江苏省前黄高级中学2021-2022学年高三上学期10月学情检测数学【试卷+答案】

江苏省省前黄中学2022届高三第一学期学情检测（一）

                    数学试卷               2021.10

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分*

1．已知集合,则（    ）

A.  B.            C.         D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．下列函数中，最小值为4的是（    ）

A．  B．

C．  D．

4．设，则的大小关系是（     ）

A.            B.         C.        D.

5．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（  ）

附：若，则，.

    A．          B．         C．            D．

6．已知为的导函数，则的图象是（   ）

A.  B. C. D.

7．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（   ）天，蒲草和菀草高度相同.          (      )

（已知，，结果精确到0.1）

A 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8

8．已知其中，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则下列说法正确的是（      ）

A. 曲线与有两条这样的公切线        B.

C.当时，取最小值                            D.的最小值为

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

9．若，则有（      ）

A.                         B.

 C.                      D.

10．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是          (     )

A．的最小正周期为4      
B．的图像关于直线对称 

C．当时，函数的最大值为2       
D．当时，函数的最小值为

11．已知，则下列说法中正确的是（   ）

A．函数的最小正周期为              

B．函数在上单调递减

C．函数的图象可由函数图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长原来的2倍得到

D．是函数图象的一个对称中心

12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心为，且对任意恒成立，则（     ）

A.  B.        C. 的值可能是  D. 的值可能是

三、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）

13．在等差数列中，，则的值为_________．

14．的展开式中的系数是             .

15．为调查新冠疫苗的接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有             .

16．已知函数，关于的方程恰有四个不同的实数根，则正数的取值范围是              .

四、解答题（本题共6小题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

（1）求的值；

（2）若角满足，求的值．

18．已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为 ，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前项和的取值范围．

19．下面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．

已知中,是边的中点．你删去的条件是      ，请写出用剩余条件解答本题的过程．

（1）求的长；

（2）的平分线交于点，求的长.

20．如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，

，.

（1）求证：平面；

（2）当的长为何值时，二面角的大小为？

21．北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜、打破4项世界纪录、创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全都登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查.

（1）从混合的乒乓球中任取一个.

①求这个球是合格品的概率；

②已知取到的是合格品,求它取自第一批乒乓球的概率.

（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取两次，每次抽取一个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批次的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.

22．已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求使在区间上恒成立的的所有值.

江苏省省前黄中学2022届高三第一学期学情检测（一）

(参考答案)

数学（学科）试卷

1．A  2. B  3．C  4．A  5．B  6．A  7．B

8．D  9.BC   10. ABC   11．ABD   12．ABC

【详解】由题意可得，

因为，所以，所以，

解得，故.

因为，所以等价于.

设，则，从而在上单调递增.

因为，所以，即，

则（当且仅当时，等号成立），

从而，故.

13．  14  15．   16．

17．解：(1)由角的终边过点得，                 ……2分

所以．                                 ……5分

（2）由角的终边过点得，

由得．                       ……7分

由得，

所以或．                       ……10分（缺一个答案扣一分）

18．解：（1）设正项等差数列的公差为，

∵，且成等比数列，∴，∴，

∴                            ……3分

由得，

又，∴.                              ……6分

证明：（2）    ……8分

  ∴

                          ……10分

∵，∴.                                       ……12分

19．解：删②③两解，不合.

方法一：删①.                                                    ……2分

（1）取中点，设中，可得.         ……4分

中，可得，即.                              ……6分

（2）中，由余弦定理，∴.      ……8分

设，由可得.                  ……12分

方法二：删④.                                                  ……2分

（1）中，，可得.                   ……4分

中，可得, .                              ……6分

（2）余弦定理易得, .             ……8分

设，由，可得.            ………12分

方法三：删④.                                                     ……2分

（1）在与中,由余弦定理得

                     ……4分

得.                                                   ……6分

（2）由余弦定理得，.              ……8分

设，由，可得.              ……12分

20证明：（1）因为平面平面，平面平面， 
，平面，

所以平面，                                ……2分

又平面，所以．

又因为，，平面，

所以平面．                                 ……4分

解：（2）如图所示，以点为坐标原点，，和所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系．                                     ……5分

过点作于点．在中，，，所以．

因为，所以，

所以，所以，
所以，

所以，所以．                         ……7分

设，则，，，．

所以，.              ……8分

设平面的法向量为，则，即，

令，得平面的一个法向量为．                 ……10分

又因为平面，所以平面的一个法向量为，

所以，解得，

所以当时，二面角的大小为60°．                ……12分

21．解：（1）设表示“取自第批乒乓球（）”；表示“取到的是合格品”。

①    

                              ……3分

②                              ……6分

（2）由题知，随机变量的所有可能取值为                      ……7分

                                  ……10分

故随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．                              ……12分

22．解：（1）由题意得，
①当时，，则在区间上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．……4分

（2）时，，

∵在区间上恒成立，∴，∴.       ……5分
令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴.                

    ∴，即.      ……8分

设，则，

令，得，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
∴在区间上恒成立，
当且仅当时，，                      

∴满足不等式的的值为．              ……11分
综上，使在区间上恒成立的的所有值为．   ……12分