江苏省前黄高级中学2021-2022学年高三上学期10月学情检测数学【试卷+答案】

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江苏省省前黄中学2022届高三第一学期学情检测（一）                    数学试卷               2021.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分*1．已知集合,则（    ）A.  B.            C.         D. 2．设，则“”是“”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．下列函数中，最小值为4的是（    ）A．  B．C．  D．4．设，则的大小关系是（     ）A.            B.         C.        D. 5．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（  ）附：若，则，.    A．          B．         C．            D．6．已知为的导函数，则的图象是（   ）A.  B. C. D. 7．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（   ）天，蒲草和菀草高度相同.          (      )（已知，，结果精确到0.1）A 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.88．已知其中，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则下列说法正确的是（      ）A. 曲线与有两条这样的公切线        B.C.当时，取最小值                            D.的最小值为 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．若，则有（      ）A.                         B.  C.                      D. 10．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是          (     )A．的最小正周期为4      
B．的图像关于直线对称 C．当时，函数的最大值为2       
D．当时，函数的最小值为11．已知，则下列说法中正确的是（   ）A．函数的最小正周期为               B．函数在上单调递减C．函数的图象可由函数图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长原来的2倍得到D．是函数图象的一个对称中心12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心为，且对任意恒成立，则（     ）A.  B.        C. 的值可能是  D. 的值可能是 三、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．在等差数列中，，则的值为_________．14．的展开式中的系数是             .15．为调查新冠疫苗的接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有             .16．已知函数，关于的方程恰有四个不同的实数根，则正数的取值范围是              .    四、解答题（本题共6小题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值； （2）若角满足，求的值．         18．已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为 ，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和的取值范围．       19．下面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．已知中,是边的中点．你删去的条件是      ，请写出用剩余条件解答本题的过程．（1）求的长；（2）的平分线交于点，求的长.             20．如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，.（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为？        21．北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜、打破4项世界纪录、创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全都登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查.（1）从混合的乒乓球中任取一个.①求这个球是合格品的概率；②已知取到的是合格品,求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取两次，每次抽取一个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批次的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.         22．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求使在区间上恒成立的的所有值.     江苏省省前黄中学2022届高三第一学期学情检测（一）(参考答案)数学（学科）试卷1．A  2. B  3．C  4．A  5．B  6．A  7．B8．D  9.BC   10. ABC   11．ABD   12．ABC【详解】由题意可得，因为，所以，所以，解得，故.因为，所以等价于.设，则，从而在上单调递增.因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，故. 13．  14  15．   16． 17．解：(1)由角的终边过点得，                 ……2分所以．                                 ……5分（2）由角的终边过点得，由得．                       ……7分由得，所以或．                       ……10分（缺一个答案扣一分） 18．解：（1）设正项等差数列的公差为，∵，且成等比数列，∴，∴，∴                            ……3分由得，又，∴.                              ……6分证明：（2）    ……8分  ∴                          ……10分 ∵，∴.                                       ……12分 19．解：删②③两解，不合.方法一：删①.                                                    ……2分（1）取中点，设中，可得.         ……4分中，可得，即.                              ……6分（2）中，由余弦定理，∴.      ……8分设，由可得.                  ……12分方法二：删④.                                                  ……2分（1）中，，可得.                   ……4分中，可得, .                              ……6分（2）余弦定理易得, .             ……8分设，由，可得.            ………12分方法三：删④.                                                     ……2分（1）在与中,由余弦定理得                      ……4分得.                                                   ……6分（2）由余弦定理得，.              ……8分设，由，可得.              ……12分 20证明：（1）因为平面平面，平面平面， 
，平面，所以平面，                                ……2分又平面，所以． 又因为，，平面，所以平面．                                 ……4分解：（2）如图所示，以点为坐标原点，，和所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系．                                     ……5分过点作于点．在中，，，所以．因为，所以，所以，所以，
所以，所以，所以．                         ……7分设，则，，，．所以，.              ……8分设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为．                 ……10分又因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，解得，所以当时，二面角的大小为60°．                ……12分 21．解：（1）设表示“取自第批乒乓球（）”；表示“取到的是合格品”。①                                   ……3分②                              ……6分（2）由题知，随机变量的所有可能取值为                      ……7分                                   ……10分故随机变量的分布列为随机变量的数学期望．                              ……12分 22．解：（1）由题意得，
①当时，，则在区间上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．……4分（2）时，，∵在区间上恒成立，∴，∴.       ……5分
令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴.                     ∴，即.      ……8分设，则，令，得，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
∴在区间上恒成立，
当且仅当时，，                       ∴满足不等式的的值为．              ……11分
综上，使在区间上恒成立的的所有值为．   ……12分