江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高二下学期第一次学情检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高二下学期第一次学情检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若,则n的值为( )
A.8B.9C.10D.12
2．可表示为( )
A.B.C.D.
3．已知直线l的方向向量为,平面的法向量为,若直线l与平面垂直,则实数x的值为( )
A.B.-10C.D.10
4．向量,,若,且,则的值为( )
A.-1B.1C.-4D.4
5．关于的展开式,下列结论不正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0
C.常数项为-20D.系数最大的项为第3项
6．如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有5种颜色可供选择,则不同的涂色方法的有_____种( )
A.540B.360C.300D.420
7．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数,若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数字为( )
A.2300B.2301C.2302D.2303
8．如图,正方体的棱长为2,线段上有两个动点E,F（E在F的左边）,且.下列说法错误的是( )
A.当E,F运动时,不存在点E,F使得
B.当E,F运动时,不存在点E,F使得
C.当E运动时,二面角的最大值为
D.当E,F运动时,二面角为定值
二、多项选择题
9．下面四个结论正确的是( )
A.空间向量,若,则
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.已知是空间的一组基底,若,则也是空间的一组基底
D.任意向量,,满足
10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学,下列说法正确的是( )
A.若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻,则不同的排法有12种
B.若五位同学排队最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种
C.若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队,则不同的排法有20种
D.若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动,每个社区至少一位同学,则不同的分配方案有72种
11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301、423等都是“凹数”,则下列结论中正确的是( )
A.组成的三位数的个数为60B.在组成的三位数中,偶数的个数为30
C.在组成的三位数中,“凹数”的个数为20D.在组成的三位数中,“凹数”的个数为24
12．如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,D是棱的中点,P是AD的延长线与的延长线的交点.若点Q在直线上,则下列结论错误的是( )
A.当Q为线段的中点时,平面
B.当Q为线段的三等分点时,平面
C.在线段的延长线上,存在一点Q,使得平面
D.不存在点Q,使DQ与平面垂直
三、填空题
13．在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为,则的长为____________.
14．某篮球队友12名队员,有6名只打前锋,4名只打后卫,甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋,2名后卫）,则出场阵容共有__________种.
15．设,若,则实数__________.
16．在边长为2的正方体中,E,F分别为DA,的中点,M,N分别为线段,上的动点（不包括端点）满足,则线段MN的长度的取值范围为___________.
四、解答题
17．回答下列问题.
（1）计算：;
（2）已知,;求的值.
18．已知空间中的三点,,,设,.
（1）若与互相垂直,求k的值;
（2）求点N到直线PM的距离.
19．如图,四棱锥中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,,,E是PD的中点.
(1)求E到平面PAB的距离;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的正弦值.
20．已知,且.
(1)求n的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
21．如图1,在平面内,ABCD是且的菱形,和都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使与重合于点.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点位于平面ABCD同侧（图2）.
(1)设二面角的大小为,若,求线段BE的长的取值范围;
(2)若在线段上存在点P,使平面平面EAC,求与BE之间满足的关系式,并证明：当时,恒有.
22．已知（且,）.
（1）设,求中含项的系数;
（2）化简：;
（3）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,则由组合数的性质有,即.
故选：C.
2．答案：B
解析：总共有个数连乘,故.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意得,则,
即,,
解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为向量,,所以,解得,
所以向量,
因为,所以,所以,
所以的值为-4.
故选：C.
5．答案：D
解析：,可得二项式系数和为,故A正确;
令得所有项的系数和为0,故B正确;
常数项,故C正确;
,系数为,最大为或,为第3项或第5项,故D错误.
故选：D.
6．答案：D
解析：分两种情况讨论即可：
(i)②和④涂同种颜色时,
从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有1种涂法,③有3种涂法,⑤有3种涂法,此时有5×4×1×3×3＝180种涂法;
(ii)②和④涂不同种颜色时,
从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有3种涂法,③有2种涂法,⑤有2种涂法,此时有种涂法;
总共有种涂色方法.
故选：D﹒
7．答案：B
解析：首位为1的有个,前两位为的有个,前两位为21的有个,
因而第85个数字是前两位为23的最小数,即为2301,
故选：B.
8．答案：C
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.
因为E,F在上,且,,
可设,则,
则,
所以,
故恒为正,故A正确.
若,则A,B,,四点共面,与AB和是异面直线矛盾,故B正确.
设平面ABE的法向量为,
又,所以,即,
取,则,
平面ABC的法向量为,所以.
设二面角的平面角为,则为锐角,
故,
因为,在上单调递减,
所以,故,
当且仅当时,取得最大值,即取最小值,故C错误.
连接BD,,.平面EFB即为平面,而平面AEF即为平面,故当E,F运动时,二面角的大小保持不变,故D正确.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A：空间向量,若,则,故A正确;
对于B：若对空间中任意一点O,有,
由于,则P,A,B,C四点共面,故B正确;
对于C：已知是空间的一组基底,若,则两向量之间不共线,故也是空间的一组基底,故C正确;
对于D：任意向量,,满足,由于是一个数值,也是一个数值,则说明和存在倍数关系,由于,,是任意向量,不一定存在倍数关系,故D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：对于A,若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种,然后与戊全排列的安排种,丙、丁不能相邻的安排有种,共有种,故A不正确;
对于B,若五位同学排队最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则当甲在左端时,则有种安排方法;当乙在左端时,甲有种安排方法,其他人有种安排方法,故符合的总的安排方法种数为种,故B正确;
对于C,若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队,则不同的排法有种,故C正确;
对于D,若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动,每个社区至少一位同学,则4人分三组的分组方法数为,再把三个组分配到三个社区的种方法数为,则总的安排方法数为种,故D不正确.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：对于A,因为百位数上的数字不能为零,所以组成的三位数的个数为
,故A不正确;
对于B,将所以三位数的偶数分为两类,①个位数为,则有种,
②个位数为2或4,则有种,
所以在组成的三位数中,偶数的个数为,故B正确;
对于C、D,将这些“凹数”分为三类,①十位为0,则有种,
②十位为1,则有种,
③十位为2,则有种,
所以在组成的三位数中,“凹数”的个数为, 故C正确,D不正确.
故选：BC.
12．答案：ABC
解析：如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
易知,,,,,,,
所以,,,.
设平面的一个法向量为,
则,取,则,,
所以平面的一个法向量为.
假设平面,且,
则.
因为也是平面的法向量,
所以与共线,
所以成立,
但此方程关于无解,因此不存在点Q,使DQ与平面垂直,所以选项ABC不正确,选项D正确.
故选：ABC.
13．答案：
解析：由已知可得,且,
由空间向量数量积的定义可得,
所以,,
因此,.
故答案为：.
14．答案：636
解析：按甲乙二人打后卫的人数分三类：
（1）甲乙二人都不打后卫：;
（2）甲乙二人有一人打后卫：;
（3）甲乙二人都打后卫：.
所以,出场阵容共有种.
故答案为：636.
15．答案：,
解析：因为,
令得①,
令得②,
①②得,
所以,
其中
因为,
所以,
即能被整除,
又,
又被6除余1,所以能被6整除,即,
所以,.
故答案为：,.
16．答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得：,
设,其中,
则,
,
据此可得：,,
由空间中两点之间距离公式可得：
当时,,当时,,
结合二次函数的性质可得线段MN的长度的取值范围为.
17．答案：（1）325;
（2）126.
解析：（1）,则,,,
（2）,则或,解得或（舍去）
,则.
18．答案：(1) 或
（2）
解析：因为,,,
所以,
（1）,,
因为,
所以,
整理得,
解得或,
所以k的值为或.
(2) 设直线PM的单位方向向量为,
则.
由于,
所以,
所以点N到直线PM的距离.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）取线段AD的中点O,连接OP、OC,
因为为等边三角形,O为AD的中点,所以,,
因为平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,
平面ABCD,
在底面ABCD中,因为,则,即,
因为O为AD的中点,则,所以,四边形ABCO为平行四边形,
,,
以点O为坐标原点,OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、,
设平面PAB的法向量为,,,
则,取,可得,
,所以,点E到平面PAB的距离为.
（2）设,其中,
,
平面ABCD的一个法向量为,
由题意可得,
整理可得,因为,解得,
所以,,
设平面ABM的法向量为,则,
取,则,
所以,,则,
因此二面角的正弦值为.
20．答案：(1)
(2)-2
(3)
解析：（1）, ,
,
,
,解得（舍）或,
.
（2）由第（1）问,,
①,
令①式中,则,
,
令①式中,则,即,
.
（3）令第（2）问①式中,则,
②,
由第（2）问,③,
②,③两式相加,得
,
.
21．答案：(1)
(2),证明见解析
解析：（1）因为,,,AD,平面,故平面ABCD,
设菱形ABCD的中心为O,以O为原点,对角线AC,BD所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系如图,设,
,,,
,,
设平面的法向量为,
则
令得.
设平面EAC的法向量为,
则,
令得.
二面角的大小为,由题设可得.
,,
,整理得且,
又,解得,
所以t的取值范围是.
（2）设,,,
令,则,
解得,,则,
,,
且,则为平行四边形,从而,
平面EAC,平面EAC,得平面EAC,
由平面平面EAC,得平面EAC,,
,化简得：,（ta）,即,
所以当时,,即当时,恒有.
22．答案：（1）330;
（2）;
（3）见解析
解析：（1）由题意知：
所以中含项的系数为：
（2）
两边求导得,令得到,
又且所求式子的通项为
（3）①
则函数中含项的系数为
因为②
①-②得：
即
所以
函数中含项的系数为：
所以.