初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试复习练习题

这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试复习练习题，共20页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，25
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）．
A． 25 B． 14, C． 7 D． 7或25
3．如图由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）．
A．16B．25C．144D．169
4．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（ ）．
A．1B．2C．D．
5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取
三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ） ．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（ ）．
A．2米B．4米C．6米D．8米
7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）．
A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺
8．如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）．
A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1．2米的地方时（BC＝1．2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）．
A．1．2米B．1．5米C．2．0米D．2．5米
10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）．
A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24
二．填空题
11．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是
12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝ ．
13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 ．
14．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是 ．
15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是 ．
17．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝
A．B．C．D．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝ ．
三．解答题
19．已知在中， ， ， ．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试在下面 的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。（每个小方格的边长为1）
20．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
21．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
22．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
23．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
24．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2．5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0．7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0．4米，那么点B将向外移动多少米？
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90。，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点0重合，AC=b，BC=a，且满足 ．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t秒，连接OB，
①若△OAB为等腰三角形，求t的值；
②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形?若能，求出t的值：若不能，说明理由．
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 复习测试答案提示
一．选择题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）选D．
A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，25
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）选D．
A． 25 B． 14, C． 7 D． 7或25
3．如图由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）选B．
A．16B．25C．144D．169
4．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（ ）选B．
A．1B．2C．D．
解：如图，设两直角边为a，b，
∵大正方形的面积为5，
∴a2+b2＝5，
由题意4×ab+1＝5，
∴2ab＝4，
∴ab＝2，
故选：B．
5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取
三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ） 选C．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（ ）选B．
A．2米B．4米C．6米D．8米
7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）选C．
A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺
8．如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）选C．
A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1．2米的地方时（BC＝1．2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）选B．
A．1．2米B．1．5米C．2．0米D．2．5米
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2．5米，BE＝CD＝1．6米，ED＝BC＝1．2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2．5﹣1．6＝0．9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1．5（米）
故选：B．
10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）选C．
A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24
二．填空题
11．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是 24
12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝ 45° ．
解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，
此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 5m ．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是 2．5 ．
解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1．5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1．5＝2．5．
故答案为：2．5．
15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 130cm ．
解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是 7．2 ．
解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝＝15，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，
∴h＝＝＝7．2．
故答案为：7．2．
17．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝
A．B．C．D．
解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2021＝．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝ 2 ．
解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，
∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴AC•BC＝×AB•OM+AC•OG+BC•OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
三．解答题
19．已知在中， ， ， ．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试在下面 的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。（每个小方格的边长为1）
（1）解：在△ABC中，∵AB= ，AC=2 ，BC=5，
∴AB2+AC2=5+20=25=BC2 ， ∴△ABC为直角三角形．
（2）解：如图所示：
20．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
21．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
22．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
23．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4，
∴BE＝5＝CE，
∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2，
∵D是BC的中点，BD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
在Rt△BAC中：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2，
∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE＝．
24．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2．5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0．7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0．4米，那么点B将向外移动多少米？
解：在Rt△ABC中，∵AB＝2．5，BC＝0．7，
∴AC＝＝2．4米，
又∵AA1＝0．4，
∴A1C＝2．4﹣0．4＝2，
在Rt△A1B1C中，B1C＝＝1．5米，
则BB1＝CB1﹣CB＝1．5﹣0．7＝0．8米．
故：梯子底部B外移0．8米．
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90。，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点0重合，AC=b，BC=a，且满足 ．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t秒，连接OB，
①若△OAB为等腰三角形，求t的值；
②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形?若能，求出t的值：若不能，说明理由．
（1）解:∵ , ，
∴ ， ∴a=3，b=4
（2）解:①∵AC=4，BC=3，∴AB= =5，
∵OC=t ∴OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，
当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；
当OB=OA时，t2+9=（t+4）2,解得t= （舍去）．
综上所述，t=4或t=1；
②能．
∵t＞0，点C在OP上，∠ACB ∴只能是∠OBA=90°，
∴OB2+AB2=OA2 ， 即t2+9+25=（t+4）2 ， 解得t= ．
∴Rt△ABC在移动的过程中，能使△OAB为直角三角形，此时t= ．