江苏省南京市2022届高三上学期8月学情检测考前热身卷 数学 (含答案)

南京市2022届高三上学期8月学情检测考前热身卷

数学试题 

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1．已知非零向量，，那么“､的夹角为钝角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，，且，则的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

4．某课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

5．九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为，，研究发现{an+1}是等比数列，已知，则（    ）

A．127 B．128 C．255 D．256

6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（    ）．

A． B． C． D．

7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当号时，（    ）

A． B． C． D．

8．已知实数，满足，则对于任意实数，的最小值为（    ）

A．4 B．16 C．17 D．25

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．若函数，则（    ）

A．是周期函数 B．在上有4个零点

C．在上是增函数 D．的最小值为

10．已知P为双曲线上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是 （    ）

A．∠APB＝ B．k1k2＝ C．mn＝ D．|AB|≥

11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则（    ）

A．的展开式中的常数项是

B．的展开式中的各项系数之和为

C．的展开式中的二项式系数最大值是

D．，其中为虚数单位

12．已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ）

A．数列单调递增，数列单调递减 B．

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．的展开式中的系数为_____.

14．已知 ，则___________.

15．如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___________．

16．已知函数，对任意的，使得，则___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本题满分10分）

在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．

已知数列的前n项和为，____，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？

18．（本题满分12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足．

（1）求角的大小；

（2）若边长，求的周长的取值范围．

19．（本题满分12分）

某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为，两块试验田（假设，两块试验田地质情况一致），10月10日在试验田播种该新品种小麦，10月20日在试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：），按照[20，30)，[30，40)，[40，50]进行分组，得到如下表格．其中千粒重不低于的小麦视为饱满，否则为不饱满．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；

（2）从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；

（3）用样本估计总体，从试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为，求数学期望．

参考公式：，其中．

20．（本题满分12分）

如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.

21．（本题满分12分）

已知点，，的周长等于，点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

22．（本题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求在上的最值；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围．

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13.    4096       14.          15.       16.   -3  

四、解答题

17. 解：若选①时，数列为公比为q的递增的等比数列，，且是和的等差中项，

故，解得，

整理得，

故或（舍去），

所以．

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

若选②时，，

当时，

所以，（首项符合通项），

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

18. （1）的面积满足，由面积公式和余弦定理得，

则，即，又，所以．

（2）因为，，所以由正弦定理得，

则的周长

，

由得，则，所以，

故的周长的取值范围是，．

19. （1）补全的列联表如下：

由表中的数据可得，

由于，

所以有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关．

（2）解法一：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率．

解法二：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中没有饱满小麦的概率，

故所求概率．

（3）因为从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以，

故．

20. （1）由题意，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，

因为底面，所以，

又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，

又因为，且平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，则，，

可得，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，所以，

又由，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，所以，

所以，

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21. 解：（1）设，，由得，，.

已知点，，的周长等于，，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆.，，所以，，.

故点的轨迹方程为（）.

将，代入（）并化简得到点的轨迹的方程：

（）.

（2）当直线与轴垂直时，求得，，，，符合要求.

此时直线的方程为：.

当直线存在斜率时，设直线的方程为，，.

由消去整理得，

由韦达定理得，，

则.

圆心到直线的距离，则.

.

，整理得，，即.

此时直线的方程为.

综上，符合条件的直线存在三条，其方程为和.

22. （1）当时，，可得．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为，，，

所以，．

（2）因为，

可得：．

①当时，，此时只有一个零点，故不成立；

②当时，在上单调递减，在上单调递增．

因为，，

当时，；

当时，，．

有两个不同的零点，成立；

③当时，令，得或．

当时，，恒成立，

在上单调递增，至多有一个零点；

当时，即．

若或，则；若，则．

在和上单调递增，在上单调递减．

当时，即．

若或，则；若时，则．

在和上单调递增，在上单调递减．

当时， ，

．

仅有一个零点，不合题意．

综上，有两个零点，的取值范围是．

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