2021-2022学年江苏省邳州市宿羊山高级中学高一下学期第二次学情检测数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省邳州市宿羊山高级中学高一下学期第二次学情检测数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．四棱台的侧棱长一定相等 B．有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱

C．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行 D．三棱锥的四个面不可能全是直角三角形

【答案】C

【分析】根据简单几何体的结构特征逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.

【详解】对于选项A：只有正四棱台的侧棱长一定相等，其它四棱台的侧棱长不一定相等故，选项A错误；

对于选项B：四棱柱的两个平行侧面垂直于底面，该四棱柱不一定是直四棱柱，

如图平面和平面都垂直于底面，但该四棱柱不是直四棱柱，

故选项B错误；

对于选项C：圆柱的任意两条母线所在直线互相平行，

故选项C正确；

对于选项D：三棱锥的四个面可能都是直角三角形，

如图：长方体中，三棱锥四个面都是直角三角形，故选项D错误.

故选：C.

2．下列说法正确的是（    ）

A．多面体至少有个面

B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

【答案】D

【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．

【详解】对于A，多面体至少有个面，故选项A错误；

对于B，有个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；

对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；

对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.

故选：D．

3．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，

故选：A

4．下列说法正确的是（    ）

A．任意三点确定一个平面

B．两个不重合的平面和有不在同一条直线上的三个交点

C．梯形一定是平面图形

D．一条直线和一个点确定一个平面

【答案】C

【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解.

【详解】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错；

B选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，

如没有公共点，则两平面平行，B错；

C选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，

所以梯形一定是平面图形，C对；

D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D错.

故选：C.

5．如图所示，用符号语言可表述为（　　）

A．，，

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】由题可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案.

【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，

所以用符号语言可表示为，，，

故选：A.

6．若 ，则 （    ）

A． B．1

C．0 D．2

【答案】A

【分析】根据复数乘方运算与模运算公式即可求解．

【详解】由得

所以

故选：A

7．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，得到，再结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】由，可得，

又由.

故选：D.

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断△ABC的形状是等边三角形

【详解】△ABC中，，则

又，则

由，可得，代入

则有，则，则

又，则△ABC的形状是等边三角形

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．任意两个复数都不能比大小

B．若，则当且仅当时，

C．若，且，则

D．若复数z满足，则的最大值为3

【答案】BD

【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.

【详解】解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；

对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；

对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；

对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；

故选：BD.

10．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（    ）

A．， B．，

C．，，共面 D．，，共点，，共面

【答案】ACD

【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.

【详解】解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；

由，得，故B正确；

当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；

当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；

故选：ACD.

11．三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（    ）．

A．三角形另一边长为7 B．三角形的周长为20

C．三角形内切圆周长为 D．三角形外接圆面积为

【答案】ABD

【分析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D选项的正确性.

【详解】可得另一边长为，

三角形的周长为20，则A正确，B正确；

设内切圆半径为，

则，

则，

则内切圆周长为，则C不正确；

设外接圆半径为，则，,

其面积为，

则D正确．

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计算.属于较易题.

12．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，

，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知向量，，若，则___________.

【答案】##

【分析】根据向量坐标的加法运算，可得的坐标，再根据，所以，再根据数量积的坐标运算，建立方程，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以，

又，所以，

所以.

故答案为：.

14．若，则__________．

【答案】

【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

15．设分别为三个内角的对边，已知，则______．

【答案】

【分析】由余弦定理可得，再由向量的数量积定义得，即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以=.

故答案为：.

16．已知复数满足，则的最大值为______.

【答案】##

【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.

【详解】设，由，可得，

则，即，

复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，

而表示复数对应的点到坐标原点的距离，

所以的最大值就是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量在同一平面上，且.

（1）若，且，求向量的坐标﹔

（2）若，且与垂直，求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）由条件设，则，求出，即可得出答案.

(2)由条件可得，，则，由此可得答案.

【详解】（1），设

，即 ，则.

，

或.

（2），

，，即

即则

18．已知，，，，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】(1) (2)

【分析】(1)由题意整理所给的三角函数式求得的值，然后结合角的范围即可确定的值；

(2)首先由同角三角函数基本关系求得的值，然后结合(1)中的结论和诱导公式、二倍角公式即可确定的值.

【详解】（1）.

因为，所以，所以，所以.

（2）因为，，所以，所以

.

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，二倍角公式与诱导公式的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．在中，内角的对边分别为，满足，.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.

（2）根据余弦定理求出，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：（1）由正弦定理知，

，

因为，

所以，由，故.

因为，所以.

（2）由余弦定理及知.

，，

，.

.

20．已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z.

（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；

（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；

（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.

【详解】点A，B对应的复数分别为，

对应的复数为z，，

（1）复数z是纯虚数，，

解得，

；

（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，

位于第四象限，，即，

.

【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.

21．如图所示，在长方体中，，，，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求异面直线与所成的角.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取的中点，连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，推导出，计算出、的值，可求得的值，即可得解.

【详解】（1）证明：在矩形中，，，

为的中点，则，则，同理可得，

所以，，，

平面，平面，，

，平面，

平面，因此，平面平面.

（2）解：取的中点，连接、，

因为为矩形，则且，

、分别为、的中点，且，

所以，四边形为平行四边形，则且，

所以，异面直线与所成角为或其补角，

平面，则平面，

平面，，且，

所以，，故.

因此，异面直线与所成的角为.

22．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.

（1）求证：平面.

（2）在上找一点使得平面平面，并证明.

【答案】(1) 证明见解析(2) 点为的中点.证明见解析

【分析】（1）取中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由题意，确定点为的中点；再给出证明：连接，，根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】（1）取中点，连接，，

∵，，

∴是平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）点为的中点.

证：连接，，

因为、分别是，的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

又因为，，所以且，

即四边形是平行四边形，所以，

因为平面，所以平面.

又因为，所以平面平面.

【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.