2×a+2a−24a=4a+2×a+2a−24a=a−2a.
为使分式有意义，a 不能取 ±2；
当 a=2 时，
原式=2−22=1−2.
22. （1） 30
补全的统计图如图所示：
【解析】根据题意得：总的车票数是：20+40+10÷1−30%=100（张），
则去C地的车票数量是 100−70=30（张）．
（2） 李明同学抽到去B地的概率是 40100=25．
（3） 根据题意列表：
共有 12 种等可能的情况，其中和为偶数的有 6 种，
∴ 两个数字之和是偶数时的概率是 612=12，
∴ 票给红红的概率是 12，
∴ 这个规定对双方公平．
23. 设购买 1 件 A 商品需 x 元，1 件 B 商品需 y 元，
可得：
6x+5y=270,3x+4y=180.
解得：
x=20,y=30.
答：购买 1 件 A 商品需 20 元，1 件 B 商品需 30 元，
20+30=50元.
答：购买 1 件 A 商品和 1 件 B 商品共需 50 元．
24. （1） ∵△ACB 与 △ECD 都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90∘，∠B=∠BAC=45∘．
∴∠ACE=∠BCD=90∘−∠ACD．
在 △ACE 和 △BCD 中，
CE=CD,∠ACE=∠BCD,AC=BC,
∴△ACE≌△BCD．
（2） ∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠B=45∘，
∴∠EAD=45∘+45∘=90∘，
∵BD=12，
∴AE=BD=12．
在 Rt△EAD 中，∠EAD=90∘，DE=13，AE=12，
由勾股定理，得 AD=5．
∴AB=BD+AD=12+5=17．
25. （1） ∵ 点 B3,3 在双曲线 y=kx 上，
∴ k=3×3=9；
（2） 过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 B 作 BN⊥x 轴于 N，
则 ∠DMA=∠ANB=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠DAB=90∘，AD=AB，
∴ ∠MDA+∠DAM=90∘，∠DAM+∠BAN=90∘，
∴ ∠ADM=∠BAN，
在 △ADM 和 △BAN 中，
∠MDA=∠NAB,∠DMA=∠ANB,AD=BA,
∴ △ADM≌△BANAAS，
∵ B3,3，
∴ BN=ON=3，
设 MD=a，OM=b，
∵ 点 D 在双曲线 y=−4xx<0 上，
∴ ab=4，
∴ BN=AM=3，DM=AN=a，
∴ OA=3−a，
即 AM=b+3−a=3，a=b，
∵ ab=4，
∴ a=b=2，
∴ OA=3−2=1，
即点 A 的坐标是 1,0．
26. （1） 90；直径所对的圆周角是直角
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，
∴∠ACB=90∘（直径所对的圆周角是直角）．
（2） △EAD 是等腰三角形．
证明：∵∠ABC 的平分线与 AC 相交于点 D，
∴∠CBD=∠ABE，
∵AE 是 ⊙O 的切线，
∴∠EAB=90∘，
∴∠AEB+∠EBA=90∘，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90∘，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD，
∴△EAD 是等腰三角形．
（3） ∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴ 在 Rt△AEB 中，EB=10，
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE，
∴△CDB∽△AEB，
∴AEAB=DCBC=68=34，
∴ 设 CB=4x，CD=3x，则 BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在 Rt△ACB 中，
AC2+BC2=AB2，
即：3x+62+4x2=82，
解得：x=−2（舍去）或 x=1425，
∴BD=5x=145．
27. （1） 在直线 y=x+3 中，令 x=0，则 y=3，
∴ 点 C0,3，
把点 B1,0 与点 C0,3 代入 y=−33x2+bx+c，得：c=3,−33+b+c=0,
解得：b=−233,c=3,
∴ 抛物线的解析式为：y=−33x2−233x+3．
（2） ①如图 1，连接 OQ，
在直线 y=x+3 中，令 y=0，则 x=−3，
∴ 点 A−3,0，
∵S△AQC=S△AOQ+S△OCQ−S△AOC，
∴S=12×3−33t2−233t+3+12×3⋅−t−12×3×3，
∴S=−12t2−2+32t，即 S=−12t+2+322+7+438−3 ∴ 当 t=−2+32 时，S最大值=7+438；
② ∵ 点 B1,0，C0,3，
∴OB=1，OC=3，
在 Rt△BOC 中，tan∠CBO=OCOB=3，
∴∠CBO=60∘，
如图 2，作直径 ET 交 ⊙I 于点 T，连接 FT，
则 ∠EFT=90∘，
又 ∠FTE=∠CBO=60∘，sin∠FTE=EFET，EF=ET⋅sin60∘=32ET，
当 BD⊥AC 时，此时直径 BD 最小，即直径 ET 最小，EF 的值最小，
在 Rt△AOC 中，OA=OC=3，
∴∠CAO=45∘，
在 Rt△ADB 中，
BD=AB⋅sin∠CAO=ABsin45∘=1−−3sin45∘=2+62,
∴EF=32ET=32BD=32×2+62=6+324,
此时点 Q 的坐标为 3−3,4−3．
28. （1） 2+m；m−2
【解析】当 2 （2） 如图 1 中，
在 Rt△EFG 中，
∵∠EFG=∠A=30∘，∠EGF=90∘，
∴FG=EF⋅cs30∘=PE⋅cs30∘=32EP，
∴ 当点 E 与点 C 重合时，PE 的值最大，
易知此时 EP=AC×BCAB=53×510=532，
∵EP=AP⋅tan30∘=2+m⋅33，
∴532=2+m×33，
∴m=5.5．
（3） ①当 0则有 AD=2DH=2，
∴DH=DQ=1，即 m=1．
当 2如图 3 中，设 ⊙O 切 AC 于 H，连接 OH．
则 AO=2OH=4，AP=4+2=6，
∴2+m=6，
∴m=4．
如图 4 中，设 ⊙O 切 BC 于 N，连接 ON．
在 Rt△OBN 中，OB=ONsin60∘=433，
∴AO=10−433，
∴AP=12−433，
∴2+m=12−433，
∴m=10−433，
综上所述，当 m 为 1 或 4 或 10−433 时，⊙O 与 △ABC 的边相切．
② 1163+527
【解析】如图中，点 F 的运动轨迹是 F1→F2→B．
易知 AF1=233，CF2=532，AC=53，
∴F1F2=53−233−532=1136，
∵∠FEP=60∘，∠PEB=30∘，
∴∠FEB=90∘，
∴tan∠EBF=EFEB=EPEB 为定值，
∴ 点 F 的第二段的轨迹是线段 BF2，
在 Rt△BF2C 中，BF2=BC2+F2C2=52+5322=527，
∴ 点 F 的运动路径的长为 1163+527．