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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三节 平抛运动教案
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52 平抛运动
[精讲精练]
[知识精讲]
知识点1、平抛运动的分解（如图所示）
y
x
o
x
y
v
vy
vx
s
α
θ
分运动与合运动
加速度
速度
位移
水平方向
（x方向分运动）
匀速直线运动
ax=0
vx=v0
x= v0t
竖直方向
（y方向分运动）
自由落体运动
ay=g
vy=gt
y=gt2/2
合运动
匀变速曲线运动
a合=g
方向竖直向下
与v0方向夹角为θ，
tanθ=vy/ vx= gt/ v0
与x方向夹角为α，
tanα=y/x= gt/ 2v0
注意：平抛运动的飞行时间、水平位移和落地速度等方面的注意问题：
（1）物体做平抛运动时在空中运动的时间，其值由高度h决定，与初速度无关。
（2）它的水平位移大小为x= v0，与水平速度v0及高度h都有关系。
（3）落地瞬时速度的大小==，由水平初速度v0及高度h决定。
（4）落地时速度与水平方向夹角为θ，tanθ= gt/ v0，h越大空中运动时间就越大，θ就越大。
（5）落地速度与水平水平方向夹角θ，位移方向与水平方向夹角α，θ与α是不等的。注意不要混淆。
（6）平抛物体的运动中，任意两个相等的时间间隔的速度变化量△v=g△t，都相等且△v方向怛为竖直向下。
（7）平抛运动的偏角与水平位移和竖直位移之间的关系：如右图所示，平抛运动的偏角θ即为平抛运动的速度与水平方向的夹角，所以有：tanθ=
tanθ=常称为平抛运动的偏角公式，在一些些问答题中可直接应用该结论分析解答。
y
x
o
x
y
v
vy
vx
s
θ
θ
（8）以抛点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0方向相同，竖直方向为y轴，正方向竖直向下，物体做平抛运动的轨迹上任意一点A（x，y）的速度方向的反向延长线交于x轴上的B点。B点的横坐标xB=x/2。
（9）平抛运动中，任意两个连续相等时间间隔内在竖直方向上分位移之差△h=gT2都相等。
（10）平抛物体的位置坐标：
以抛点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐标系（如图所示），据平抛运动在水平方向上是匀速直线运动和在竖直方向上自由落体运动知：
水平分位移x= v0t，
竖直分位移y=gt2/2，
t时间内合位移的大小
设合位移s与水平位移x的夹角为α，则tanα=y/x=（ gt2/2）/ v0t =gt/ 2v0。
轨迹方程：平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，叫轨迹方程，由位移公式消去t可得：y=gx2/2v02。显然这是顶点在原点，开口向下的抛物线方程，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。
x
y
x
o
y
s
α
（11）研究平抛运动的方法：
研究平抛运动采用运动分解的方法，平抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，故解决有关平抛运动的问题时，首先要把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。然后分别用两个分运动的规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使问题的解决得到简化。
[例1]如图所示，在倾角为α的斜面顶点A以初速度v0水平抛出一个小球，最后落在斜面上B点，不计空气阻力，求小球在空中的运动时间t及到达B点的速度大小。
[思路分析]：小球做的是平抛运动，AB长度为实际位移，设为L，则由平抛运动规律，水平方向：Lcosα= v0t ①
A
B
V0
α
竖直方向：Lsinα= gt2/2②
由①②得t= 2v0tanα/g
竖直速度vy=gt=2v0tanα
故速度 =
[答案] t= 2v0tanα/g，v=
[总结]1、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来处理
2、确定AB是实际位移，不能将α角当作落地时速度与水平方向的夹角。
θ
A
B
[变式训练1]如图所示，从倾角为θ斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上的B点所用时间为（ ）
A、2v0sinα/g
B、2v0tanα/g
C、v0sinα/g
D、v0tanα/g
[答案]B
知识点电3 斜抛运动
（1）定义：将物体以速度v，沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动，称为斜抛运动。
（2）斜抛运动的处理方法：如右图所示，若被以速度v沿与水平方向成θ角斜向上方抛出，则其初速度可按图示方向分解为vx和vy。
θ
O
y
x
v
vy
vx
vx=v0cosθ
vy= v0sinθ
由于物体运动过程中只受重力作用，所以水平方向
作匀速直线运动；而竖直方向因受重力作用，有
竖直向下的重力加速度g，同时有竖直向上的初速度
vy= v0sinθ，故作匀减速直线运动（竖直上抛运动，
当初速度斜向下方时，竖直方向的分运动为竖直下抛运动）。
因此斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动。
在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离X叫射程；物体到达的最大高度Y叫做射高。
射程X= vxt= v0cosθ×2v0sinθ/g= v02sin2θ/g；
射高Y= vy2/2g= v02sin2θ/2g。
物体的水平坐标随时间变化的规律是x=（v0cosθ）t
物体在竖直方向的坐标随时间变化的规律是y=（ v0sinθ）t-
小球的位置是用它的坐标x、y描述的，由以上两式消去t，得y=xtanθ-。
因一次项和二次项的系数均为常数，此二次函数的图象是一条抛物线。
[例2]一炮弹以v0=1000m/s的速度与水平方向成300斜向上发射，不计空气阻力，其水平射程为多少？其射高为多大？炮弹在空中飞行时间为多少？（g=10m/s2）
[思路分析]水平射程X=（v0cosθ）t=v0cosθ×2v0sinθ/g= v02sin2θ/g=8。67×104m；
射高H= v02sin2θ/2g=1。25×104m
炮弹飞行时间t=2v0sinθ/g=100s
[答案]水平射程为8。67×104m；射高为1。25×104m；飞行时间为100s
[总结]斜抛运动的处理方法是在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动。
[变式训练2]在水平地面上方10m高处，以20m/s的初速度沿斜上方抛出一石块，求石块的最大射程。（空气阻力不计，g取10m/s2）
[答案]
[难点精析]
[例3]如图所示，从高为h=5m，倾角θ=450的斜坡顶点水平抛出一小球，小球的初速度为v0，若不计空气阻力，求：（1）当v0=4m/s时，小球的落点离A点的位移大小？
（2）当v0=8m/s时，小球的落点离A点的位移大小？（g取10m/s2）
A
θ
v0
h
[思路分析]小球水平抛出后的落点在斜面上，还是在水平面上，这由初速度的大小来决定。设临界的水平初速度为v，小球恰好落在斜面的底端，则水平方向的位移为x=h=5m，落地时间为 =1s，求得v=h/t=5m/s
（1）若v0
（2）若v0>v，小球一定落在水平面上，则t=1s，y=h，x= v0t，
位移≈9。4m
[答案]（1）4。5m （2）9。4m
[方法总结]本题的关键是先找出临界的初速度来，然后分别研究两种不同的情况下的平抛运动问题，解平抛运动的问题的一般方法是将运动分解成水平方向上的匀速运动与竖直方向上的自由落体运动来解，这里注意落在斜面上时，x、y满足一定的制约关系，y=xtanθ
[变式训练3]如图所示，在与水平方向成370的斜坡上的A点，以10m/s的速度水平抛出一个小球，求落在斜坡上的B点与A点的距离及在空中的飞行时间？（g取10m/s2）
[答案]18。75m；1。5s
B
A
370
v0
[难点精析2]
[例4]如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上（图中虚线所示），正对网前跳起将球水平击出（不计空气阻力）。（1）设击球点在3m线正上方高度为2。5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？（g取10m/s2）
2m
3m
18m
[思路分析]（1）作出如图所示的平面图，若刚好不触网，设球的速度为v1，则水平位移为3m的过程中，水平方向有：L= v0t，即3= v1t ①
竖直方向有：y= gt2/2，即时。5-2= gt2/2 ②
由①②两式得：v1=m/s
同理可得刚好不越界的速度：v2=m/s
故范围为：m/s
即3= v0t ③
H-2= gt2/2 ④
同理当球落在界线上时有：12= v0t/ ⑤
H= gt/2/2 ⑥
解③④⑤⑥得H=2。13m即当击球的高度小于2。13m时，无论球的水平速度多大，则球不是触网就是越界。
[答案]（1）m/s
[变式训练4]光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图所示，求小球滑到底端时，水平方向位移多大？
v0
θ
[答案]水平方向位移
[综合拓展]
抛体运动
平抛运动
条件
有水平初速度
只受重力作用
轨迹：抛物线
性质：匀变速曲线运动
规律
水平方向：vx=v0，x= v0t
竖直方向：vy=gt，y= gt2/2
斜上抛运动
条件
有斜向上的初速度
只受重力作用
轨迹：抛物线
性质：匀变速曲线运动
规律
水平方向：vx=v0cosθ，x= v0t cosθ
竖直方向：vy= v0sinθ-gt，y= v0tsinθ-gt2/2
[例5]一铅球运动员以初速度v0将铅球掷出，设铅球离手时离地面的高度为H，问铅球的初速度v0与水平方向的夹角θ多大时投掷的最远？（不计空气阻力）
[思路分析]物理模型为运动的合成与分解，即：斜向上抛运动，对此问题多数师生都认为是450，下面我们加以分析，
可将v0分解为水平方向：vx=v0cosθ ①
竖直方向：vy= v0sinθ ②
竖直方向匀变速运动可得：H=-vyt+gt2/2 ③
因水平方向为匀速运动，所以水平方向的距离：s= vxt ④
由①②③④式可得：当时，s有最大值：
若v0=15m/s时，H=1。5m，g=10m/s2，则θ=43。210，s=23。95m
[答案]当铅球与水平方向成θ角度（）时，投掷距离最远，
[方法总结]在斜上抛运动中，物体的着地点与抛出点在同一计划调节时，当抛射角θ=450时，射程最远，而本题中着地点低于抛射点，θ=450时，射程不一定最大，因此莫因思维定势而导致错解。
[活学活练]
[基础达标]
1、物体做平抛运动时，描述物体在竖直方向的分速度vy（取向下为正方向）随时间变化的图象是下图中的：
vy
O
x
vy
O
x
vy
O
x
vy
O
x
A B C D
2、做平抛运动的物体，每2秒的速度增量总是：
A、大小相等，方向相同。 B、大小不等，方向不同。
C、大小相等，方向不同。 D、大小不等，方向相同。
3、关于平抛运动，下列说法正确的是：
A、平抛运动是匀变速运动。 B、平抛运动是变加速运动。
C、平抛运动的加速度方向竖直向下。 D、平抛运动的水平位移随时间均匀增大。
4、决定一个平抛物体的运动时间的因素是：
A、抛出时的初速度 B、抛出时的竖直高度。
C、抛出时的初速度和竖直高度。 D、以上说法都不对。
5、继“神舟五号”飞船发射成功后，我国下一步的航天目标为登上月球，已知月球上的重力加速度为地球上台阶六分之一，若分别在地球和月球表面，以相同初速度、离地面相同高度。平抛相同质量的小球（不计空气阻力），则那些判断是正确的：
A、 平抛运动时间t月>t地
B、 水平射程x月>x地
C、 落地瞬间的瞬时速度v月>v地
D、 落地速度与水平面的夹角θ月>θ地
6、一物体做平抛运动，从抛出点算起，1s末其水平分速度与竖直分速度大小相等，经3s落地，若g=10m/s2，则物体在：
A、第一、二、三秒内的位移之比是1：4：9
B、第一、二、三秒内速度的变化量是相等的。
C、后一秒内的位移比前一秒内的位移多10m。
D、落地时的水平位移是30m。
7、一物体以初速度v0水平抛出，经t秒其竖直方向速度大小与水平方向速度大小相等，则t为：
A、v0/g B、2v0/g C、v0/2g D、3v0/g
8、如图平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在同一坐标系中做出两个分运动的v——t图象，如图所示，则以下说法正确的是：
O
t1
2
1
v
t
A、 图线1表示水平分运动的v——t图象。
B、图线2表示竖直分运动的v——t图象。
C、t1时刻物体的速度方向与初速度方向夹角为450。
D、若图线2倾角为θ，当地重力加速度为g，则一定有tanθ=g
9、以初速度v0，抛射角θ向斜上方抛出一个物体，由抛出到经过最高点的时间是 ，在这段时间内速度的变化量是 ，速度的变化率是 ，
经过最高点时的速度是 。
10、作斜抛运动的物体，在2秒末经过最高点时的瞬时速度是15m/s，g=10m/s2，则初速度
v0= ，抛射角θ= 。
11、摩托车障碍赛中，运动员在水平路面上遇到一个壕沟，壕沟的尺寸如图所示，摩托车前后轮间距1m，要安全地越过这壕沟，摩托车的速度v0至少要有多大？（空气阻力不计，g=10m/s2）
7m
0．8m
A/
B/
A
B
x1
x2
12、在研究平抛运动的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重垂线y的方向但忘记下平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图所示，丙在曲线上取A、B两点量出它们到y轴的距离，AA/=x1，BB/=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求得小球平抛时的初速度为多少？
13、如图所示，从距地面高为H的地方A处平抛一物体，其水平射程为2s；在A点正上方距地面高为2H的地方B处，以同方向抛出另一个物体，其水平射程为s；二物体在空中运行时的轨道在同一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。
2H
A
B
屏
14、从距地面20m高处以15m/s的初速度将一石子水平抛出，该石子落地时速度的大小是多少？与水平方向的夹角多大？落地时的位移大小是多少？与水平方向的夹角多大？（g=10m/s2）
[基础达标答案]
1、D 2、A 3、ACD 4、B 5、AB 6、BD 7、A 8、ABC
9、v0sinθ/g；v0sinθ；g； v0cosθ 10、25m/s；530 11、20m/s 12、13、h=6H/7 14、（1）v=25m/s （2）v与水平方向夹角为530 （3）位移x=36m，位移与水平方向夹角为α，tanα=2/3
〖能力提升〗
1、图是利用频闪照相研究平抛运动时拍下的照片，背景方格纸的边长为2。5cm，A、B、C是同一小球在频闪照相中拍下的三个连续的不同位置时的照片（g=10m/s2）试求：
D
A
C
B
（1）频闪照相相邻闪光的时间间隔？
（2）小球水平抛出的初速度？
2、如图所示，在空中A点，以初速度v0向墙水平抛出一个小球，打在墙上离地面高2m的C点，若在原位置以2v0的初速度向墙抛出此球，则打在墙上离地面高5m的B点，求A点离地面的高度？
A
C
B
3、某喷灌装置的示意图如图所示，水泵从深H的井中抽水，通过距地面h的龙头喷出。设水泵工作时的输出功率为P，t时间内喷出水的质量为m，水以相同的速率从龙头喷出，不计空气阻力，求此喷灌装置的喷灌半径？
h
H
R
4、如图所示，小球自高为H的A点处由静止开始沿光滑曲面下滑，到达曲面底处B点开始飞离曲面。已知B点的切线是水平的，且B点的高度h=H/2。若其他条件不变，只改变h。（1）当h变大（h>H/2）,小球的水平射程如何变化?
(2)当h变小（h
A
B
H
h
5、在空间某点以相同的初速度v0，沿不同方向同时抛出许多物体，不计阻力，证明：这些物体在同一时刻t，运动所达到的空间位置都分布在同一个圆周上。
[能力提升答案]
1、（1）T=0。05s ；（2）v0=1。5m/s
解：（1）在竖直方向上用公式△s=aT2。△s=2。5×10-2m，a=g 代入上式，得T=0。05s
（2）v0=x/t=7。5×10-2/0。05=1。5m/s
2、hA=6m
解：设以速度v0抛出小球运动到墙的t1，以速度2v0抛出小球运动到墙的时间为t2，A点到墙的水平距离为s，由水平运动的性质有：s= v0t1 ，s=2 v0t2 解得：t1 =2 t2
由分运动的等时性，可知两种情况下小球在竖直方向的自由落体时间也分别为t1和t2，且
t1 ： t2=2：1。根据自由落体运动规律h=gt2/2可知：hAC：hAB= t12：t22=4：1
所以：hAB：hBC=1：3，而hBC=5-2=3m 解得hAB=1m，A点的高度为hA= hAB+ hB=1+5=6m
3、R=
解：由于喷出的水做平抛运动，因此，可以把t时间内喷出的质量为m的水抽象为一个质点，使用动能定理，质量为m的水在水泵作用下上升（H+h）的过程中有：
Pt-mg（H+h）=mv2/2，得从龙头喷出的水的初速度为v=
水做平抛运动的时间为t=，喷灌半径为R=vt=
4、由于小球自H高处的A点沿光滑曲面下滑到达B点的过程中只有重力做功，机械能守恒，即：mg（H-h）=mv2/2
小球越过B点做平抛运动，其飞行时间取决于下落的高度h，而水平位移的大小由v和h共同决定，即：s=v×，整理上两式可得：，显然，当h=H/2时s取得极大值。因此无论h变大（h>H/2），还是h变小（h
x2+（y+ gt2/2）2=（v0t）2 可得结论。
第5节 圆周运动
[精讲精析]
[知识精讲]
知识点1. 描述匀速圆周运动的物理量
(1) 轨道半径(R):对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径.
(2) 线速度(v):是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值,方向为圆周的切线方向.公式: v=s/t=2πr/T=2πrf
(3) 角速度(ω,又称为圆频率):是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。大小等于一段时间内转过的角度(θ)与时间t的比值.公式: ω=θ/t=2π/T=2πf
(4) 周期(T):质点做圆周运动一周所需要的时间.
(5) 频率(f,或转速n):质点在单位时间内完成的圆周运动的次数.
[例1]静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是 ( )
A. 它们的运动周期都是相同的
B. 它们的线速度都是相同的
C. 它们的线速度大小都是相同的
D. 它们的角速度是不同的
[思路分析]地球绕自转轴转动时,所有地球上各点的周期及角速度都是相同的。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的,只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也个不相同.
[答案] A
[总结]线速度是描述物体运动快慢的物理量,若比较两物体做匀速圆周运动的快慢,则只看其线速度的大小即可.角速度、周期和转速都是描述物体转动快慢的物理量。物体做匀速圆周运动时,角速度越大、周期越小、转速越大，则物体转动的越快，反之则越慢,由于线速度和角速度的关系为 v=ωr,所以在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度的大小，也不能由线速度大小判断角速度大小.
[误区警示]有的同学往往误认为物体转动半径为地球半径，进而导致失误.在解决圆周运动问题时,转动中心的确定至关重要.地球本身匀速转动，地表各点角速度相等(但两极ω=0),角速度又称整体量；线速度随着半径不同而不同，线速度又称局部量.
[变式训练1] 由于地球自转，乌鲁木齐和广州两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较 ( )
A. 乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大
B. 乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大
C. 两处地方物体的角速度、线速度都一样大
D. 两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大
[答案] D
知识点2。匀速圆周运动及各物理量间的关系
1． 定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
注意①匀速圆周运动线速度方向时刻变化，因此是变速运动。
②匀速圆周运动是匀速率圆周运动。
V=s/t=2πr/T=2πrf
V=ωr
ω=θ/t=2π/T=2πf
2． 各物理量间的关系
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。
[例2]匀速圆周运动属于（ ）
A. 匀速运动
B. 匀加速运动
C. 加速度不变的曲线运动
D. 变加速度的曲线运动
[思路分析]实际上线速度是矢量,在匀速圆周运动中，线速度的大小不变,但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速曲线运动或者可称为速率一定的曲线运动.线速度方向时刻沿圆的切线方向，且大小不变.可知合外力方向只有始终沿半径指向圆心；加速度在变化,故A、B、C错，D对。
[答案] D
[总结]匀速圆周运动，线速度方向时刻变化，速率不变，是变速运动。加速度始终沿半径指向圆心，加速度方向时刻在变。是变加速曲线运动。
[变式训练2]在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（ ）
A．角速度 B. 加速度 C. 速率 D.线速度
[答案] A C
[难点精析][例3] 如图所示的传动装置中，B,C两轮固定在一起绕同一轴转动，A,B两轮用皮带传动，三轮的半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑,求A,B,C轮边缘的a,b,c三点的角速度之比和线速度之比.
a·
·B
C
A
·
b
c
[解析] A,B两轮通过皮带传动，皮带不打滑,则A,B两轮边缘的线速度大小相等.即
va=vb 或 va:vb=1:1 ①
由v=ωr得 ωa: ωb= rB: rA=1:2 ②
B,C两轮固定在一起绕同一轴转动,则B,C两轮的角速度相同，即
ωb=ωc或 ωb: ωc=1:1 ③
由v=ωr得vb:vc=rB:rC=1:2 ④
由②③得ωa: ωb: ωc=1:2:2
由①④得va:vb:vc=1:1:2
[答案] a,b,c三点的角速度之比为1:2:2;线速度之比为1:2:2
[方法总结] 传动装置的两个基本关系:皮带(齿轴,靠背轮)传动线速度相等，同轴转动的角速度相等.
在分析传动装置的各物理量之间的关系时,要首先明确什么量是相等的，什么量是不等的，在通常情况下同轴的各点角速度ω,转速n和周期T相等,而线速度v=ωr与半径成正比。在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的边缘的各点线速度的大小相等,而角速度ω=v/r 与半径r成反比.
[变式训练3]如图所示皮带传动装置,皮带轮为O,O′,RB=RA/2,RC=2RA/3,当皮带轮匀速转动时,皮带不皮带轮之间不打滑,求A,B,C三点的角速度之比，线速度之比
·O
·O/
A
C
B
[答案] (1) ωA: ωB: ωc=2:2:3
(2) vA:vB:vc=2:1:2
(1) TA:TB:TC=3:3:2
[难点精析2][例4] 如图所示,M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R,内筒半径比R小得多，可以忽略不计,筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)做匀速转动,设从M筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒,从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到N筒后就附着在N筒上。如果R, v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则( )
M
N
ω
a
b
c
A. 有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上
B. 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上
C. 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上
D. 只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒
[思路分析] 对速度为v1的粒子,只要ω适当，考虑到圆周运动的周期性，落在外壳N上的a,b,c任一位置的可能性都存在,对速度为v2的粒子也同样存在上述可能性。如v1>v2,经过时间t,速度为v1的粒子在圆筒转了一转后到达a,速度为 v2的粒子可能在圆筒转了2转后到达a点，即A选项正确；同理,B,C选项正确
[答案] ABC
[方法总结]一种事物经常具有多样性,物理问题也一样，很多物理题都具有多种可能性的答案,”发现多种可能性”的能力主要是反映我们思考问题的全面性，能否通过分析试题所给的情境和条件，发现在不同的条件下可能得到不同的结论.
[误区警示]一些同学没有掌握好相对运动的概念，把M看作不动来进行处理从而错选D选项.
O
B
h
v
[变式训练4] 如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,要使球与盘只碰一次，且落点为B,则小球的初速度v= ,圆盘转动的角速度ω=
答案：；
[难点精析3]
[例5]如下图所示,在同一竖直平面内有A,B两物体，A物体从a点起，以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O点自由下落，若要A,B两物体在d点相遇,求角速度ω须满足的条件.
A
a
b
c
d
O
[思路分析]B物体从圆心O到d点的运动是自由落体运动，因此B物体从O到d所用的时间t应为:R=gt2,所以t=
由于A物体所做的是匀速圆周运动，A物体从a运动到d转过的角度为:2nπ+,(n=0,1,2,3,…).因此其所用时间为:
t== ②
联立上述方程可得:
解得：
[答案]
[方法总结]①A物体从a点运动到b点通过的角度可能为:3π/2,2π+3π/2,2×2π+3π/2…所以它通过的角度为：2nπ+3π/2,(n=0,1,2,3,…)本题的创新之处在于物理学中数列通项公式的运用，即解物理题方法上的创新。
②匀速圆周运动具有周期性，因此在解决有关圆周运动的问题中必须考虑题目多解的可能性，并尽可能运用数学知识写出解的通项表达式。
[变式训练5]如图所示，为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行，若圆盘以3600r/min 的转速旋转，子弹沿垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角为15°，则子弹的速度大小为 m/s
[答案]1440/（1+24k）； （k=0，1，2，3……）
1m
v
[难点精析4]
[例6]直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是（ ）
① dω/π ②dω/2π ③dω/3π ④dω/4π
A．①② B.③④ C. ①③ D. ②④
·
O
S
[思路分析]如图所示,若子弹从圆筒左侧S孔穿入沿直线运动，孔S做匀速圆周运动，孔转至最右侧时子弹恰好穿出，子弹位移为d,连接孔与圆心的半径转过的角度为(2n+1)π=ω·d/v;所以子弹速度的解集v=dω/(2n+1)π,n=0,1,2,3,……,分母不可能是π的偶数倍.
[答案] D
[方法总结] ①本题易误选①,③,原因是对”只有一个弹孔”的含义不清,没有考虑圆筒运动的周期性.
②相遇问题中，时间相等
[变式训练6]电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶,它们互成120°角,当风扇转动时,观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A. 600r/min B.900r/min C.1200r/min D.3000r/min
[答案] A C D
[难点精析5]
[例7]太阳从东边升起，从西边落下，这是地球上的自然现象，但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象，这些条件是( )
A.时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B.时间必须是在清晨，飞机正在由西向动飞行，飞机的速度必须较大
C. 时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D. 时间必须是在傍晚，飞机正在由西向动飞行，飞机的速度不能太大
O
ω
O/
b
d
[思路分析]本题解题关键:①弄清地球上的晨昏线;②理解飞机顺着地球自转方向运动称为向东,逆着地球自转方向运动称为向西。图上表明了地球的自转方向,obo/为昏线(右半球上为白天,左半球上为夜晚).若在纬度较高的b点，飞机向东(如上图向左),旅客看到的太阳仍是从东方升起，设飞机飞行速度为v1,地球在该点的自转线速度为v2,在b点,飞机向西飞行时,若v1>v2,飞机处于地球上黑夜区域,旅客看不到太阳;飞机向西(如上图向右)飞行，若v1>v2,旅客可看到太阳从西边升起；若v1
[方法总结]①部分同学不能借助图示来分析，找不到解题切入点;②少数同学对飞机的飞行方向向东,向西不能界定,造成思维混乱，无法判断出正确答案;③部分同学画错晨昏线位置，导致失误,近几年高考试题中物理与地理知识的综合题不断出现,随着人类探索宇宙，开发月球，研究地球本身活动的深入，许多天文地理问题，如:宇宙大爆炸,星球”坍塌”,黑洞，暗物质，宇宙辐射，太阳寿命等，将成为综合题的重要来源.
[变式训练7]如图所示,为一实验小车中利用光点脉冲测量车速和行程的装置示意图，A为光源,B为光点接收器，A,B均固定在车身上，C为小车的车轮,D为与C同轴相连的齿轮，车轮转动时,A发出的光束通过旋转的齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号,被B接收并转换成电信号,由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n,累计脉冲数为N,则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ;小车速度的表达式v=
;行程的表达式为x= .
[答案] RP 2πRn/P 2πRN /P
[综合拓展]本节主要学习描述圆周运动的物理量线速度，角速度，周期和转速.其中v=s/t=2πr/T=2πrf; ω=θ/t=2π/T=2πf;v与ω关系为v=rω.圆周运动与几学能守恒相结合的题目如下面例题.
O
A
B
[例8]如图所示,质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量为m的小球A和B(可以当做质点).杆长为L,将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力。当轻杆通过竖直位置时,求:
(1) 小球A,B的速度各是多少?
(2) 在上述过程中轻杆对B球所做的功
[思路分析]A球和B球单独随轻杆在空间转动时,它们运动的快慢程度是不同的,也就是说A,B球和轻杆一起转动的过程中，轻杆对A,B球是要做功的,因此,A球机械能不守恒,B球机械能也不守恒。但是以A,B球为物体系统(包括轻杆),只有小球重力做功,机械能守恒。
取A,B球为系统，由机械能守恒定律ΔEP=ΔEK得
mgL/2 + mgL= mvA2/2 + mvB2/2 ①
又因为A,B球的角速度相等，所以有 vB=2vA ②
联立①②式,解得
对B球,根据动能定理,得 WT +mgL = mvB2/2 ⑤
将④式代入⑤式,得轻杆对A球做的功为 WT= mgL/5 ,表示轻杆对A球做正功,杆对球A的作用力并不沿轻杆方向.
[答案]
[方法总结] 在连结体问题中，两个物体A,B的速度,加速度，角速度等运动量有一定的联系，在圆周运动中，两物体的角速度往往相同，利用这一点可找出两物体的速度关系，从而使列式简化，本题中用ΔEP=ΔEK较方便，若用 EA+EB=EAˊ+EBˊ,不要漏掉A在某状态还有重力势能mgL/2(以B的最低点为零势能位置).
[活学活用]
[基础达标]
1.下列说法中正确的是 ( )
A. 在匀速圆周运动中的线速度是恒量,角速度ω也是恒量
B. 在匀速圆周运动中的线速度v是变量, 角速度ω是恒量
C. 线速度v是矢量,其方向是圆周的切线方向，而角速度ω是标量
D. 线速度v和角速度ω都是矢量,但高中阶段不研究ω的方向
2.甲,乙两个做圆周运动的质点,它们的角速度之比为3:1,线速度之比为2:3,那么下列说法中正确的是( )
A. 它们的半径之比为2:9
B. 它们的半径之比为1:2
C. 它们的周期之比为2:3
D. 它们的周期之比为1:3
3.地球自转一周为一昼夜时间(24h),新疆乌鲁木齐市处于较高纬度地区，而广州则出于低纬度地区，由于地球自转方向由西向东,每天早晨广州要比乌鲁木齐天亮的早.
(1) 下列说法中正确的是 ( )
A. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略长
B. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略短
C. 乌鲁木齐一昼夜的时间与广州一昼夜的时间相等
D. 无法确定
(2)由于地球自转，该两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较 ( )
A. 乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大
B. 乌鲁木齐处物体的线速度大,广州处物体的角速度大
C. 两处地方物体的角速度,线速度都一样大
D. 两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐大
4.如图所示,直径为d的纸制圆筒,使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后把枪口对准圆筒,使子弹沿直径穿过圆筒,若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a,b两弹孔,已知aO,bO夹角φ,则子弹的速度为( )
A.dφ/2ωπ B.dω/φ C. dω/(2π-φ) D. dω/(π-φ)
φ
b
a
O
ω
5.通常钟表里的秒针正常转动的角速度大约是( )
A.0.65rad/s B.0.1 rad/s C.1 rad/s D.6 rad/s
6.机械手表中的秒针和分针都可看做匀速转动，分针和秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为 ( )
A.60s B.59s C.61s D.
7.正常走动的钟表，时针，分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法，正确的是( )
A. 分针的周期是秒针周期的60倍
B. 分针的角速度是秒针角速度的60倍
C. 时针的周期是分针周期的24倍
D. 时针的角速度是分针角速度的12倍
O/
N
P
M
·O
8.如图所示,轮O和轮Oˊ用皮带传动(不打滑),轮O的半径为r,轮Oˊ的半径R=2r,M,N,P点的位置如图所示,则 ( )
A. M,N两点线速度相等，角速度也相等
B. M,P两点线速度相等,N点线速度最大
C. M点角速度最大，N,P两点角速度相等
D. P点的线速度最小，M点和N点线速度相等
9.机械手表中的时针与分针可视为匀速转动，时针与分针从第一次重合到第二次重合中间经历的时间为 ( )
A. 1h B.11h/12 C.13h/12 D.12h/11
A
θ
B
10.如图所示,一个球绕中心轴线O Oˊ以角速度ω转动，则( )
A. A,B两点的角速度相等
B. A,B两点的线速度相等
C. θ=45°,则vA:vB=1：
D. 若θ=45°,则TA:TB=1：
11.当自行车车轮绕轴匀速转动时,辐条上的中点与端点相比较，角速度之比为 ,周期之比为 ,线速度之比为 .
12.在地球表面上选取A,B两点，A点位于北纬60°,B点位于赤道上，则A,B两点的角速度之比为 ,线速度之比为 ,周期之比为 .
13.半径为10cm的转轮,每秒转5圈,则该转轮的周期T为 ,在转轮的边缘某点A的角速度为 ,线速度为 .
·A
·B
ω
14.如图所示,两轮通过边缘接触，形成摩擦传动装置，设接触处无打滑现象。已知大轮B的半径是小轮A的半径的2倍,设主动轮为A轮转动时其边缘的角速度为ω,线速度为v,求:
(1) A,B两轮的转动周期之比;
(2) B轮边缘上一点的线速度;
(3) B轮转动的角速度.
15.如图所示是一种子弹测速器,甲,乙两圆盘均以角速度ω旋转，一个子弹P从甲盘某条半径O1A射入,从乙盘O2Bˊ半径上射出，测得跟O1A平行的半径O2B与O2Bˊ之间的夹角为θ,子弹穿过盘时的阻力不计,求子弹的速度.
B/
甲
乙
B
A
O1
O2
ω
[基础达标答案]
1. BD 2. AD 3.(1)C (2)D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.CD 9.D 10.A 11.1:1;1:1;1:2 12.1:1;1:2;1:1
13.0.2s;10πrad/s,πm/s 14.(1) 1/2 (2)v (3) ωB=ω/2 15.v=ωd/(2kπ+θ); (k=0,1,2,3……)
[能力提升]
1.为了使拖拉机在农田中较好地工作，中型拖拉机的后轮(主动轮)直径比前轮(从动轮)直径要大，某型号中型拖拉机前后轮直径之比为2:5,设它在水平地面上匀速行驶,前后轮都不打滑,则它行驶时前后轮的角速度之比为 .
2.根据新华社北京2003年11月16日点，我国首位宇航员杨利伟乘坐的”神州”五号载人飞船,在太空飞行14圈后，在内蒙古中部草原准确着陆.我国首次载人航天飞行圆满成功.若飞船绕地球做匀速圆周运动，离地心平均距离为6.7×103km,该飞船的周期为 min,速度为 km/s (保留两位有效数字)
3.如图所示,边缘粗糙,半径不同的两个轮子,做无滑动的摩擦运动。A,B是大轮上的两点，OA=R=0.8cm,OB=r=0.4cm,C点是小轮边缘上的一点，OˊC=r=0.4cm,若大轮的转速为3000r/min,求A,B,C三点的线速度和角速度的大小.
O/
C
A
O
B
4.电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒钟闪光30次，风扇的叶片有三个,均安装在转轴上，当转动时,如果观察者感觉叶片不动，则风扇的转速是 r/min,如果观察者感觉叶片有六个，则风扇的转速是 r/min (电动机的转速每分钟不超过1400r)
5.如图所示,小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速运动，当它运动到图中a点时,在原形槽中心O点正上方h处,有一小球B沿oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求:
(1) B球抛出时的水平速度多大?
(2) A球运动的线速度最小值为多大?
h
a
o
B
A
(3) 若考虑到匀速圆周运动是周期性运动，A球速度满足什么条件,两球就能在a点相碰?
6.钟表的时针和分针每天重叠多少次?
能力提升答案
1. 5:2
2. 飞船周期T=(6×24＋18)/108 h=1.5 h=90 min
飞船速度v=2πr/T=(2×3.14×6.7×103)/90×60 km/s = 7.8 km/m
3. 线速度 vA=vC=8π m/s, vB=4π m/s
角速度ωA=ωB=10πrad/s,ωC=20π rad/s
4. 600或1200, 300或900 点拨:每次闪光时三叶片分布情况相同(三个),或对称位置重合(六个).
5.（1） （2）2π （3）2kπ k=1、2、3…
6. 22次
[真题再现]
1.由”嫦娥奔月”到”万户飞天”,由”东方红”乐曲响彻寰宇到航天员扬利伟遨游太空,中华民族载人航天的梦想已变成现实”神州”五号飞船升空口，先运行在近地点高度200km,远地点高度350km的椭圆轨道上,实施变轨后,进入343km的圆轨道，假设”神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1,结束时刻为t2,运行速度为v,半径为r,则计算运动周期可用 ( )
①T=(t2- t1)/n ②T=(t1-t2)/n ③T=2πr/v ③T=2πv/r
A. ①③ B.①④ C.②③ D. ②④
[答案] A
2.如图所示为一皮带传动装置，右轮半径为r,a是它边缘上的一点，左侧为一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心距离为r,c点和d点分别为与小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则( )
a
d
c
b
A. a点和b点的线速度大小相等
B. a点和b点的角速度大小相等
C. a点和c点的线速度大小相等
D. c点和d点的角速度大小相等
[思路分析]本题考查线速度,角速度的关系,a,d两点是皮带传动的,皮带不打滑,故a,c两点线速度大小相等，C 对，b,c两点在同一轮轴上，角速度相等,但离转轴距离不同，有v=ωr可知,b与c线速度不相等，故a与b线速度不等，排除选项A;a与c线速度大小相等,半径不同，由ω=v/r,因此a与c角速度不同，即a与b角速度不同，排除B项.
[答案] C D
52 平抛运动
[精讲精练]
[知识精讲]
知识点1、平抛运动的分解（如图所示）
y
x
o
x
y
v
vy
vx
s
α
θ
分运动与合运动
加速度
速度
位移
水平方向
（x方向分运动）
匀速直线运动
ax=0
vx=v0
x= v0t
竖直方向
（y方向分运动）
自由落体运动
ay=g
vy=gt
y=gt2/2
合运动
匀变速曲线运动
a合=g
方向竖直向下
与v0方向夹角为θ，
tanθ=vy/ vx= gt/ v0
与x方向夹角为α，
tanα=y/x= gt/ 2v0
注意：平抛运动的飞行时间、水平位移和落地速度等方面的注意问题：
（1）物体做平抛运动时在空中运动的时间，其值由高度h决定，与初速度无关。
（2）它的水平位移大小为x= v0，与水平速度v0及高度h都有关系。
（3）落地瞬时速度的大小==，由水平初速度v0及高度h决定。
（4）落地时速度与水平方向夹角为θ，tanθ= gt/ v0，h越大空中运动时间就越大，θ就越大。
（5）落地速度与水平水平方向夹角θ，位移方向与水平方向夹角α，θ与α是不等的。注意不要混淆。
（6）平抛物体的运动中，任意两个相等的时间间隔的速度变化量△v=g△t，都相等且△v方向怛为竖直向下。
（7）平抛运动的偏角与水平位移和竖直位移之间的关系：如右图所示，平抛运动的偏角θ即为平抛运动的速度与水平方向的夹角，所以有：tanθ=
tanθ=常称为平抛运动的偏角公式，在一些些问答题中可直接应用该结论分析解答。
y
x
o
x
y
v
vy
vx
s
θ
θ
（8）以抛点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0方向相同，竖直方向为y轴，正方向竖直向下，物体做平抛运动的轨迹上任意一点A（x，y）的速度方向的反向延长线交于x轴上的B点。B点的横坐标xB=x/2。
（9）平抛运动中，任意两个连续相等时间间隔内在竖直方向上分位移之差△h=gT2都相等。
（10）平抛物体的位置坐标：
以抛点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐标系（如图所示），据平抛运动在水平方向上是匀速直线运动和在竖直方向上自由落体运动知：
水平分位移x= v0t，
竖直分位移y=gt2/2，
t时间内合位移的大小
设合位移s与水平位移x的夹角为α，则tanα=y/x=（ gt2/2）/ v0t =gt/ 2v0。
轨迹方程：平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，叫轨迹方程，由位移公式消去t可得：y=gx2/2v02。显然这是顶点在原点，开口向下的抛物线方程，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。
x
y
x
o
y
s
α
（11）研究平抛运动的方法：
研究平抛运动采用运动分解的方法，平抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，故解决有关平抛运动的问题时，首先要把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。然后分别用两个分运动的规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使问题的解决得到简化。
[例1]如图所示，在倾角为α的斜面顶点A以初速度v0水平抛出一个小球，最后落在斜面上B点，不计空气阻力，求小球在空中的运动时间t及到达B点的速度大小。
[思路分析]：小球做的是平抛运动，AB长度为实际位移，设为L，则由平抛运动规律，水平方向：Lcosα= v0t ①
A
B
V0
α
竖直方向：Lsinα= gt2/2②
由①②得t= 2v0tanα/g
竖直速度vy=gt=2v0tanα
故速度 =
[答案] t= 2v0tanα/g，v=
[总结]1、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来处理
2、确定AB是实际位移，不能将α角当作落地时速度与水平方向的夹角。
θ
A
B
[变式训练1]如图所示，从倾角为θ斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上的B点所用时间为（ ）
A、2v0sinα/g
B、2v0tanα/g
C、v0sinα/g
D、v0tanα/g
[答案]B
知识点电3 斜抛运动
（1）定义：将物体以速度v，沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动，称为斜抛运动。
（2）斜抛运动的处理方法：如右图所示，若被以速度v沿与水平方向成θ角斜向上方抛出，则其初速度可按图示方向分解为vx和vy。
θ
O
y
x
v
vy
vx
vx=v0cosθ
vy= v0sinθ
由于物体运动过程中只受重力作用，所以水平方向
作匀速直线运动；而竖直方向因受重力作用，有
竖直向下的重力加速度g，同时有竖直向上的初速度
vy= v0sinθ，故作匀减速直线运动（竖直上抛运动，
当初速度斜向下方时，竖直方向的分运动为竖直下抛运动）。
因此斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动。
在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离X叫射程；物体到达的最大高度Y叫做射高。
射程X= vxt= v0cosθ×2v0sinθ/g= v02sin2θ/g；
射高Y= vy2/2g= v02sin2θ/2g。
物体的水平坐标随时间变化的规律是x=（v0cosθ）t
物体在竖直方向的坐标随时间变化的规律是y=（ v0sinθ）t-
小球的位置是用它的坐标x、y描述的，由以上两式消去t，得y=xtanθ-。
因一次项和二次项的系数均为常数，此二次函数的图象是一条抛物线。
[例2]一炮弹以v0=1000m/s的速度与水平方向成300斜向上发射，不计空气阻力，其水平射程为多少？其射高为多大？炮弹在空中飞行时间为多少？（g=10m/s2）
[思路分析]水平射程X=（v0cosθ）t=v0cosθ×2v0sinθ/g= v02sin2θ/g=8。67×104m；
射高H= v02sin2θ/2g=1。25×104m
炮弹飞行时间t=2v0sinθ/g=100s
[答案]水平射程为8。67×104m；射高为1。25×104m；飞行时间为100s
[总结]斜抛运动的处理方法是在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动。
[变式训练2]在水平地面上方10m高处，以20m/s的初速度沿斜上方抛出一石块，求石块的最大射程。（空气阻力不计，g取10m/s2）
[答案]
[难点精析]
[例3]如图所示，从高为h=5m，倾角θ=450的斜坡顶点水平抛出一小球，小球的初速度为v0，若不计空气阻力，求：（1）当v0=4m/s时，小球的落点离A点的位移大小？
（2）当v0=8m/s时，小球的落点离A点的位移大小？（g取10m/s2）
A
θ
v0
h
[思路分析]小球水平抛出后的落点在斜面上，还是在水平面上，这由初速度的大小来决定。设临界的水平初速度为v，小球恰好落在斜面的底端，则水平方向的位移为x=h=5m，落地时间为 =1s，求得v=h/t=5m/s
（1）若v0
（2）若v0>v，小球一定落在水平面上，则t=1s，y=h，x= v0t，
位移≈9。4m
[答案]（1）4。5m （2）9。4m
[方法总结]本题的关键是先找出临界的初速度来，然后分别研究两种不同的情况下的平抛运动问题，解平抛运动的问题的一般方法是将运动分解成水平方向上的匀速运动与竖直方向上的自由落体运动来解，这里注意落在斜面上时，x、y满足一定的制约关系，y=xtanθ
[变式训练3]如图所示，在与水平方向成370的斜坡上的A点，以10m/s的速度水平抛出一个小球，求落在斜坡上的B点与A点的距离及在空中的飞行时间？（g取10m/s2）
[答案]18。75m；1。5s
B
A
370
v0
[难点精析2]
[例4]如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上（图中虚线所示），正对网前跳起将球水平击出（不计空气阻力）。（1）设击球点在3m线正上方高度为2。5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？（g取10m/s2）
2m
3m
18m
[思路分析]（1）作出如图所示的平面图，若刚好不触网，设球的速度为v1，则水平位移为3m的过程中，水平方向有：L= v0t，即3= v1t ①
竖直方向有：y= gt2/2，即时。5-2= gt2/2 ②
由①②两式得：v1=m/s
同理可得刚好不越界的速度：v2=m/s
故范围为：m/s
即3= v0t ③
H-2= gt2/2 ④
同理当球落在界线上时有：12= v0t/ ⑤
H= gt/2/2 ⑥
解③④⑤⑥得H=2。13m即当击球的高度小于2。13m时，无论球的水平速度多大，则球不是触网就是越界。
[答案]（1）m/s
[变式训练4]光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图所示，求小球滑到底端时，水平方向位移多大？
v0
θ
[答案]水平方向位移
[综合拓展]
抛体运动
平抛运动
条件
有水平初速度
只受重力作用
轨迹：抛物线
性质：匀变速曲线运动
规律
水平方向：vx=v0，x= v0t
竖直方向：vy=gt，y= gt2/2
斜上抛运动
条件
有斜向上的初速度
只受重力作用
轨迹：抛物线
性质：匀变速曲线运动
规律
水平方向：vx=v0cosθ，x= v0t cosθ
竖直方向：vy= v0sinθ-gt，y= v0tsinθ-gt2/2
[例5]一铅球运动员以初速度v0将铅球掷出，设铅球离手时离地面的高度为H，问铅球的初速度v0与水平方向的夹角θ多大时投掷的最远？（不计空气阻力）
[思路分析]物理模型为运动的合成与分解，即：斜向上抛运动，对此问题多数师生都认为是450，下面我们加以分析，
可将v0分解为水平方向：vx=v0cosθ ①
竖直方向：vy= v0sinθ ②
竖直方向匀变速运动可得：H=-vyt+gt2/2 ③
因水平方向为匀速运动，所以水平方向的距离：s= vxt ④
由①②③④式可得：当时，s有最大值：
若v0=15m/s时，H=1。5m，g=10m/s2，则θ=43。210，s=23。95m
[答案]当铅球与水平方向成θ角度（）时，投掷距离最远，
[方法总结]在斜上抛运动中，物体的着地点与抛出点在同一计划调节时，当抛射角θ=450时，射程最远，而本题中着地点低于抛射点，θ=450时，射程不一定最大，因此莫因思维定势而导致错解。
[活学活练]
[基础达标]
1、物体做平抛运动时，描述物体在竖直方向的分速度vy（取向下为正方向）随时间变化的图象是下图中的：
vy
O
x
vy
O
x
vy
O
x
vy
O
x
A B C D
2、做平抛运动的物体，每2秒的速度增量总是：
A、大小相等，方向相同。 B、大小不等，方向不同。
C、大小相等，方向不同。 D、大小不等，方向相同。
3、关于平抛运动，下列说法正确的是：
A、平抛运动是匀变速运动。 B、平抛运动是变加速运动。
C、平抛运动的加速度方向竖直向下。 D、平抛运动的水平位移随时间均匀增大。
4、决定一个平抛物体的运动时间的因素是：
A、抛出时的初速度 B、抛出时的竖直高度。
C、抛出时的初速度和竖直高度。 D、以上说法都不对。
5、继“神舟五号”飞船发射成功后，我国下一步的航天目标为登上月球，已知月球上的重力加速度为地球上台阶六分之一，若分别在地球和月球表面，以相同初速度、离地面相同高度。平抛相同质量的小球（不计空气阻力），则那些判断是正确的：
A、 平抛运动时间t月>t地
B、 水平射程x月>x地
C、 落地瞬间的瞬时速度v月>v地
D、 落地速度与水平面的夹角θ月>θ地
6、一物体做平抛运动，从抛出点算起，1s末其水平分速度与竖直分速度大小相等，经3s落地，若g=10m/s2，则物体在：
A、第一、二、三秒内的位移之比是1：4：9
B、第一、二、三秒内速度的变化量是相等的。
C、后一秒内的位移比前一秒内的位移多10m。
D、落地时的水平位移是30m。
7、一物体以初速度v0水平抛出，经t秒其竖直方向速度大小与水平方向速度大小相等，则t为：
A、v0/g B、2v0/g C、v0/2g D、3v0/g
8、如图平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在同一坐标系中做出两个分运动的v——t图象，如图所示，则以下说法正确的是：
O
t1
2
1
v
t
A、 图线1表示水平分运动的v——t图象。
B、图线2表示竖直分运动的v——t图象。
C、t1时刻物体的速度方向与初速度方向夹角为450。
D、若图线2倾角为θ，当地重力加速度为g，则一定有tanθ=g
9、以初速度v0，抛射角θ向斜上方抛出一个物体，由抛出到经过最高点的时间是 ，在这段时间内速度的变化量是 ，速度的变化率是 ，
经过最高点时的速度是 。
10、作斜抛运动的物体，在2秒末经过最高点时的瞬时速度是15m/s，g=10m/s2，则初速度
v0= ，抛射角θ= 。
11、摩托车障碍赛中，运动员在水平路面上遇到一个壕沟，壕沟的尺寸如图所示，摩托车前后轮间距1m，要安全地越过这壕沟，摩托车的速度v0至少要有多大？（空气阻力不计，g=10m/s2）
7m
0．8m
A/
B/
A
B
x1
x2
12、在研究平抛运动的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重垂线y的方向但忘记下平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图所示，丙在曲线上取A、B两点量出它们到y轴的距离，AA/=x1，BB/=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求得小球平抛时的初速度为多少？
13、如图所示，从距地面高为H的地方A处平抛一物体，其水平射程为2s；在A点正上方距地面高为2H的地方B处，以同方向抛出另一个物体，其水平射程为s；二物体在空中运行时的轨道在同一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。
2H
A
B
屏
14、从距地面20m高处以15m/s的初速度将一石子水平抛出，该石子落地时速度的大小是多少？与水平方向的夹角多大？落地时的位移大小是多少？与水平方向的夹角多大？（g=10m/s2）
[基础达标答案]
1、D 2、A 3、ACD 4、B 5、AB 6、BD 7、A 8、ABC
9、v0sinθ/g；v0sinθ；g； v0cosθ 10、25m/s；530 11、20m/s 12、13、h=6H/7 14、（1）v=25m/s （2）v与水平方向夹角为530 （3）位移x=36m，位移与水平方向夹角为α，tanα=2/3
〖能力提升〗
1、图是利用频闪照相研究平抛运动时拍下的照片，背景方格纸的边长为2。5cm，A、B、C是同一小球在频闪照相中拍下的三个连续的不同位置时的照片（g=10m/s2）试求：
D
A
C
B
（1）频闪照相相邻闪光的时间间隔？
（2）小球水平抛出的初速度？
2、如图所示，在空中A点，以初速度v0向墙水平抛出一个小球，打在墙上离地面高2m的C点，若在原位置以2v0的初速度向墙抛出此球，则打在墙上离地面高5m的B点，求A点离地面的高度？
A
C
B
3、某喷灌装置的示意图如图所示，水泵从深H的井中抽水，通过距地面h的龙头喷出。设水泵工作时的输出功率为P，t时间内喷出水的质量为m，水以相同的速率从龙头喷出，不计空气阻力，求此喷灌装置的喷灌半径？
h
H
R
4、如图所示，小球自高为H的A点处由静止开始沿光滑曲面下滑，到达曲面底处B点开始飞离曲面。已知B点的切线是水平的，且B点的高度h=H/2。若其他条件不变，只改变h。（1）当h变大（h>H/2）,小球的水平射程如何变化?
(2)当h变小（h
A
B
H
h
5、在空间某点以相同的初速度v0，沿不同方向同时抛出许多物体，不计阻力，证明：这些物体在同一时刻t，运动所达到的空间位置都分布在同一个圆周上。
[能力提升答案]
1、（1）T=0。05s ；（2）v0=1。5m/s
解：（1）在竖直方向上用公式△s=aT2。△s=2。5×10-2m，a=g 代入上式，得T=0。05s
（2）v0=x/t=7。5×10-2/0。05=1。5m/s
2、hA=6m
解：设以速度v0抛出小球运动到墙的t1，以速度2v0抛出小球运动到墙的时间为t2，A点到墙的水平距离为s，由水平运动的性质有：s= v0t1 ，s=2 v0t2 解得：t1 =2 t2
由分运动的等时性，可知两种情况下小球在竖直方向的自由落体时间也分别为t1和t2，且
t1 ： t2=2：1。根据自由落体运动规律h=gt2/2可知：hAC：hAB= t12：t22=4：1
所以：hAB：hBC=1：3，而hBC=5-2=3m 解得hAB=1m，A点的高度为hA= hAB+ hB=1+5=6m
3、R=
解：由于喷出的水做平抛运动，因此，可以把t时间内喷出的质量为m的水抽象为一个质点，使用动能定理，质量为m的水在水泵作用下上升（H+h）的过程中有：
Pt-mg（H+h）=mv2/2，得从龙头喷出的水的初速度为v=
水做平抛运动的时间为t=，喷灌半径为R=vt=
4、由于小球自H高处的A点沿光滑曲面下滑到达B点的过程中只有重力做功，机械能守恒，即：mg（H-h）=mv2/2
小球越过B点做平抛运动，其飞行时间取决于下落的高度h，而水平位移的大小由v和h共同决定，即：s=v×，整理上两式可得：，显然，当h=H/2时s取得极大值。因此无论h变大（h>H/2），还是h变小（h
x2+（y+ gt2/2）2=（v0t）2 可得结论。
第5节 圆周运动
[精讲精析]
[知识精讲]
知识点1. 描述匀速圆周运动的物理量
(1) 轨道半径(R):对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径.
(2) 线速度(v):是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值,方向为圆周的切线方向.公式: v=s/t=2πr/T=2πrf
(3) 角速度(ω,又称为圆频率):是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。大小等于一段时间内转过的角度(θ)与时间t的比值.公式: ω=θ/t=2π/T=2πf
(4) 周期(T):质点做圆周运动一周所需要的时间.
(5) 频率(f,或转速n):质点在单位时间内完成的圆周运动的次数.
[例1]静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是 ( )
A. 它们的运动周期都是相同的
B. 它们的线速度都是相同的
C. 它们的线速度大小都是相同的
D. 它们的角速度是不同的
[思路分析]地球绕自转轴转动时,所有地球上各点的周期及角速度都是相同的。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的,只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也个不相同.
[答案] A
[总结]线速度是描述物体运动快慢的物理量,若比较两物体做匀速圆周运动的快慢,则只看其线速度的大小即可.角速度、周期和转速都是描述物体转动快慢的物理量。物体做匀速圆周运动时,角速度越大、周期越小、转速越大，则物体转动的越快，反之则越慢,由于线速度和角速度的关系为 v=ωr,所以在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度的大小，也不能由线速度大小判断角速度大小.
[误区警示]有的同学往往误认为物体转动半径为地球半径，进而导致失误.在解决圆周运动问题时,转动中心的确定至关重要.地球本身匀速转动，地表各点角速度相等(但两极ω=0),角速度又称整体量；线速度随着半径不同而不同，线速度又称局部量.
[变式训练1] 由于地球自转，乌鲁木齐和广州两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较 ( )
A. 乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大
B. 乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大
C. 两处地方物体的角速度、线速度都一样大
D. 两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大
[答案] D
知识点2。匀速圆周运动及各物理量间的关系
1． 定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
注意①匀速圆周运动线速度方向时刻变化，因此是变速运动。
②匀速圆周运动是匀速率圆周运动。
V=s/t=2πr/T=2πrf
V=ωr
ω=θ/t=2π/T=2πf
2． 各物理量间的关系
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。
[例2]匀速圆周运动属于（ ）
A. 匀速运动
B. 匀加速运动
C. 加速度不变的曲线运动
D. 变加速度的曲线运动
[思路分析]实际上线速度是矢量,在匀速圆周运动中，线速度的大小不变,但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速曲线运动或者可称为速率一定的曲线运动.线速度方向时刻沿圆的切线方向，且大小不变.可知合外力方向只有始终沿半径指向圆心；加速度在变化,故A、B、C错，D对。
[答案] D
[总结]匀速圆周运动，线速度方向时刻变化，速率不变，是变速运动。加速度始终沿半径指向圆心，加速度方向时刻在变。是变加速曲线运动。
[变式训练2]在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（ ）
A．角速度 B. 加速度 C. 速率 D.线速度
[答案] A C
[难点精析][例3] 如图所示的传动装置中，B,C两轮固定在一起绕同一轴转动，A,B两轮用皮带传动，三轮的半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑,求A,B,C轮边缘的a,b,c三点的角速度之比和线速度之比.
a·
·B
C
A
·
b
c
[解析] A,B两轮通过皮带传动，皮带不打滑,则A,B两轮边缘的线速度大小相等.即
va=vb 或 va:vb=1:1 ①
由v=ωr得 ωa: ωb= rB: rA=1:2 ②
B,C两轮固定在一起绕同一轴转动,则B,C两轮的角速度相同，即
ωb=ωc或 ωb: ωc=1:1 ③
由v=ωr得vb:vc=rB:rC=1:2 ④
由②③得ωa: ωb: ωc=1:2:2
由①④得va:vb:vc=1:1:2
[答案] a,b,c三点的角速度之比为1:2:2;线速度之比为1:2:2
[方法总结] 传动装置的两个基本关系:皮带(齿轴,靠背轮)传动线速度相等，同轴转动的角速度相等.
在分析传动装置的各物理量之间的关系时,要首先明确什么量是相等的，什么量是不等的，在通常情况下同轴的各点角速度ω,转速n和周期T相等,而线速度v=ωr与半径成正比。在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的边缘的各点线速度的大小相等,而角速度ω=v/r 与半径r成反比.
[变式训练3]如图所示皮带传动装置,皮带轮为O,O′,RB=RA/2,RC=2RA/3,当皮带轮匀速转动时,皮带不皮带轮之间不打滑,求A,B,C三点的角速度之比，线速度之比
·O
·O/
A
C
B
[答案] (1) ωA: ωB: ωc=2:2:3
(2) vA:vB:vc=2:1:2
(1) TA:TB:TC=3:3:2
[难点精析2][例4] 如图所示,M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R,内筒半径比R小得多，可以忽略不计,筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)做匀速转动,设从M筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒,从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到N筒后就附着在N筒上。如果R, v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则( )
M
N
ω
a
b
c
A. 有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上
B. 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上
C. 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上
D. 只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒
[思路分析] 对速度为v1的粒子,只要ω适当，考虑到圆周运动的周期性，落在外壳N上的a,b,c任一位置的可能性都存在,对速度为v2的粒子也同样存在上述可能性。如v1>v2,经过时间t,速度为v1的粒子在圆筒转了一转后到达a,速度为 v2的粒子可能在圆筒转了2转后到达a点，即A选项正确；同理,B,C选项正确
[答案] ABC
[方法总结]一种事物经常具有多样性,物理问题也一样，很多物理题都具有多种可能性的答案,”发现多种可能性”的能力主要是反映我们思考问题的全面性，能否通过分析试题所给的情境和条件，发现在不同的条件下可能得到不同的结论.
[误区警示]一些同学没有掌握好相对运动的概念，把M看作不动来进行处理从而错选D选项.
O
B
h
v
[变式训练4] 如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,要使球与盘只碰一次，且落点为B,则小球的初速度v= ,圆盘转动的角速度ω=
答案：；
[难点精析3]
[例5]如下图所示,在同一竖直平面内有A,B两物体，A物体从a点起，以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O点自由下落，若要A,B两物体在d点相遇,求角速度ω须满足的条件.
A
a
b
c
d
O
[思路分析]B物体从圆心O到d点的运动是自由落体运动，因此B物体从O到d所用的时间t应为:R=gt2,所以t=
由于A物体所做的是匀速圆周运动，A物体从a运动到d转过的角度为:2nπ+,(n=0,1,2,3,…).因此其所用时间为:
t== ②
联立上述方程可得:
解得：
[答案]
[方法总结]①A物体从a点运动到b点通过的角度可能为:3π/2,2π+3π/2,2×2π+3π/2…所以它通过的角度为：2nπ+3π/2,(n=0,1,2,3,…)本题的创新之处在于物理学中数列通项公式的运用，即解物理题方法上的创新。
②匀速圆周运动具有周期性，因此在解决有关圆周运动的问题中必须考虑题目多解的可能性，并尽可能运用数学知识写出解的通项表达式。
[变式训练5]如图所示，为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行，若圆盘以3600r/min 的转速旋转，子弹沿垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角为15°，则子弹的速度大小为 m/s
[答案]1440/（1+24k）； （k=0，1，2，3……）
1m
v
[难点精析4]
[例6]直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是（ ）
① dω/π ②dω/2π ③dω/3π ④dω/4π
A．①② B.③④ C. ①③ D. ②④
·
O
S
[思路分析]如图所示,若子弹从圆筒左侧S孔穿入沿直线运动，孔S做匀速圆周运动，孔转至最右侧时子弹恰好穿出，子弹位移为d,连接孔与圆心的半径转过的角度为(2n+1)π=ω·d/v;所以子弹速度的解集v=dω/(2n+1)π,n=0,1,2,3,……,分母不可能是π的偶数倍.
[答案] D
[方法总结] ①本题易误选①,③,原因是对”只有一个弹孔”的含义不清,没有考虑圆筒运动的周期性.
②相遇问题中，时间相等
[变式训练6]电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶,它们互成120°角,当风扇转动时,观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A. 600r/min B.900r/min C.1200r/min D.3000r/min
[答案] A C D
[难点精析5]
[例7]太阳从东边升起，从西边落下，这是地球上的自然现象，但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象，这些条件是( )
A.时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B.时间必须是在清晨，飞机正在由西向动飞行，飞机的速度必须较大
C. 时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D. 时间必须是在傍晚，飞机正在由西向动飞行，飞机的速度不能太大
O
ω
O/
b
d
[思路分析]本题解题关键:①弄清地球上的晨昏线;②理解飞机顺着地球自转方向运动称为向东,逆着地球自转方向运动称为向西。图上表明了地球的自转方向,obo/为昏线(右半球上为白天,左半球上为夜晚).若在纬度较高的b点，飞机向东(如上图向左),旅客看到的太阳仍是从东方升起，设飞机飞行速度为v1,地球在该点的自转线速度为v2,在b点,飞机向西飞行时,若v1>v2,飞机处于地球上黑夜区域,旅客看不到太阳;飞机向西(如上图向右)飞行，若v1>v2,旅客可看到太阳从西边升起；若v1
[方法总结]①部分同学不能借助图示来分析，找不到解题切入点;②少数同学对飞机的飞行方向向东,向西不能界定,造成思维混乱，无法判断出正确答案;③部分同学画错晨昏线位置，导致失误,近几年高考试题中物理与地理知识的综合题不断出现,随着人类探索宇宙，开发月球，研究地球本身活动的深入，许多天文地理问题，如:宇宙大爆炸,星球”坍塌”,黑洞，暗物质，宇宙辐射，太阳寿命等，将成为综合题的重要来源.
[变式训练7]如图所示,为一实验小车中利用光点脉冲测量车速和行程的装置示意图，A为光源,B为光点接收器，A,B均固定在车身上，C为小车的车轮,D为与C同轴相连的齿轮，车轮转动时,A发出的光束通过旋转的齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号,被B接收并转换成电信号,由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n,累计脉冲数为N,则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ;小车速度的表达式v=
;行程的表达式为x= .
[答案] RP 2πRn/P 2πRN /P
[综合拓展]本节主要学习描述圆周运动的物理量线速度，角速度，周期和转速.其中v=s/t=2πr/T=2πrf; ω=θ/t=2π/T=2πf;v与ω关系为v=rω.圆周运动与几学能守恒相结合的题目如下面例题.
O
A
B
[例8]如图所示,质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量为m的小球A和B(可以当做质点).杆长为L,将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力。当轻杆通过竖直位置时,求:
(1) 小球A,B的速度各是多少?
(2) 在上述过程中轻杆对B球所做的功
[思路分析]A球和B球单独随轻杆在空间转动时,它们运动的快慢程度是不同的,也就是说A,B球和轻杆一起转动的过程中，轻杆对A,B球是要做功的,因此,A球机械能不守恒,B球机械能也不守恒。但是以A,B球为物体系统(包括轻杆),只有小球重力做功,机械能守恒。
取A,B球为系统，由机械能守恒定律ΔEP=ΔEK得
mgL/2 + mgL= mvA2/2 + mvB2/2 ①
又因为A,B球的角速度相等，所以有 vB=2vA ②
联立①②式,解得
对B球,根据动能定理,得 WT +mgL = mvB2/2 ⑤
将④式代入⑤式,得轻杆对A球做的功为 WT= mgL/5 ,表示轻杆对A球做正功,杆对球A的作用力并不沿轻杆方向.
[答案]
[方法总结] 在连结体问题中，两个物体A,B的速度,加速度，角速度等运动量有一定的联系，在圆周运动中，两物体的角速度往往相同，利用这一点可找出两物体的速度关系，从而使列式简化，本题中用ΔEP=ΔEK较方便，若用 EA+EB=EAˊ+EBˊ,不要漏掉A在某状态还有重力势能mgL/2(以B的最低点为零势能位置).
[活学活用]
[基础达标]
1.下列说法中正确的是 ( )
A. 在匀速圆周运动中的线速度是恒量,角速度ω也是恒量
B. 在匀速圆周运动中的线速度v是变量, 角速度ω是恒量
C. 线速度v是矢量,其方向是圆周的切线方向，而角速度ω是标量
D. 线速度v和角速度ω都是矢量,但高中阶段不研究ω的方向
2.甲,乙两个做圆周运动的质点,它们的角速度之比为3:1,线速度之比为2:3,那么下列说法中正确的是( )
A. 它们的半径之比为2:9
B. 它们的半径之比为1:2
C. 它们的周期之比为2:3
D. 它们的周期之比为1:3
3.地球自转一周为一昼夜时间(24h),新疆乌鲁木齐市处于较高纬度地区，而广州则出于低纬度地区，由于地球自转方向由西向东,每天早晨广州要比乌鲁木齐天亮的早.
(1) 下列说法中正确的是 ( )
A. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略长
B. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略短
C. 乌鲁木齐一昼夜的时间与广州一昼夜的时间相等
D. 无法确定
(2)由于地球自转，该两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较 ( )
A. 乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大
B. 乌鲁木齐处物体的线速度大,广州处物体的角速度大
C. 两处地方物体的角速度,线速度都一样大
D. 两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐大
4.如图所示,直径为d的纸制圆筒,使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后把枪口对准圆筒,使子弹沿直径穿过圆筒,若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a,b两弹孔,已知aO,bO夹角φ,则子弹的速度为( )
A.dφ/2ωπ B.dω/φ C. dω/(2π-φ) D. dω/(π-φ)
φ
b
a
O
ω
5.通常钟表里的秒针正常转动的角速度大约是( )
A.0.65rad/s B.0.1 rad/s C.1 rad/s D.6 rad/s
6.机械手表中的秒针和分针都可看做匀速转动，分针和秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为 ( )
A.60s B.59s C.61s D.
7.正常走动的钟表，时针，分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法，正确的是( )
A. 分针的周期是秒针周期的60倍
B. 分针的角速度是秒针角速度的60倍
C. 时针的周期是分针周期的24倍
D. 时针的角速度是分针角速度的12倍
O/
N
P
M
·O
8.如图所示,轮O和轮Oˊ用皮带传动(不打滑),轮O的半径为r,轮Oˊ的半径R=2r,M,N,P点的位置如图所示,则 ( )
A. M,N两点线速度相等，角速度也相等
B. M,P两点线速度相等,N点线速度最大
C. M点角速度最大，N,P两点角速度相等
D. P点的线速度最小，M点和N点线速度相等
9.机械手表中的时针与分针可视为匀速转动，时针与分针从第一次重合到第二次重合中间经历的时间为 ( )
A. 1h B.11h/12 C.13h/12 D.12h/11
A
θ
B
10.如图所示,一个球绕中心轴线O Oˊ以角速度ω转动，则( )
A. A,B两点的角速度相等
B. A,B两点的线速度相等
C. θ=45°,则vA:vB=1：
D. 若θ=45°,则TA:TB=1：
11.当自行车车轮绕轴匀速转动时,辐条上的中点与端点相比较，角速度之比为 ,周期之比为 ,线速度之比为 .
12.在地球表面上选取A,B两点，A点位于北纬60°,B点位于赤道上，则A,B两点的角速度之比为 ,线速度之比为 ,周期之比为 .
13.半径为10cm的转轮,每秒转5圈,则该转轮的周期T为 ,在转轮的边缘某点A的角速度为 ,线速度为 .
·A
·B
ω
14.如图所示,两轮通过边缘接触，形成摩擦传动装置，设接触处无打滑现象。已知大轮B的半径是小轮A的半径的2倍,设主动轮为A轮转动时其边缘的角速度为ω,线速度为v,求:
(1) A,B两轮的转动周期之比;
(2) B轮边缘上一点的线速度;
(3) B轮转动的角速度.
15.如图所示是一种子弹测速器,甲,乙两圆盘均以角速度ω旋转，一个子弹P从甲盘某条半径O1A射入,从乙盘O2Bˊ半径上射出，测得跟O1A平行的半径O2B与O2Bˊ之间的夹角为θ,子弹穿过盘时的阻力不计,求子弹的速度.
B/
甲
乙
B
A
O1
O2
ω
[基础达标答案]
1. BD 2. AD 3.(1)C (2)D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.CD 9.D 10.A 11.1:1;1:1;1:2 12.1:1;1:2;1:1
13.0.2s;10πrad/s,πm/s 14.(1) 1/2 (2)v (3) ωB=ω/2 15.v=ωd/(2kπ+θ); (k=0,1,2,3……)
[能力提升]
1.为了使拖拉机在农田中较好地工作，中型拖拉机的后轮(主动轮)直径比前轮(从动轮)直径要大，某型号中型拖拉机前后轮直径之比为2:5,设它在水平地面上匀速行驶,前后轮都不打滑,则它行驶时前后轮的角速度之比为 .
2.根据新华社北京2003年11月16日点，我国首位宇航员杨利伟乘坐的”神州”五号载人飞船,在太空飞行14圈后，在内蒙古中部草原准确着陆.我国首次载人航天飞行圆满成功.若飞船绕地球做匀速圆周运动，离地心平均距离为6.7×103km,该飞船的周期为 min,速度为 km/s (保留两位有效数字)
3.如图所示,边缘粗糙,半径不同的两个轮子,做无滑动的摩擦运动。A,B是大轮上的两点，OA=R=0.8cm,OB=r=0.4cm,C点是小轮边缘上的一点，OˊC=r=0.4cm,若大轮的转速为3000r/min,求A,B,C三点的线速度和角速度的大小.
O/
C
A
O
B
4.电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒钟闪光30次，风扇的叶片有三个,均安装在转轴上，当转动时,如果观察者感觉叶片不动，则风扇的转速是 r/min,如果观察者感觉叶片有六个，则风扇的转速是 r/min (电动机的转速每分钟不超过1400r)
5.如图所示,小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速运动，当它运动到图中a点时,在原形槽中心O点正上方h处,有一小球B沿oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求:
(1) B球抛出时的水平速度多大?
(2) A球运动的线速度最小值为多大?
h
a
o
B
A
(3) 若考虑到匀速圆周运动是周期性运动，A球速度满足什么条件,两球就能在a点相碰?
6.钟表的时针和分针每天重叠多少次?
能力提升答案
1. 5:2
2. 飞船周期T=(6×24＋18)/108 h=1.5 h=90 min
飞船速度v=2πr/T=(2×3.14×6.7×103)/90×60 km/s = 7.8 km/m
3. 线速度 vA=vC=8π m/s, vB=4π m/s
角速度ωA=ωB=10πrad/s,ωC=20π rad/s
4. 600或1200, 300或900 点拨:每次闪光时三叶片分布情况相同(三个),或对称位置重合(六个).
5.（1） （2）2π （3）2kπ k=1、2、3…
6. 22次
[真题再现]
1.由”嫦娥奔月”到”万户飞天”,由”东方红”乐曲响彻寰宇到航天员扬利伟遨游太空,中华民族载人航天的梦想已变成现实”神州”五号飞船升空口，先运行在近地点高度200km,远地点高度350km的椭圆轨道上,实施变轨后,进入343km的圆轨道，假设”神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1,结束时刻为t2,运行速度为v,半径为r,则计算运动周期可用 ( )
①T=(t2- t1)/n ②T=(t1-t2)/n ③T=2πr/v ③T=2πv/r
A. ①③ B.①④ C.②③ D. ②④
[答案] A
2.如图所示为一皮带传动装置，右轮半径为r,a是它边缘上的一点，左侧为一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心距离为r,c点和d点分别为与小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则( )
a
d
c
b
A. a点和b点的线速度大小相等
B. a点和b点的角速度大小相等
C. a点和c点的线速度大小相等
D. c点和d点的角速度大小相等
[思路分析]本题考查线速度,角速度的关系,a,d两点是皮带传动的,皮带不打滑,故a,c两点线速度大小相等，C 对，b,c两点在同一轮轴上，角速度相等,但离转轴距离不同，有v=ωr可知,b与c线速度不相等，故a与b线速度不等，排除选项A;a与c线速度大小相等,半径不同，由ω=v/r,因此a与c角速度不同，即a与b角速度不同，排除B项.
[答案] C D
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