江苏省高邮市2021-2022学年高三上学期10月学情调研数学【试卷+答案】

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）复数的共轭复数是　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知集合，1，2，3，，，，，则中所含元素的个数为　　

A．5 B．6 C．10 D．15

3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间，上单调递减的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为、值域为，则　　

A． B．， C．， D．，

5．（5分）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，则、、的大小关系为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则，其中　　

A． B． C． D．

8．（5分）某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量（单位：与速度（单位：的下列数据：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：

甲：，乙：，丙：，丁：．其中最符合实际的函数模型为　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）

9．（5分）在的条件下，下列不等式一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）将函数的图像向右平移个单位，可得下列哪些函数　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即．下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）在中，角、、的对边分别为、、，已知，下列哪些条件一定能够得到？　　

A． B． 

C． D．边上的中线长为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）

13．（5分）已知一个矩形的周长为，则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为 　　．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　．

①；

②为偶函数；

③当时，导函数．

15．（5分）根据事实：，，，，，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 　　，该命题的否定为 　　．

16．（5分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知函数在区间上的最小值为1，

（1）求常数的值；

（2）若，试求的值．

18．（12分）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作于点．

（1）若平面平面，求证：；

（2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值．

19．（12分）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售．如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理．商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；

（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由．

20．（12分）四边形为圆内接四边形，，．

（1）若，求；

（2）若，求四边形的面积．

21．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）令，判断函数的零点个数，并证明你的结论．

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）若，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）复数的共轭复数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：复数，

共轭复数是

故选：．

2．（5分）已知集合，1，2，3，，，，，则中所含元素的个数为　　

A．5 B．6 C．10 D．15

【解答】解：分以下四种情况，

1，，有四个，，，，，

2，，有三个，，，，

3，，有两个，，，

4，，有一个，

5，，有五个，，，，，，

则中所含元素的个数为15，

故选：．

3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间，上单调递减的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，将的图象轴翻折到上方，可知周期，在区间，上单调递减，所以对；

对于的周期，所以不对．

对于的周期，在定义域内都是单调递增，所以不对；

对于的周期，所以不对．

故选：．

4．（5分）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为、值域为，则　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：，且的定义域为，，值域为，，

则的定义域为，，值域为，，

所以的定义域为，，值域为，，

则，，，，

所以，．

故选：．

5．（5分）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：对一切实数都成立，

①时，恒成立，

②时，，

解可得，

综上可得，

故选：．

6．（5分）已知，则、、的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，即，

，，

，，即，

，

故选：．

7．（5分）已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则，其中　　

A． B． C． D．

【解答】解：设为内切圆的圆心，和分别是内切圆的半径，外接圆半径；

如图所示：

则，，

所以，，

在中，，即，

所以，

，即，

整理得：，

所以．

故．

故选：．

8．（5分）某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量（单位：与速度（单位：的下列数据：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：

甲：，乙：，丙：，丁：．其中最符合实际的函数模型为　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【解答】解：依题意可知该函数必须满足三个条件：

第一，定义域为，；

第二，在定义域上单调递增；

第三，函数经过坐标原点．

当时，没有意义，排除丁，

函数不经过坐标原点，排除甲，

函数单调递减，排除丙，

故最符合实际的函数模型为乙．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）

9．（5分）在的条件下，下列不等式一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，当时，，故错误，

对于，，

，故正确，

对于，，

，

，，故，故正确，

对于，，，

，

故，故正确．

故选：．

10．（5分）将函数的图像向右平移个单位，可得下列哪些函数　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：将函数的图像向右平移个单位，得到．

故选：．

11．（5分）函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即．下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在给定区间内恒为正，

对于，，则在时恒成立，不符合题意，故选项错误；

对于，，则恒成立，符合题意，故选项正确；

对于，，则在时恒成立，符合题意，故选项正确；

对于，，则在时恒成立，不符合题意，故选项错误．

故选：．

12．（5分）在中，角、、的对边分别为、、，已知，下列哪些条件一定能够得到？　　

A． B． 

C． D．边上的中线长为

【解答】解：由题意，

对于，，由余弦定理可得，可得，可得，解得，（负值舍去），故错误；

对于，由，可得，，可得，

由正弦定理，可得，故正确；

对于，由，由正弦定理可得，可得，

由余弦定理，可得，整理可得，解得，或，

可得，或7，故错误；

对于，若边上的中线长为，

因为，两边平方，可得，可得，整理可得，

所以解得，（负值舍去），故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）

13．（5分）已知一个矩形的周长为，则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为 　　．

【解答】解：设矩形的长与宽分别为，，

则，即，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

则旋转形成的圆柱的侧面积为，

所以矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为．

故答案为：．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　（答案不唯一）　．

①；

②为偶函数；

③当时，导函数．

【解答】解：，

①为周期为，符合题意，

②，是偶函数，

③当时，导函数．

故答案为：（答案不唯一）．

15．（5分）根据事实：，，，，，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 　，　，该命题的否定为 　　．

【解答】解：由归纳推理得，，，

命题的否定为：，，

故答案为：，，，．

16．（5分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为 　　．

【解答】解：根据题意，设的对称中心为点

则函数是奇函数，则有，

变形可得，

则有，

必有，；

即函数的对称中心为；

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知函数在区间上的最小值为1，

（1）求常数的值；

（2）若，试求的值．

【解答】解：（1），

由，得，

故的最小值为，

所以．

（2）由，得，

设，则，且，，

故，

因为，则，

从而，

所以．

18．（12分）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作于点．

（1）若平面平面，求证：；

（2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为是正方形，故又平面，平面，故平面又平面，平面平面，从而获证．

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，设，

则，0，，，0，，，，，，，，则，

设，，，则，由于，

故，即

又点在上，故，即，，，，

由解得，所以，

设平面的法向量，由得，，

从而解得，即得又底面的法向量，

故．

所以，平面与底面所成锐二面角的余弦值为．

19．（12分）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售．如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理．商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；

（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由．

【解答】解：（1）的可能取值为44、54、64，

，

，

，

的分布列为：

．

（2）若当天购进17件，则利润为：

，

因为，所以购进16件更合理．

20．（12分）四边形为圆内接四边形，，．

（1）若，求；

（2）若，求四边形的面积．

【解答】解：（1）在圆内接四边形中，，

由余弦定理得，故，

再根据，解得．

由于四边形为圆内接四边形，故，所以．

在中，由余弦定理得，即，

所以，．

（2）设，在与中，分别由余弦定理得，

，

又由于，即，解得，即得．

故，

．

21．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）令，判断函数的零点个数，并证明你的结论．

【解答】解：（1）函数，

由题意可知，且，

令，解得，

令，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）已知且

当时，，

设，

则，

由于，所以，即在上单调递减，

又，（1），

所以存在，使得函数在上单调递增，在，上单调递减，

当，时，（1），故在，上无零点；

当时，时，，，故在上必有一个零点．

当时，由（1）可知，与都单调递减，

所以在，上单调递减，

又（1），，

故在，上必有一个零点．

当时，由（1）可知，单调递减，

故，

所以，

则在上无零点．

综上所述，函数在其定义域上共两个零点．

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，，，，

则曲线在处的切线斜率，，

故曲线在处的切线方程为：，

结合题意从而有，，，所以．

所以，；

（2）方法一（极限分析）：设，，显然，故函数在单调递增．

当时，；时，，

故存在，有时，；，时，，且，

所以函数在上单调递减，在，上单调递增，所以．

由，即得，所以，由于，故而，

即，也即，由，则，

所以，，

故实数的取值范围为，．

方法二（构造函数），即，

即，

构造函数，问题转化为注意到函数在其定义域内为增函数，

故，即，所以．

设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为，

所以，则，

故实数的取值范围为，．